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专题3.33 整式的乘除（几何图形问题50题）（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B．
C． D．
2．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 （　　）
A． B． C． D．
4．如图，长方形中，，放入两个边长都为4的正方形 ，正方形及一个边长为8的正方形，，分别表示对应阴影部分的面积，若，则长方形的周长是 （ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
5．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形>，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将图1中的一个小长方形变换位置得到如图2所示的图形，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A． B．
C． D．
8．根据如图所示的图形变换，可以得到的恒等式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④
10．比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26 B．① ②
C．① ② D．① ②26
11．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7 B．8 C．5.6 D．10
12．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
13．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
14．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　）
A． B．
C． D．
15．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　）
A． B．
C． D．
16．如图，用4张全等的长方形拼成一个正方形，用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．若长方形的长和宽分别为a、b，则这个代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
17．如图，M是的中点，B是上一点．分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．46 B．33 C．28 D．52
18．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
二、填空题
19．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
20．如图，一个长方形的长为a，宽为b，将它剪去一个正方形①，然后从剩余的长方形中再剪去一个正方形③，最后剩下长方形②，则长方形②的面积为 ．
21．已知长方形可以按图所示方式分成九部分，在变化的过程中，下面说法正确的有 （请将所有正确的编号填在横线上）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形的周长
②长方形的长宽之比可能为
③当长方形为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形的周长为时，它的面积可能为
22．如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．
（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
23．如图，将边长为的小正方形与边长为的大正方形放在一起，则的面积是 ．
24．如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 ．
25．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
26．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号，多选）．
27．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是： ．
28．如图，，为线段上一点（），分别以、为边向上作正方形和正方形，，则 ．
29．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和．现有这三种纸片各8张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为 ．
30．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ．
31．如图，两个正方形的边长分别为，，如果，，则阴影部分的面积为 ．
32．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
33．如图，线段的长度为5，点是线段上一点且，分别以、为边在同一侧作正方形、，点为线段上任意一点（不与、重合），若的面积为，则的长度为 ．
34．如图，长方形的周长是cm，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是 ．
35．如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为 ；
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为 （用含m，n的代数式表示）．
36．有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙阴影部分的面积分别是和，则
（1）根据图甲、乙中的面积关系，可以得到 ， ．
（2）若个正方形和个正方形按图丙摆放，阴影部分的面积为 ．
三、解答题
37．要建一个如下图所示的长方形养鸡场（分为两个区域），养鸡场的一边靠着一面墙，另几条边用总长为m的竹篱笆围成，每块区域的前面各开一个宽1m的门．
(1)如果,m，那么___________m．
(2)如果m,求的长,并用字母表示这个长方形养鸡场的面积．
38．如图，长方形的长为m，宽为n，扇形的半径为n，的长为．
(1)求图中阴影部分的面积S．（用含m，n的代数式表示）
(2)当，时，求S的值．（结果保留）
39．如图：某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
(1)则绿化的面积是多少平方米？（用a，b的代数式表示）
(2)若a，b满足时，且绿化成本为50元/，则完成绿化工程共需要多少元？
40．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．
请解答下列问题：
(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一：____________；方法二： ____________．
(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．
(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．
41．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示∶______，______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______
(3)运用（2）中得到的公式，计算∶．
42．如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；
(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______；
②计算：．
43．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
(1)如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是___________；如图2，阴影部分的面积是_________；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式____________________；
(2)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②
44．综合与实践
如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
(1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）．
(2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：．
(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
45．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A、
B、
C、
(2)用你选的等式进行简便计算：；
(3)用你选的等式进行简便计算：．
46．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．
(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．
47．阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
48．阅读理解，自主探究
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于 两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示：
图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为；
由于阴影部分面积相同，所以有
(1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________．
(2)学以致用：请解释的几何意义．
(3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果．
49．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
50．若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)，求；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是192，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，
即；
∵，
，
，
又∵，
∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算．
2．C
【分析】计算，结果中项的系数即为需要类卡片的张数．
【详解】解：，
需要类卡片5张，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要类卡片的张数．
3．C
【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∴矩形的长为，宽为，
由图1可得：，
整理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴矩形面积为．
故选：C.
