资源简介

《二次函数与一元二次方程》教学设计
北京市第二十中学　王云松
一、内容和内容解析
1．内容
二次函数与一元二次方程．
2．内容解析
“一元二次方程和二次函数是”是“数与代数”领域中重要的内容，其内容的复杂性、综合性和思想性都很强，在第三学段占有重要地位．本节，是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，为后面要学习的实际问题与二次函数等相关知识做好铺垫，起着承上启下的作用．
在教科书中，首先回顾了从一次函数的角度看一元一次方程的有关内容，在此基础上提出了课题，认识二次函数与一元二次方程的联系．为了更好地理解本节课的内容，教材编写者设置了一个小球飞行问题．在这个问题中，将小球飞行的某一高度的值代入到函数解析式中，就得到了一元二次方程，使所要解决的问题转化为解一元二次方程．由此引出，已知二次函数的值求自变量的值，可以看作解一元二次方程；反过来，解方程可以看作已知二次函数的值为0，求自变量x的值．然后利用二次函数的图象讨论一元二次方程．接着教科书中，由“思考”栏目引出，二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标是相应一元二次方程的根；二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应一元二次方程根的三种情况．最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法，并且给出了一定精确度下的近似根的一般处理访求．通过本节课，使学生能够用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解，理解一元二次方程的解可以有其几何直观表示．这种形与数的结合，可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解一元二次方程的根的几何意义；知道抛物线与x轴的三种位置关系与一元二次方程的根的三种情况的对应关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，了解一元二次方程根的几何意义；
（2）理解抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；
（3）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2．目标解析
（1）对于二次函数的图象与x轴交点的横坐标，学生能够理解其实质是一元二次方程的解；同样对于一元二次方程的解，可以看作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，两者是统一的．因此可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解，一元二次方程的解可以有其几何直观表示．
（2）理解方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根，与其所对应的二次函数的图象与x轴的交点个数分别为两个、一个和没有之间的关系．
（3）针对一元二次方程，如果其有实数根，则学生能将其转化为画对应的二次函数图象，并通过读图象与x轴交点，估计方程的根．
三、教学问题诊断分析
学生在前面的学习中，已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，能够利用图象解一元一次方程及不等式（组）．本节课，学生可以利用类比方法继续学习二次函数与一元二次方程的关系．这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题．由于二次函数、一元二次方程较一次函数、一元一次方程在复杂性、综合性和思想性上都有所加强，因而其学习和理解的难度相应加大．特别是二次函数的图象与x轴交点的个数与所对应一元二次方程的解的个数之间的关系，学生理解起来比较困难．突破这一难点，可以借助信息技术手段．例如，解方程时，用几何画板软件画出相应抛物线，显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出相应方程的根，如果对应的抛物线与x轴没有公共点，则说明一元二次方程没有实数根．
本课的教学难点是二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系．
四、教学过程设计
（一）复习提问，明确结论
1．解一元一次方程；
2．画一次函数 的图象，并指出函数的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标是什么？
问题1?一元一次方程与一次函数有什么联系？
师生活动：学生解方程和画图象，回顾一元一次方程与其对应一次函数的关系，明确关于x的一元一次方程的解就是一次函数的图象与x轴有交点的横坐标；反之也成立．
【设计意图】通过回顾一次函数与一元一次方程的联系，为后面用类比的方法继续探索二次函数与一元二次方程的联系做铺垫．培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质．
（二）创设情境，探究新知
问题2 ?如图22．2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20．5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
师生活动：想一想：
（1）关系式中的两个变量及所表示的意义？
（2）当h取一些具体值时，你得到的关于t的哪些一元二次方程？
（3）如何求这些一元二次方程的根呢？
画一画：
画出的图象，观察图象，体会以上问题的答案．
说一说：
你能结合所画图象指出为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?……
议一议：二次函数的图象与一元二次方程的解有什么关系？
【设计意图】让学生直观感受生活中的现象，体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣．通过四个问题的逐渐加深，把二次函数和二次方程联系起来，直观的感受到二次函数和二次方程之间的联系．
问题3 ?已知二次函数的值为3，求自变量x的值？
师生活动：学生将该函数转化为解方程．得其两根；教师指出解方程就是已知二次函数的值为0，求自变量x的值．这两者是统一的．师生共同归纳：???????
