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专题3.37 平方差公式与完全平方公式（知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【类型一】平方差公式
【考点一】平方差公式与完全平方公式 识别与判断
1．平方差公式、完全平方式是最常见的乘法公式．下列变形中，运用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．等于（　　）
A． B． C． D．
【考点二】平方差公式 运算 求值
3．化简的结果为（ ）
A．-1 B． C． D．
4． ，括号内应填（ ）
A． B． C． D．
【考点三】平方差公式 简便运算 求参数
5．计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．3
6．式子（其中x为整数）一定能被（ ）整除．
A．48 B．28 C．8 D．6
【考点四】平方差公式 图形问题 化简求值
7．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形>，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（　　）
A． B． C． D．
8．从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【类型二】完全平方公式
【考点一】完全平方公式 运算 求值
9．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知，，则代数式的值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【考点二】完全平方公式 变形求值
11．已知，，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．3954 D．4046
12．已知，，则代数式的值为（ ）
A．8 B．18 C．19 D．25
【考点三】完全平方公式 求参数
13．已知是完全平方式，则常数k等于（　　）
A．8 B． C．16 D．8或
14．如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）．
A． B．4 C．5 D．5或
【考点四】完全平方公式 解决几何图形问题
15．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
16．比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26 B．① ②
C．① ② D．① ②26
【类型三】平方差公式和完全平方公式综合
【考点一】完全平方公式和平方差公式 综合运算
17．已知，，下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式，则；
②B－A的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点二】完全平方公式和平方差公式 混合运算 求值
19．已知实数m，n满足，则的最小值为（　 　）
A． B． C． D．
20．已知，则代数式的值为（ ）．
A．34 B．14 C．26 D．7
21．如果，那么代数式的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．3
22．将四个长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若=2，则m，n满足( )
A．m＝5n B．m＝4n C．m＝3n D．m＝2n
二、填空题
【类型一】平方差公式
【考点一】平方差公式与完全平方公式 识别与判断
23．若，且，则 ．
24．已知，则的个位数字是 ．
【考点二】平方差公式 运算 求值
25．计算： ．
26．已知，若，则＝ ．
【考点三】平方差公式 简便运算 求参数
27．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 ．
28．将长为64的绳分成两段，各自围成两个大小不一样的正方形，这两个正方形的边长之差为2，则以这两个正方形边长为长和宽的矩形的面积为 .
【考点四】平方差公式 图形问题 化简求值
29．计算： ．
30．如果多项式，则的最小值是 ．
【类型二】完全平方公式
【考点一】完全平方公式 运算 求值
31．若，，则 ．
32．已知，则 ．
【考点二】完全平方公式 变形求值
33．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为 ．
34．已知，则的值是 ．
【考点三】完全平方公式 求参数
35．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
36．现有如图所示的，，三种纸片若干张．
（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为 ．
（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片 张．
【考点四】完全平方公式 解决几何图形问题
37．已知，则的值为 ．
38．若，则 ．
【类型三】平方差公式和完全平方公式综合
【考点一】完全平方公式和平方差公式 综合运算
39．若，那么的值为 ．
40．已知，则代数式的值为 ．
【考点二】完全平方公式和平方差公式 混合运算 求值
41．如果，那么代数式的值为 ．
42．设b＝2am，当m= 时，可使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a2．
三、解答题
43．计算：
(1)；
(2)化简求值：，其中．
44．已知，满足，求的值．
45．先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
46．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示∶______，______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______
(3)运用（2）中得到的公式，计算∶．
47．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
48．图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．
(1)直接写出图中的阴影部分面积；
(2)观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________；
(4)已知，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】对后两项添括号时，变为．
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】此题考查平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确．
2．C
【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
3．B
【分析】首先根据同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用，可得，再根据平方差公式及乘方运算，即可求得结果．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用，平方差公式，熟练掌握和运用同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据平方差公式即可求得．
【详解】解：，
括号内应填，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．
5．C
【分析】现将写成平方差公式的形式，然后再进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=-1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，凑出平方差公式的形式成为解答本题的关键．
6．B
【分析】根据平方差公式进行计算，然后求解．
【详解】解：
=
=
=
∴式子（其中x为整数）一定能被28整除
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的计算，掌握公式结构正确计算是解题关键．
7．A
【分析】分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
