资源简介

《实际问题与一元二次方程》教学设计
北京市海淀区中关村中学　杨爱青
一、内容和内容解析
1．内容
用一元二次方程解决“封面设计问题”．
2．内容解析
本节课是21．3 实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．
在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型．探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度．在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）会用一元二次方程解决“封面设计问题”．
（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力．
2．目标解析
（1）能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果．
（2）完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”．
三、教学问题诊断分析
探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手．学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在．由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点．
四、教学过程设计
1．弄清题意
问题1　怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话？
师生活动　教师提问，学生思考、回答．
根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数？哪几个，为什么？”加以引导．
一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数（上面的边衬宽度和左面的边衬宽度）”．
【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系．
问题2　题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？
师生活动　学生读题，思考，可以适当讨论．根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导．如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话？“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么？
学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为．
【设计意图】培养学生读题、审题能力．
2．实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换
问题3　如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言？
师生活动　学生思考并回答问题．这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系．
设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为?cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm．
把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：．
教师追问： 四个未知数、、、，它们之间还存在怎样的数量关系？
这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么？
把“图形语言”翻译成数学符号语言可得： ．
【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件．
3．解决问题
问题4　怎么解决“封面设计问题”？
师生活动　教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论．
前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽 、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：
，．
教师引导学生发现，这就是一个以、、、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了．
【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想．
问题5　请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法．
师生活动　学生独立思考、解题，并与同学交流．教师请同学展示解法并进行点评．
学生可能的解法：
（1），（2），（3），（4）．
方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分别代入（3）、（4）求出a、b的值．
说明1：在由（1）、（2）求、的过程中，可以依据，设简化计算．
说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为?cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度．
方法二：由（3）、（4）变形得，把（5）、（6）分别代入（1）、（2）可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值．
说明：把（5）、（6）代入（2）化简可得，可以依据，设，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，进而求出、的值．
【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式．
问题6　你求出的、的值都是实际问题的解吗？
师生活动　教师提出问题，学生通过计算得出结论．
【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解．
4．回顾反思
问题7　通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会？
师生活动　请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：
（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（2）在 “封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？
【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法．
5．布置作业
教科书习题21．3第5，8，9题．
五、目标检测设计
1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（　??? ）．
A．　　　? B．　　　　C．　　　 D．
【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．
2．(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．
《实际问题与一元二次方程》同步试题
北京市海淀区中关村中学　杨爱青
一、选择题
1．已知长方形的面积为．若它的长比宽多2 cm，则它的宽为 (　　)．
A．8 cm????????????? B．6 cm???????? C．4 cm??????? D．2 cm
考查目的：考查用一元二次方程解决简单的几何图形面积问题．
答案：B．
解析：设小长方形的宽为cm，则它的长为cm．由题意可得，解得，不符合题意舍去，故答案应选择B．本题也可由每个选项中的“宽”，算出“长”，然后用“长比宽多2cm”进行验证得到答案．
2．某商场将某种商品的售价从原来的每件200元经两次调价后调至每件162元．设平均每次调价的百分率为x，列出方程正确的是(　　)．
A． ??? B．?
C．???? D．
考查目的：考查对实际问题中的基本数量关系的分析能力．
答案：D．
解析：由于第一次调价后每件元；第二次调价后每件元，故答案应选择D．
3．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是(　　) ．
A．5??????????? B．6? ????? C．7???? D．8
考查目的：分析几何图形，挖掘图形中隐蔽的数量关系．
答案：B．
解析：设这个多边形的边数为n，列方程，解方程得，而不符合题意舍去，本题答案为B．本题也可画出四个选项中的多边形和它们的对角线，直接数对角线的条数．
二、填空题
4．若两个相邻自然数的积为156，则这两个自然数分别为??????? ????????．
考查目的：考查用一元二次方程解决简单的数学问题．
答案：12，13．
解析：因为两个相邻自然数相差1，所以可以设这两个自然数分别为、，可列方程，解得，不符合题意舍去，故答案为12，13．本题也可以利用平方数进行估算，然后再计算验证得出答案．过程如下：由于，，所以有．
5．某林场第一年造林200亩，第一年到第三年这三年中共造林728亩．若设每年平均增长率为x，则应列出的方程是__________?????????????????????? ．
考查目的：考查读题、审题能力及对实际问题中的基本数量关系的分析能力．
答案： ．
解析：由题意可知，第一年造林200亩，第二年造林亩，第三年造林亩，所以三年共造林亩，应列出的方程是．
6．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．若设截去小正方形的边长为x厘米，则应列出的方程为?????????????????? ??????????????．
考查目的：挖掘几何图形中隐蔽的相等关系，并用一元二次方程进行描述．
答案：．
解析：因为长方形底面的长为厘米，宽为厘米，因此应列出的方程为．
三、解答题
7．如图，在矩形中，，．点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动．如果、同时出发，用表示移动的时间．那么当为何值时，Δ的面积等于？
考查目的：用一元二次方程解决简单面积问题．
答案：或．
解析：这道题中的相等关系为：，因为表示移动的时间，点以的速度移动，点以的速度移动，所以，可列方程，解方程得，所以或．
8．如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点从点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果、两点同时出发，经过几秒钟，能使△的面积为8个平方单位．
考查目的：用一元二次方程解决数学综合问题以及分类讨论思想．
答案：经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为8个平方单位．
解析：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，8），所以，OA=6，OC=8．设经过x秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位，则Rt△PQO的高OQ为2x．
当时，点P在线段OA上，底OP为，可列方程，解得．
当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP为，可列方程，解得，而不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为8个平方单位．

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