一元二次方程的两个根为，则抛物线与x轴的交点坐标是．
【设计意图】让学生通过计算、观察、思考、交流形成初步的结论——求二次函数某个函数值的时候可转化为解一元二次方程．
（三）问题探究，深入思考
问题4 下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？
．
由此，你能得出相应的一元二次方程吗？直接写出它的根．
师生活动：学生结合图象发现:
（1）的图象与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1;当x取公共点的横坐标时，函数的值是0． 由此得出方程的根是-2，1．
（2）的图象与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程有两个相等的实数根3．
（3）的图象与x轴没有公共点， 由此可知，方程没有实数根．
【设计意图】让学生通过观察函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，并体会一元二次方程根的个数与二次函数与x轴交点的个数的关系． 让学生充分感受到“数形结合”的数学思想．
（四）归纳总结，形成结论
问题5 你能根据刚才的探究，完成下列表格吗？
二次函数的图象和x轴交点个数
一元二次方程
的根
一元二次方程
根的判别式Δ=b2-4ac
2
两不等实数根
1
两相等实数根
0
无实数根
师生活动：学生完成表格，教师及时发现和纠正学生出现的问题．
【设计意图】让学生运用自己的语言归纳结论，培养学生的语言表达能力，教师出示表格，更有利于学生观察发现“交点个数”与“根的个数”之间的联系，让学生形成系统化的知识体系．
（五）例题示范，学以致用
例　利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1）．
师生活动：学生画出图象，尝试由图象与轴的交点坐标，读出的近似解．教师借助几何画板，画出图象，并通过软件的度量功能，近似地得到方程的解．教师强调：由图象求得的根，因为存在画图和读数的误差，一般是近似的．若要得到更为精确的近似解，可以用教科书介绍的方法（二分法）．
【设计意图】通过设计本例题，让学生理解画二次函数的图象也可以求一元二次方程的近似解．这也是学生难以理解的地方，借助信息技术的绘图及度量功能，直观演示，降低学生理解的难度．
（六）练习巩固，加深理解
1．填空：
已知二次函数的图象如图所示：图象与x轴有　　　个交点，交点的横坐标是　　　　　　，则方程有　　　　　个根，方程的根是　　　　　　；
2．用图象法求方程的根．
【设计意图】通过练习，加深学生对新知识的理解，让学生感受到成功的喜悦．
（七）归纳小结，反思提高
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）这节课你学到了哪些知识？
（2）在用图象法解一元二次议程理要注意哪些问题？
（3）这节课你体会到了哪些数学方法和数学思想？
（八）布置作业：教科书习题22．2第１题，第２题．
五、目标检测设计
1．抛物线与x轴的交点个数有(??? )．??????????????????
?A．0个　　　? B．1个? 　　　? C．2个　　　??? D．3个
【设计意图】考查对二次函数图象与x轴交点个数的理解．
2．根据下列表格的对应值，判断方程一个解x的范围是(??? )．??????? ?
x
2．23
2．24
2．25
2．26
-0．06
-0．02
0．03
0．09
A．2C．2．24【设计意图】考查将一元二次方程的根转化为抛物线与x轴交点的理解应用．??
3．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是???????? ．
【设计意图】考查对一元二次方程根的情况与抛物线与x轴交点的对应关系理解应用．
4．抛物线的图象如图所示，请根据图象回答：
（1）方程的解是什么？
（2）x取何值时，？
（3）x取何值时，？
【设计意图】考查二次函数与一元二次方程关系的理解应用，并借助图象直观感受一元二次不等式的解集．
《二次函数与一元二次方程》同步试题
北京市第二十中学　王云松
一、选择题
1．抛物线与x轴的交点个数有(??? ) ．?????????????????
?A．0个 　　　? ??B．1个? 　　 　? C．2个 　　　?? ?D．3个
考查目的：考查对二次函数图象与x轴交点个数的理解．
答案：A．
解析：，二次函数图象与x轴无交点．故选A．
2．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(?? )．
A．?? B． ?　　?? C． ?　　??? D． ?
考查目的：考查二次函数的图象与x轴有交点与对应一元二次方程根的判别式的关系．
答案：D．
解析：因为二次函数的图象与x轴有交点，对应一元二次方程的判别式非负，所以 ．故选D．
3．函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（　　）．
A．有两个不相等的实数根???? ??? ??? B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根?????????????? D．没有实数根
考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与直线交点关系的理解．
答案：C．
解析：求的根，实际上是求与y=3两个图象交点的横坐标．由图象可得其交点唯一， 因而方程有两个相等的实数根．故选C．
二、填空题
4．已知二次函数的图象与x轴无交点，则k的取值范围是???? ????．
考查目的：考查对一元二次方程根的情况与抛物线与x轴交点的对应关系理解应用．
答案：．
解析：因为二次函数的图象与x轴无交点，对应一元二次方程的判别式小于零，所以 且解得，
5．已知二次函数的顶点坐标及部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和　　　　　　．
考查目的：二次函数图象的对称性及与对应一元二次方程的根与图象与x轴交点的关系．
答案：-3．3．
解析：由对称性可得图象与x轴另一个交点坐标为(-3.3，0)．
6．根据下列表格的对应值，判断方程一个解x的范围是??????????? ．???????
x
3．31
3．32
3．33
3．34
-0．07
-0．03
0．02
0．06
考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与x轴交点关系的理解．
答案：3．32解析： 当，对应，当，对应，所以时，3．32三、解答题
7．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根（精确到0．1）．
考查目的：一元二次方程根与对应二次函数与x 轴的交点．
答案：，．
解析：画函数的图象，读出其与x 轴的交点坐标分别约为(0．6，0)和(-1．6，0)．
图象如下图所示：
8．已知函数二次函数．
求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点．
考查目的：二次函数的图象与轴的交点与对应一元二次方程根的判别式取值情况的对应关系．
答案： ，不论为何值时，都有，
此时二次函数图象与轴有两个不同交点．
解析：将对应一元二次方程的根的判别式，进行配方，由其配方式的形式可判断，故方程有两个不等的实数根，所以对应的二次函数与x轴有两个不同交点．

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