8．C
【分析】分别求出变化前后2次的面积，比较大小即可．
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，
∴面积变小了，
故选：C．
【点睛】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
9．D
【分析】由已知分别计算的值，然后逆用完全平方公式：，将所求式子化成含、、的形式，再代入计算即可．
【详解】 a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，
，
又
=
=，
=
=3．
故选D．
【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练逆用完全平方公式将所求代数式化成三个完全平方式的和是解此题的关键．
10．D
【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴，，
∴
=
=
=
=；
故选：D
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
11．B
【分析】根据完全平方公式的变形求解．
【详解】∵，，
①
②
①+②，得
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变形求解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．C
【分析】原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．D
【分析】由已知条件设出一个完全平方式，并将其展开，使其与相等，即可得到关于和的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】∵是完全平方式
∴
∴
∴解得
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握公式是解题的关键．
14．D
【分析】先将原式变形为，根据题意可得，解出 ，即可求解．
【详解】解：，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得 或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键．
15．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2 2xy=20，
∴62 2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
16．B
【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
【详解】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可以表达为：，
因此，
即；
②设，
因为，
所以，
因为，
所以，解得，
由题意：，
所以，
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．
17．B
【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．
【详解】解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n=±3，故结论正确；
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
而（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，
得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得
当时，
当时，
故结论错误；
④∵（2022-A+A-2019）2
=（2022-2019）2
=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）
=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2
=9，
∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
18．D
【分析】根据乘法公式、多项式乘多项式法则逐项判断即可得．
【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意；
B．，则此项错误，不符合题意；
C．，则此项错误，不符合题意；
D．，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了乘法公式、多项式乘多项式，熟练掌握乘法公式和多项式的乘法法则是解题关键．
19．A
【分析】先化简，再判断出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴（当时，取等号），
∴，
∴（当时，取等号），
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．
20．C
【分析】先把代数式进行化简，然后把代入计算，即可得到答案．
【详解】解：
；
∵
∴原式；
故选：C
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
21．C
【分析】由可得，然后再化简，最后将整体代入求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确的运用整式的混合运算法则化简是解答本题的关键．
22．D
【分析】先根据图形得出=2[2mn-（m+n）n-mn]，=2×（m+n）n+2×mn+，求出=2mn-，=+2，根据=2得出+2=2（2mn-），再求出答案即可．
【详解】解：=2[2mn-（m+n）n-mn]
=2（2mn-mn-n2-mn）
=2（mn-）
=2mn-，
=2×（m+n）n+2×mn+
=mn++mn+-2mn+
=+2，
∵=2，
∴+2=2（2mn-），
∴-4mn+4=0，
∴=0，
∴m-2n=0，
即m=2n，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，三角形的面积，长方形的面积和整式的混合运算等知识点，能根据图形表示出=2[2mn-（m+n）n-mn]和=2×（m+n）n+2×mn+是解此题的关键．
23．4
【分析】利用平方差公式将分别，然后代入的值即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．
24．5
【分析】将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：
∴指数4个数一个循环，
尾数为6，
个位数字是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以凑出平方差公式的形式是解题的关键．
25．
【分析】将原式变形为，然后多次利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用；解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
26．2 2．
【分析】由题意可得，求出＝[1] [1] … （1），再利用平方差公式（1）＝[1] [1] … （1） （1），求出＝2 2，即可求解．
【详解】解：∵＝ [1]，
∴，
∴ … [1] [1] … （1），
∵，
∴＝[1] [1] … （1），
∴（1）＝[1] [1] … （1） （1），
∴＝1，
∴＝2 2，
∴＝2 2，
故答案为：2 2．
【点睛】本题考查数字的变化规律，将已知式子进行变形，灵活应用平方差公式是解题的关键．
27．30
【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE BC+AE BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×60
＝30．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．
28．63
【分析】设这两个正方形的边长分别为a，b，且a＞b．根据这两个正方形的边长关系，列出方程组，求得，利用平方差公式计算，求出两个正方形边长为长和宽的矩形的面积．
【详解】设这两个正方形的边长为分别为a，b，且a＞b,由题意得
，
所以ab= [（a+b）2-（a-b）2]
=（162-22）
=（16+2）（16-2）
=63，
所以以a，b为边长的矩形面积为63．
故答案是：63.