【点睛】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，运用了整体代入的思想，求出小正方形的边长是解题的关键．
4．B
【分析】根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得便可求解．
【详解】解：设，，
则，，
，，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则长方形 的周长是40，
故选：B．
【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积是解题的关键．
5．A
【分析】分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
6．C
【分析】分别用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可．
【详解】解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图②是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由于图①、图②阴影部分的面积相等可得，，
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义，用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积是得出正确答案的前提．
7．B
【分析】由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为长方形的面积，用两种方法表示出图中阴影部分面积即可求解．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
8．D
【分析】分别表示左右两个图形中两部分的面积和，即可得出答案．
【详解】解：左图两部分的面积和可表示为:，
拼成的右图的长为，宽为，面积为，
因此有，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，表示两个图形的面积是得出答案的关键．
9．A
【分析】分别计算每幅图中两个图形的面积，即可判断．
【详解】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a＋2b）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握平方差的计算公式及理解图形面积的计算是解题的关键．
10．B
【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
【详解】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可以表达为：，
因此，
即；
②设，
因为，
所以，
因为，
所以，解得，
由题意：，
所以，
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．
11．B
【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，
由题可得图甲中阴影部分的面积是，
图乙中阴影部分的面积是，
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，
，，
图乙面积为：
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键．
12．B
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为和b的直角三角形面积，即可得，根据完全平方公式的变式应用可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
13．A
【分析】设A的边长a，B的边长是b，利用表示出大正方形的面积，再减去纸板与的面积之和，即可得解．
【详解】解：设A的边长a，B的边长是b，则，
根据题意得︰，
∴，
∴，
∴乙图阴影部分的面积 ，
故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．正确的识图，用字母表示出面积是解题的关键．
14．C
【分析】用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可．
【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为，
这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为，
所以有，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提．
15．C
【分析】用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可．
【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为，
这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为，
所以有，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提．
16．B
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】解：∵，
又∵，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
17．B
【分析】依据AB＝a，BG＝b，点M是AG的中点，可得AM＝GM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP S△ADM S△MGF，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵AB＝a，BG＝b，点M是AG的中点，
∴AM＝GM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP S△ADM S△MGF
＝a2＋b2 a× b×
＝a2＋b2 （a＋b）2
＝（a＋b）2 2ab （a＋b）2
＝100 42 25
＝33
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
18．A
【分析】先利用大正方形的面积减去空白的两个直角三角形的面积可得阴影部分的面积，再利用完全平方公式进行变形求值即可得．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为
，
将，代入得：，
即阴影部分的面积为17，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
19．10
【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，，
长方形的长为，宽为，
长方形的面积：，
，，类卡片一共需要张，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．
20．
【分析】根据图形可知正方形①边长为：b，正方形③边长为：，再根据大长方形的面积减去正方形①和正方形③的面积，即可求解．
【详解】由图可知：正方形①边长为：b，正方形③边长为：，大长方形的长为a，宽为b，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，理清图中各图形之间的面积关系是解答本题的关键．
21．①③##③①
【分析】根据矩形面积关系和整式运算法则进行分析即可．
【详解】
如图，根据平移性质可得，图中，故①正确；
若长方形的长宽之比为，则 ，，此等式不成立，故②错误；
当长方形为正方形时，，即，所以九部分都为正方形，故③正确；
当长方形的周长为时，，即，所以四边形的面积=；故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了整式运算的应用，理解矩形面积关系是关键．
22． 4
【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；
（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．
【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米），
故答案为：4；
（2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则，
由图知，②长方形纸片的长为，宽为，
∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米），
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键．
23．
【分析】根据 即可求解．
【详解】解：由题意知，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，数形结合是解题的关键．
24．
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．
25．
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【详解】解：由图可知，
