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1.1 集合的概念
【学习目标】
1.了解集合的含义，掌握集合中元素的三大特性；
2.掌握元素与集合的关系，并能用符号表示；
3.掌握集合的常用表示方法.
【教材知识梳理】
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称 ，常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
解读：(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，如给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
三．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
四．集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素_________________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法；
2.描述法： 设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为__________________.
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或）变化范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
（1）某班的所有高个子同学可以组成一个集合．（ ）
（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．（ ）
（3）由－1,1,1组成的集合中有3个元素．（ ）
（4）集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．（ ）
（5） 集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．（ ）
【教材例题变式】
（源于P3例1）例1.用列举法表示下列集合：
满足不等式的质数组成的集合；
（2）一次函数与的图象的交点组成的集合．
（源于P4例2）例2.用描述法表示下列集合：
所有被3整除的整数组成的集合； (2)抛物线上所有点组成的集合；
【教材拓展延伸】
用符号“”或“”填空：
（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则______B，______B；
（2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则－1_____D，_____D．
例4．（1）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
（2）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
例5.已知集合，，，分别说出它们的含义.
【课外作业】
基础过关
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．联合国的常任理事国 B．小于的正整数
C．全国著名的高等院校. D．所有的有理数
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知集合，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）下列正确表示方程组的解集的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，如果且，那么________.
8．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为__________.
9．已知集合．
(1)若，求实数a的值； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值.
能力提升
10．已知集合，，，若，，则必有（ ）
A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个
11．（多选）已知集合中的元素满足，其中，，则下列选项中属于集合的是（ ）
A．0 B． C． D．
12．（多选）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
13．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
14．已知集合有唯一元素，用列举法表示满足集合的条件的的取值集合__________．
15．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
16．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．1.1 集合的概念
【学习目标】
1.了解集合的含义，掌握集合中元素的三大特性；
2.掌握元素与集合的关系，并能用符号表示；
3.掌握集合的常用表示方法.
【教材知识梳理】
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称 ，常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
解读：(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，如给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
三．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
四．集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素_________________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法；
2.描述法： 设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为__________________.
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或）变化范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
【答案】
一．1.研究对象 a，b，c… 2.元素 集 A，B，C… 3.一样
4.确定性 互异性 无序性
二．1.a属于集合A a∈A 2.a不属于集合A a A
三. N N*或N＋ Z Q R
四．1.一一列举出来 2.
概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
（1）某班的所有高个子同学可以组成一个集合．（ ）
（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．（ ）
（3）由－1,1,1组成的集合中有3个元素．（ ）
（4）集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．（ ）
（5） 集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．（ ）
【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√
【教材例题变式】
（源于P3例1）例1.用列举法表示下列集合：
满足不等式的质数组成的集合；
（2）一次函数与的图象的交点组成的集合．
【答案】（1）不等式即为，故满足要求的质数为2、3、5、7，用列举法表示为.
（2）联立方程组，解得，故图象的交点为，用列举法表示为.
归纳：使用列举法表示集合的注意点
（1）元素间用“，”分隔开；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
（源于P4例2）例2.用描述法表示下列集合：
所有被3整除的整数组成的集合；
(2)抛物线上所有点组成的集合；
【答案】(1)； (2).
【详解】（1）集合的元素是实数，被3整除的整数可以表示为，，故用描述法表示为；
（2）集合的元素为点，其坐标要满足函数的解析式，故用描述法表示为.
归纳：用描述法表示集合时的注意点
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
【教材拓展延伸】
用符号“”或“”填空：
（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则______B，______B；
（2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则－1_____D，_____D．
【答案】（1） （2）
归纳：判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
例4．（1）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
（2）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】（1）A （2）D
【详解】（1）根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形. 故选：D.
（2）∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．故选：D．
归纳：根据集合中元素的特性求值的步骤
例5.已知集合，，，分别说出它们的含义.
【答案】集合是指函数的自变量取值的集合，即；
集合是指函数的所有函数值的集合，即；
集合是指函数图象上所有点的集合，是一个点集.
【课外作业】
基础过关
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．联合国的常任理事国 B．小于的正整数
C．全国著名的高等院校. D．所有的有理数
【答案】C
【详解】对于A，常任理事国是确定的，所以能构成集合；
对于B，小于的正整数，是确定的，所以能构成集合；
对于C，全国著名没有一个确定的标准，违反了集合中元素的确定性，故不能构成集合；
对于D，有理数，是确定的，所以能构成集合； 故选：C.
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不属于自然数，故A错误；不属于正整数，故B正确；
是无理数，不属于有理数集，故C错误；属于实数，故D错误. 故选:B.
3．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，可得；所以.故选：C
4．若，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】根据题意，，故中元素的个数为.故选：C.
5．已知集合，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】是单元素集，集合中的元素是，
，，，
集合中的元素是点，. ∴.故选：D.
6．（多选）下列正确表示方程组的解集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由，解得，所以该方程组的解集为或. 故选BD．
7．已知集合，如果且，那么________.
【答案】或
【详解】因为且，
则当，即时，集合，满足题意；
当，即或时，集合或，
显然当时，不满足题意，时，满足题意，综上所述，或.
故答案为：或.
8．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为__________.
【答案】
【详解】，，为非零实数，
当，，时，；
当，，中有一个小于时，不妨设，，，
；
当，，中有两个小于时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为．
9．已知集合．
(1)若，求实数a的值； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值.
【答案】（1）∵，∴，∴；
（2）当时，，符合题意；当时，，∴．
综上，或.
能力提升
10．已知集合，，，若，，则必有（ ）
A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【详解】由题意设，，其中都是整数，
则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴， 故选：B．
11．（多选）已知集合中的元素满足，其中，，则下列选项中属于集合的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ACD
【详解】当时，，所以，A正确；
当时，，C正确；
当时，，D正确；
因为，，故，，B错误. 故选：ACD.
12．（多选）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
【答案】BC
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得 .
对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得，故B正确；
对于C: 若，有，解得：，故C正确；
对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC.
13．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
【答案】（或）
【详解】不妨设，由题意得，，，所以，，中必有两个是相等的.
若，则，故，又，或，所以（舍去）或或，此时.
若，则，此时，故，此时.
若，则，此时，故，此时.
综上，或.
14．已知集合有唯一元素，用列举法表示满足集合的条件的的取值集合__________．
【答案】
【详解】当时，有唯一解；当时，有唯一解；当时，即有唯一解，所以，解得；综上的取值集合为. 故答案为：.
15．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
【答案】（1）证明：∵，∴．∵，∴．
∴集合A中有元素－1，；
（2）由题意，可知若（且），
则，，，
且，，，故集合A中至少有3个元素；
（3）由（2）知A中元素的个数为．又集合A是有限集，且，
若为奇数，则集合A中所有元素的积为；若为偶数，则集合A中所有元素的积为1．
所以集合A中所有元素的积为1或－1．
16．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】（1），
（2）设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集.

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