【点睛】运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．解答本题要设出这两个正方形的边长为分别为a，b，且a＞b．
29．4
【分析】根据完全平方公式运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．
30．2015
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
=
=
的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
31．2
【分析】利用完全平方公式变形，将与代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32．
【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；能够熟练运用完全平方公式，灵活化简是解题的关键．
33．或3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：方程的左边可以写成一个完全平方式，
，
，
解得：或，
故答案为：或3．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
34．4
【分析】先利用完全平方公式将等式右边展开，然后对比等式的左边和右边即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
35．或
【分析】根据三种卡片的张数可知有和两种情况，进而可得答案．
【详解】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，
∴由可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是的正方形；
由可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是的正方形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握．
36． 6
【分析】（1）直接计算纸片，纸片的面积进形求和即可；
（2）先分别求出，，纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可．
【详解】解：（1）取1张纸片，2张纸片，其面积和为：；
故答案为：；
（2）∵取纸片9张，取纸片1张，
∴面积为，
∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，
∴还需6张丙纸片，即，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
37．16
【分析】由变形为，代入，化简即可求值．
【详解】解：，，将代入得：
故答案为：．
【点睛】本题结合整式的运算考查了代数式的求值，关键是根据已知条件变形，运用消元法思想对目标代数式进行消元，由二元变为一元甚至常数．
38．
【分析】根据完全平方公式将已知等式变形，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
39．1
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
40．5
【分析】先根据去括号法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算，再利用多项式除单项式的法则化简结果为，然后把已知条件代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式＝．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和单项式乘多项式的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．
41．14
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
=m2-2m+m2+4m+4，
=2m2+2m+4，
∵m2+m=5，
∴原式=2（m2+m）+4=2×5+4=10+4=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是解题关键．
42．±1
【分析】先将整式化简，再将b＝2am代入进一步化简，最后根据化简结果为a2求m的值即可．
【详解】解：当b＝2am时，
（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）=a2+4ab+4b2+4a2-b2-4ab-4b2
= 5a2-b2
= 5a2-4a2m2，
∵化简结果为a2，
∴m2=1，
故答案为：m=±1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
43．(1)
(2)，
【分析】（1）先把原式化为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．
44．6
【分析】先化简原式，再将题中已知的等式进行变形，配出两个平方式，利用平方的非负性求出两个字母的值，再代入原式中求解即可．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴，
∴，
原式=
=
=．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，涉及到了多项式乘以多项式的运算、平方差公式和完全平方公式，解题关键是利用完全平方公式进行配方求出两个字母的值．
45．，
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．
46．(1)，
(2)
(3)1
【分析】（1）结合图形写出此题结果；
（2）结合（1）题结果，可得乘法公式；
（3）将变形为，再运用平方差公式进行计算．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】此题考查了平方差乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．
47．(1)，
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式；
（2）根据阴影部分的面积相等可得答案；
（3）由（2）可得，代入，求值即可；
（4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可．
【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为，
故答案为：，
（2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，
故答案为：
（3）由（2）可得，
若，，
则，
∴，
故答案为：
（4）如图所示，
图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即，
∴．
【点睛】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
48．(1)
(2)
(3)
(4)6
【分析】（1）由拼图可知阴影部分是边长为的正方形，可表示面积；
（2）大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式；
（3）由（2）得，再代入计算即可；
（4）设，，由题意可得，，根据
，求出的值即可．
【详解】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；
（2）图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，
因此有；
（3）由（2）可知，
，
，
故答案为：；
（4）设，，则，，
∴
，
答：的值为
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
答案第1页，共2页
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