资源简介

《实际问题与二次函数》教学设计
北京市中关村中学　杨爱青
一、内容和内容解析
1．内容
建立二次函数模型，解决“利润最大”问题．
2．内容解析
商品销售问题广泛存在于我们的日常生活中．一类由商品价格调整引起的销量和销售利润变化的问题，其变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，因此可以利用二次函数的图象和性质研究这类问题．
在探究 “最大面积”问题的基础上继续探究“最大利润”问题，使学生再次经历“设变量，建立变量之间的函数关系，解决函数问题，得到实际问题的解”这种利用函数模型解决问题的过程，认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，进一步体会二次函数与实际的联系．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）会建立二次函数模型，解决“利润最大”问题；
（2）通过对“利润最大”问题的探究，体会函数模型的价值．
2．目标解析
（1）能用二次函数表示问题中变量之间的关系，掌握利用顶点坐标解决最大（小）值问题的方法；
（2）通过运用函数模型解决“利润最大”问题，体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题．
三、教学问题诊断分析
与学习函数的相关知识比较，在用函数的观点认识问题、解决问题时，学生会遇到更多的困难，学生更习惯于解 “数学化的应用题”，面对问题情境与实际情况比较贴近，数量关系更复杂的实际问题，学生的主要困难是：（1）不会审题，不能正确找到变量之间的数量关系；（2）不能用适当的方法表示问题中的数量关系，难以建立函数模型．这也是本节课的教学难点．教学中，加强对实际问题的分析，引导学生审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系，有助于突破难点，顺利解决实际问题．
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
买东西时，我们总是希望少花钱，多办事．而对于商家来说，追求利润的最大化就是他们的目标．商品的价格是影响利润的重要因素之一．应用数学的知识和方法进行计算分析，可以帮助我们对商品进行合理定价使利润最大．
问题1　如何应用数学的知识和方法进行计算分析，对商品进行合理定价使利润最大呢？请看下面的问题（教材50页探究2）：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
师生活动　教师提出问题，学生思考．
【设计意图】让学生体会现实中“最大利润”问题普遍存在，对商品价格运用数学方法进行分析，并在此基础上进行合理定价，具有重要的现实意义．
2．分析问题，建立模型
调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先看涨价的情况．
问题2　题中涉及到哪些量，哪些是变量，它们之间存在怎样的关系？
师生活动　学生独立思考并回答问题．由于题目中涉及的量较多，教师可以引导学生通过列表格的方法梳理各种数量关系．
题中涉及到的量有：销售单价，成本单价，销售量，总利润，其中除成本单价外，均为变量．它们之间的基本关系为： ，或总利润=．设每件涨价元，每星期售出商品的利润为元．
方法一：用“”列函数关系式：
?
销售单价（元）
销售量（件）
总销售额（元）
总成本额（元）
总利润（元）
现在
60
300
涨价后
，即．
方法二：用“” 列函数关系式：
?
销售单价（元）
单件利润（元）
销售量（件）
总利润（元）
现在
60
20
300
涨价后
，即．
【设计意图】引导学生审清题意，弄清题中涉及的量，以及量与量之间的基本关系，突破难点，建立函数模型．
问题3　涨价有没有限制？若有，如何确定其取值范围？
师生活动　学生思考并回答问题．这里要让学生充分表达自己的观点，在独立思考的基础上与同学交流，体会题目的实际意义．
依题意可得：
?
