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5.7　三角函数的应用
【课前预习】
知识点一
(1)振幅　最大距离　(2)　(3)f==　(4)ωx+φ
初相
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为|A|.
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相为-φ.
(3)该振子在一个周期内通过的路程为20 cm,所以该振子在2 s内通过的路程为20×=100(cm).
【课中探究】
探究点一
例1　解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描点、连线,s=4sin,t∈[0,+∞)的图象如图中实线部分所示.
(1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球在开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
变式　解:(1)由题图知A=,T=2×=,
∴ω==,∴I=sin.
由“五点法”作图知×+φ=π,解得φ=,
∴I=sin.
(2)由(1)知T=>,∴在任意一段 s的时间内,电流强度I不能既取得最大值,又取得最小值.
探究点二
例2　解:(1)因为1月份的月平均最高气温最低,7月份的月平均最高气温最高,所以最小正周期T=2×(7-1)=12,
所以ω==,所以cos=-1,cos=1.
因为φ∈(0,π),所以φ=.因为1月份的月平均最高气温为3 ℃,7月份的月平均最高气温为33 ℃,所以-A+k=3,A+k=33,所以A=15,k=18.
所以G(n)的解析式是G(n)=15cos+18,n∈[1,12],n为正整数.
(2)易知y=15cos+18在区间[1,7]上单调递增,在区间[7,12]上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存,且G(3)=15cos+18=10.5,G(4)=15cos+18=18,所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G(10)=G(4)=18,G(11)=G(3)=10.5,所以该植物在11月份、12月份也可生存.
故一年中该植物在该地区可生存5个月.
变式　解:(1)由题意可得,函数P(t)的最小正周期T==.
(2)函数P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,
则此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值相比较偏高一点.
探究点三
例3　解:(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4 ℉,最高气温为7月份73.0 ℉,
故估计=7-1=6,所以估计T=12.
估计2A的值等于最高气温与最低气温的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,所以估计A=25.8.
(3)当x∈[0,6]时,①②中的函数均单调递减,与图象不符,所以应选③.
变式　y=0.4cos+37,x∈[0,24]　[解析] 设y=Acos(ωx+φ)+c(A>0,ω>0),则c==37,A==0.4,ω==.由0.4cos+37=37.4,即cos=1,即+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,故可用y=0.4cos+37,x∈[0,24]来近似地描述这些数据.5.7　三角函数的应用
【学习目标】
　　1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
　　2.体会三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.
　　3.通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.
◆ 知识点一　函数y=Asin(ωx+φ)中各量的
物理意义
简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
(1)A就是这个简谐运动的　　　　,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的　　　　　;
(2)简谐运动的周期是T=　　　　,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式　　　　　　给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
(4)　　　　称为相位;x=0时的相位φ称为　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A. (　 )
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相为φ. (　 )
(3)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. (　 )
◆ 知识点二　解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.
(1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
(2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
(3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
(4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
◆ 探究点一　三角函数模型在物理学中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少
(3)经过多长时间小球往复振动一次
变式 如图5-7-1是电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式I=Asin(ωt+φ)的部分图象.
(1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)在任意一段 s的时间内,电流强度I既能取得最大值,又能取得最小值吗
图5-7-1
[素养小结]
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
◆ 探究点二　三角函数模型在日常生活中的应用
例2 [2022·北京通州区高一期末] 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律,因此第n个月的月平均最高气温G(n)可近似地用函数G(n)=Acos(ωn+φ)+k来刻画,其中正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1表示1月份,A和k是正整数,ω>0,φ∈(0,π).统计发现,该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同,1月份的月平均最高气温为3 ℃,是一年中月平均最高气温最低的月份,随后逐月递增,直到7月份达到最高,为33 ℃.
(1)求G(n)的解析式;
(2)某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存,求一年中该植物在该地区可生存几个月.
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式P(t)=115+25sin 160πt,其中P(t)为血压(mmHg),t为时间(min).
(1)求函数P(t)的最小正周期;
(2)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
[素养小结]
解三角函数应用问题的基本步骤
◆ 探究点三　三角函数模型的拟合
例3 下表是某地某年的月平均气温(单位:℉):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
记x=月份-1,平均气温为y.
(1)描出以上各点,并用三角函数的图象去拟合这些数据.
(2)估计这个三角函数的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据
①=cos;②=cos;③=cos.
变式 下表中给出了在24小时内某人的体温的变化(从夜间零点开始计时).
时间x(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度y(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2
时间x(时) 14 16 18 20 22 24 -
温度y(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8 -
选用一个三角函数模型来近似地描述这些数据,则该模型为　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.

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