图1的面积为：x2 12，
图2的面积为：（x＋1）（x 1），
所以x2 1＝（x＋1）（x 1）．
故答案为：x2 1＝（x＋1）（x 1）．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
26．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，或者用两种方法表示同一个图形的面积，继而可得出验证公式．
【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式来证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
27．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】先分别表示出甲、乙两图阴影部分的面积，然后再根据两阴影面积相等即可得到解答．
【详解】解：∵甲图中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，
∴．
∵乙图中的阴影部分面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，
∴S乙阴影＝（a+b）（a﹣b）．
∵S甲阴影＝S乙阴影，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故填a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的推导，灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键．
28．3
【分析】设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b，S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE，代入可得到S△BEF =a2，再根据已知条件列式可求得a、b的值，即可求解．
【详解】解：设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b，
S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE
，
S△ACE，
∵，AB=5，即a+b=5，
∴，
∴，
∴，，
即BC，AE，
∴S△BECBCAE．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
29．4
【分析】根据完全平方公式进行判断，画出相应的图形即可．
【详解】解：①，即可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼成一个边长为的正方形；
②，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；
③，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为的正方形；
④，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片8张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；
共有4种不同的正方形．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
30．45
【分析】由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解．
【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为，
图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图3阴影部分的面积可以表示为
＝3+42
，
故答案为：45．
【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
31．
【分析】根据阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，得出阴影部分面积为，然后整理，得出，然后把，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：
【点睛】本题考查了整式混合运算的应用、代数式求值、完全平方公式、求阴影部分的面积，解本题的关键在根据图形，得出阴影部分的面积．
32．或
【分析】根据三种卡片的张数可知有和两种情况，进而可得答案．
【详解】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，
∴由可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是的正方形；
由可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是的正方形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握．
33．
【分析】先根据题意求出，再由“线段的长度为5”得到，然后通过完全平方公式的变形得到，最后代入求值即可．
【详解】解：∵的面积为，
∴，
∴，
∴
∵线段的长度为5，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是得到．
34．
【分析】由完全平方公式，求出的值，即可解决问题．
【详解】解：∵正方形和的面积之和为，
∴，
∵长方形的周长是cm，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴长方形的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键．
35． 4 m＋n##n+m
【分析】（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案；
（2）先求出图乙中阴影部分的面积，可得，2ab=n，利用=求解即可．
【详解】解：（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为，
当a＝5，b＝3时，=．
故答案为：4；
（2）∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为（a+b）的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面积，即，
∴2ab=n，
由（1）知，=m，
∴=
= m＋n，
即正方形A，B的面积之和为m＋n，
故答案为：m＋n．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键．
36． 29
【分析】（1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积；图乙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去正方形A的面积，再减去正方形B的面积；据此列出算式后，利用完全平方公式计算即可；
（2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；．
【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：，
，（舍去），
图乙中阴影部分面积可以表示为：，
，
故答案为：，；
（2）图丙中阴影部分面积为：
，
，，
，
，
，（舍去），
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键．
37．(1)13
(2)，
【分析】（1）由图可知，由此代入求得答案即可；
（2）由图可知，把m代入求得，利用长方形的面积计算即可得出养鸡场的面积．
【详解】（1）解：由图可知，
当,m时，；
（2）解：由图可知，
当m时，，
长方形养鸡场的面积为：．
【点睛】本题考查了列代数式，注意数形结合是解题的关键．
38．(1)
(2)
【分析】（1）用扇形的面积和长方形的面积之和减小三角形的面积即可得出答案；
（2）把，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得阴影部分的面积：
，
答：图中阴影部分的面积S为；
（2）解：当，时，
．
【点睛】本题主要考查了三角形面积、扇形面积和长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，扇形面积公式．
39．(1)绿化的面积是平方米
(2)完成绿化工程共需要元
【分析】（1）用长方形的面积减去正方形的面积即可；
（2）把等式的左边化简，求出a和b的值，代入（1）中结果计算．
【详解】（1）解：长方形面积：，正方形面积：，
∴绿化面积：
，
答：绿化的面积是平方米．
（2）解：∵
∴，
∴，时，
∴
，
∵绿化成本为50元/，
∴绿化成本为：（元），
答：完成绿化工程共需要元．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确列出算式是解答（1）的关键，根据多项式乘以多项式求出a和b的值是解（2）的关键．
40．(1)；
(2)=
(3)
【分析】（1）方法一：利用长方形面积=长×宽，列式即可；
方法二：根据大长方形面积等于各个小长方形面积之和列式即可.
（2）根据（1）中所列的两个代数式相等即可得到等式.
（3）将已知条件代入（2）中所得结论，即可求得的值.