解不等式组，得．
【设计意图】根据实际意义求出自变量的取值范围．
问题4　你能仿照涨价的情况讨论降价的情况吗？
师生活动　学生仿照涨价的情况求出降价相应的函数关系式和自变量取值范围．
【设计意图】熟悉销售问题中的基本数量关系．
3．应用模型，解决问题
问题5　你能应用二次函数的图象和性质解决探究2中的问题吗？
师生活动　学生用公式法或配方法找到抛物线的顶点坐标，综合涨价与降价两种情况及现在的销售情况找到利润的最大值．
【设计意图】应用函数知识得到函数模型的解．
4．巩固练习，学以致用
教科书习题22.3第2题．
师生活动? 教师提出问题，学生思考、回答．学生展示解答过程，教师点评．
【设计意图】在完成“探究2”之后，通过类似问题让学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力．
5．归纳小结，反思提高
问题6?? 请带着下列问题回顾探究2的解决过程，谈谈自己的感悟：
（1）说说你所知道的“销售问题”中的基本数量关系；
（2）解决探究2的问题时，你遇到了哪些困难，是如何解决的？
师生活动　学生自主发言，相互交流，教师适时引导．
【设计意图】让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出解决问题的关键节点．
6．布置作业
教科书习题22.3第5，8题．
五、目标检测设计
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并写出自变量取值范围．
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获最大利润？最大月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
【设计意图】考查学生用二次函数解决“最大利润”问题．
《实际问题与二次函数》同步试题
北京市第一零一中学　李爱民
一、选择题
1．心理学家研究发现，某年龄段的学生，30min内对概念的接受能力与提出概念所用时间之间满足函数关系．则学生接受概念的能力最强的时间是（?? ）．
A．13 min????　? ??? B．26 min????? ?　?? C．43 min????　 D．59.9 min
考查目的：考查抛物线顶点坐标的计算．
答案：A ．
解析：配方得，也可以利用公式求出顶点坐标，所以时间min时学生接受概念的能力最强,故答案应选择A．
2．烟花厂为烟花三月旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度（m）与飞行时间（s）的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（?? ）．
A．3s????? 　　?B．4s???　　　 C．5s??　　　? D．6s
考查目的：考查抛物线顶点坐标的计算和对实际问题的分析能力．
答案：B．
解析：配方得．
∵，∴这个二次函数图象开口向下．
?
∴当时，升到最高点．故答案应选择B．
3．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润则应降价（??? ）．
A．20元??????　??? B．15元??????　??? C．10元????　?????? D．5元
考查目的：考查利用二次函数的有关知识解决实际问题．
答案：D．
解析：设减价元，利润为元．
．
当时，获利最大，为625元．故答案应选择D．
二、填空题
4．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子． 现在准备多种一些橘子树以提高产量，但是多种橘子树，那么树之间的距离减少，受到的阳光会减少． 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子． 设果园增种棵橘子树，果园橘子总个数为个，则果园增种??????? 棵橘子树，橘子的总个数最多．
考查目的：考查二次函数的应用．
答案：10．
解析：设增种棵橘子树，则果园共有棵橘子树．
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，
∴增种棵橘子树，平均每棵树就会少结个橘子，平均每棵树结个橘子．
果园橘子总个数为．
所以当取10，也就是110棵橙子树时，产量最高为60500个．
5．某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． 则与的函数关系式为???????? ，自变量的取值范围是?? ?????????．
考查目的：考查用二次函数解决简单的实际问题．
答案：， ．
解析：设每件商品的售价上涨元(为正整数)， 则每件商品的利润为元， 总销量为件，
商品利润为．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元， ∴．
6．某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）与每件的销售价格（元/件）之间满足一次函数．在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为??????? 元时，才能使每月的毛利润W最大，每月的最大毛利润是为??????? 元．
考查目的：考查用二次函数的有关知识解决实际问题．
答案：24，1920．
解析：设一次函数为，把，和，代入，解得：，则．每月获得利润．所以当时，有最大值，最大值为1920．
三、解答题
7．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假设每件商品降价元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请写出与间的函数关系式，并说明的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入购进成本）
考查目的：考查二次函数的应用．
答案：（1）．（2）销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6 400元．
解析：（1）设降价元．
依题意：
整理得：
（2）由（1）配方得：．
∵，
∴当时取最大值，最大值是6400，即降价3元时利润最大，
∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元．
8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（km/h）与时间（h）的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为（h）内沙尘暴所经过的路程（km）．　　（1）当时，求s的值；
　　（2）将随变化的规律用数学关系式表示出来；　　（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
考查目的：考查用一次函数、二次函数解决综合问题．
答案：（1）24；（2）；；；（3）会，30 h．
?
解析：设直线交与的函数图象于点．
（1）由图象知，点的坐标为（10，30），故直线的解析式为v=3t，　　当时，点坐标为（4，12），　　∴，．　　∴（km）；
（2）当时，此时，（如图1），
∴=．
?
当时，此时，，（如图2），
∴．
?
当时，∵的坐标分别为，，
∴直线的解析式为．
∴点坐标为．
∴，（如图3）．
∴．
?
（3）∵当时，（km），
当时，（km），而，
所以N城会受到侵袭，且侵袭时间应在沙尘暴发生后20 h至35 h之间，
由，解得或（不合题意，舍去）．
所以在沙尘暴发生后30 h它将侵袭到N城．

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