【详解】（1）方法一：
故答案为：
方法二：
故答案为：
（2）因为方法一和方法二表示同一个长方形的面积，
因此可=
故答案为：=
（3）根据（2）中所的结论=得
=
把代入得
解得
【点睛】本题主要考查了列代数式，及代数式求值.根据题意列出正确的代数式是解题的关键.
41．(1)，
(2)
(3)1
【分析】（1）结合图形写出此题结果；
（2）结合（1）题结果，可得乘法公式；
（3）将变形为，再运用平方差公式进行计算．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】此题考查了平方差乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．
42．(1)
(2)①；②
【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值；
②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图1、图2的面积相等得，，
故答案为：；
（2）解：①，
，
又，
，
故答案为：3；
②原式
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
43．(1)，，
(2)①；②；
【分析】（1）由拼图可知，图形1的长为，宽为，面积为；图形2的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即 ，图形变换前后面积没有发生改变，根据面积相等，可得答案．
（2）①通过观察分析，可得，，可以利用平方差公式进行计算；②直接利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；
如图2，阴影部分的面积是；
比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；
（2）①；
②
．
【点睛】本题考查乘法公式中的平方差公式的几何背景和平方差公式的应用，掌握图形中各部分面积之间的关系以及用代数式表示各部分面积是正确解答第（1）问的关键，准确把握平方差公式的结构特征，对式子进行变形是解第（2）问的关键．
44．(1)；；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解；
（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；
（3）根据（1）中结论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，，
∵，
∴，
故答案为：；；．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
45．(1)A
(2)8
(3)146927
【分析】（1）根据图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等列出式子即可得到答案；
（2）根据（1）的结论进行求解即可；
（3）先推出，则可以得到所求式子，在推出，进而推出所求式子据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积为：，
图2中图形面积为，
∵图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等，
∴，
故选A；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴
，
∴原式=146927．
【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，应用平方差公式进行简便计算，数字类的规律探索，正确理解题意掌握平方差公式是解题的关键．
46．(1)3，2，7
(2)，
(3)8
【分析】（1）计算，再根据三个纸片的面积可求解；
（2）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设，，则，，，利用等量关系求出即可求解；
（3）根据图形得到,，利用完全平方公式分别求得和即可求解.
【详解】（1）解：
，
又种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为，
∴需种纸片3张，种纸片2张，种纸片7张，
故答案为：3，2，7；
（2）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为，
∴，
故答案为：；
设，，
则，，，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由题意和图形知，，，
则，则，
∴，
∴或（舍去），
阴影部分的面积和为．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
47．(1)2，5，>
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式的形式配方求解即可；
（2）分别表示出，，然后利用作差法求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
故答案为：2，5，>；
（2）
∴
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．
48．(1)
(2)见解析
(3)；图见解析
【分析】（1）根据图形面积的两种不同表达方式，可得到恒等式；
（2）由恒等式可知，可以构造整体图形为边长为的正方形，阴影部分正方形边长，据此作图即可．
（3）由恒等式可知，整体图形为边长为、的长方形，然后用两种方法表示长方形面积，即可解答．
【详解】（1）解：根据正方形面积公式可得，图3中图形的面积为：，
同时图中图形的面积也可表示为：，
故可得恒等式：；
（2）如图：阴影部分正方形面积等于：，也可以表示为，故：；
（3）解：如图：
-
【点睛】本题考查了整式乘法的几何背景，主要是根据长方形或正方形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等进行解答．
49．(1)，
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式；
（2）根据阴影部分的面积相等可得答案；
（3）由（2）可得，代入，求值即可；
（4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可．
【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为，
故答案为：，
（2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，
故答案为：
（3）由（2）可得，
若，，
则，
∴，
故答案为：
（4）如图所示，
图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即，
∴．
【点睛】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
50．(1)21
(2)
(3)
【分析】（1）设，，根据题意可得，即可得出，则可得出，代入计算即可得出答案；
（2）设，，根据题意可得，即可得出，由可得，代入计算及可得出答案；
（3）根据题意可得，，，长方形的面积，设，，可得，则，即代入计算即可．
【详解】（1）解：设，，
则，，
；
（2）设，，
则，，
；
（3）根据题意可得，
，，，
设，，
则，
，
．
阴影部分的面积为112．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用根据题意列式进行求解是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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