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《圆的有关性质》教学设计
北京市海淀实验中学　吴　波
一、内容和内容解析
（一）内容
圆的定义 ，圆中一些相关概念．
（二）内容解析
圆的定义和圆中一些相关概念，是研究圆的性质的基础．圆的性质是进一步研究圆与其他图形位置和数量关系的主要依据，是全章的基础．
本节课的教学重点是理解圆的描述性定义和集合定义．学生通过动手画圆，观察画圆的过程，体会圆的概念形成的过程，归纳出圆的概念，确定圆的两个要素，即圆心和半径，圆心定位置，半径定大小．在此基础上，教师引导学生思考从圆的角度，从点的集合的角度两方面来定义圆，得出圆的集合定义．圆中半径、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念，应根据图形明确其概念以及异同．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．理解圆的描述性定义和圆的集合定义．?
2．了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系．
3．经历圆的描述性定义的形成过程，经历探索圆的集合定义的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，提升思维能力．
（二）目标解析
1．学生通过动手画圆，观察画圆的过程，体会圆的概念形成的过程，归纳出圆的概念，归纳出确定一个圆的要素．
2．通过动手画圆的过程，引导学生首先感知到圆是一个点的集合．并进一步从两个方面去理解这个点集合的含义，即：从圆的角度看，圆上各点到定点的距离都相等；从点的角度来看，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
3．教师作为课堂思维活动的组织者和引导者，组织学生经历观察、思考、归纳的思维过程，引导学生从不同角度深入思考问题，从而提升思维能力．
三、教学问题诊断分析
学生虽然在小学学习过圆，但是对圆的概念停留在直观感受上，所以在本节课的教学过程中，学生对圆的集合定义的理解会有困难．这就需要通过圆规画圆的过程，与学生的已有经验和直观感受联系起来，在此基础上，教师要做必要的引导，引导学生从圆和点的角度来观察和思考，归纳出圆的集合定义．并通过问题和习题的设置来加深学生对圆的集合定义的理解．
本课的教学重点是圆的概念的形成过程，以及对概念的理解．在引导学生对概念进行探索和思考的过程上要下功夫．
本课的教学难点是圆的集合定义的理解．
四、教学过程设计
（一）创设情境?? 引入新知
教师展示教科书图24．1－1，并提出：
问题1　生活中还有哪些物体给我们以圆的形象？为什么圆给我们美丽的形象呢？
师生活动：学生回答．师生共同感受圆是美丽而常见的几何图形，圆形物体在生活中随处可见．圆给我们美丽形象的原因之一在于它具有独特的对称性，无论从哪个角度看，它都具有同一形状．
【设计意图】和学生的生活经验相联系，学生感受圆是常见的美丽的几何图形，从直观感受上体会圆独特的对称性．为今后研究圆的性质作铺垫．
问题2　在小学，学过哪些圆的相关知识呢？你对圆的知识有哪些了解呢？
师生活动：学生回答，教师给予评价．引导学生回忆画圆的方法．
【设计意图】和学生的已有知识和经验相联系，回忆画圆的方法．为后面圆的定义的引出作铺垫，也可帮助学生更好的了解和圆中的相关概念．
问题3　根据小学学过的知识，你能给出圆的定义吗？
师生活动：学生思考并尝试回答，教师给予引导．
【设计意图】设置疑问，给出要思考并解决的问题．为后面的观察探索归纳活动作铺垫．
（二）观察感知 探究概念
活动1　用圆规画圆，观察画圆的过程，思考圆是如何画出来的．
师生活动：学生动手操作，感受圆的形成过程，归纳圆的描述性定义．教师引导学生根据定义区分圆和圆面这两个容易混淆的概念
【设计意图】经历圆的描述性定义的形成过程，通过观察和思考，归纳出概念，获得成功的体验．
问题4　我们知道两点确定一条直线；不共线的三点确定一个三角形．那么如何确定一个圆呢？
师生活动：学生思考并归纳确定圆的要素——圆心和半径．教师引导学生思考，圆心定的是什么，半径定的是什么？圆心相同，半径不同的一组圆有什么特点？（同心圆）半径相同，圆心不同的一组圆有什么特点？（等圆）
【设计意图】引导学生思考图形的确定性问题，扩大思考的深度和维度．
问题5　（1）五个小朋友站成一个圆圈，做一个抢红旗的游戏，把这只小红旗放在什么位置，才能使这个游戏比较公平？为什么？”
（2）图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
师生活动：学生思考并归纳， 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)
【设计意图】通过生活游戏实例引入问题，可以让学生对问题先有比较具体和直观的感受，再引发学生进一步延伸到对几何图形的思考，
问题6　（1）已知A 为定点， 点B到点A的距离是3cm，你能确定点B的位置吗? 你能画出到A的距离是3cm的所有的点吗?距离是5cm的点呢?
（2）到定点的距离等于定长的点在位置上有什么特点？
师生活动：学生通过作图和思考，归纳出: 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．教师引导学生通过画圆感受圆是点的集合．
【设计意图】圆的集合定义是本节课的难点，先通过一个具体的问题，引发思考，给学生更直观、更具体的感受，感受圆是点的集合，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．再从特殊到一般，从具体到抽象，为后面归纳出圆的集合定义做铺垫？．
问题7 （1）回忆角平分线的性质定理和逆定理，思考角平分线可以看作是满足什么条?????? 件的点的集合？
（2）回忆线段垂直平分线的性质定理和逆定理，思考线段垂直平分线上的点可以看作是满足什么条件的点的集合？
（3）圆可以看作是满足某些条件的点的集合吗？要满足什么条件呢？
师生活动 学生回忆并思考，得出角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点地集合；线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的点的集合．教师引导学生类比归纳出圆的集合定义：圆可以看成是到定点的距离等于定长的点的集合．
教师追问：（1）圆的内部可以看成是满足什么条件的点的集合？
（2）圆的外部可以看成是满足什么条件的点的集合？
【设计意图】把几何图形看成满足某种条件的点的集合的思想，学生前面已经有这样的经验．圆的集合定义是本节教学的难点，将要解决的问题和学生已有的经验联系起来，通过类比的方法得出圆的集合定义，有利于突破这一难点．最后引导学生尝试用点的集合来定义圆的内部、圆的外部，学生会对用点的集合来定义概念有进一步理解，并为后面“点和圆的位置关系”的学习做铺垫．
例1　求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一圆上
师生活动：教师引导学生思考证明几个点共圆的方法，学生归纳出，证明几个点共圆，只要证明出这几个点到圆心距离是定长即可，理论依据是圆的集合定义．
【设计意图】进一步体会圆的集合的定义，得出证明几点共圆的理论依据和常用办法．
（三）圆中一些相关概念
1．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
直径：经过圆心的弦叫做直径．
2圆弧：圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆．
优弧：大于半圆的弧叫优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧．
师生活动：教师给出圆中有关的概念，学生结合图形认识这些概念，教师引导学生了解有些概念之间的异同．
【设计意图】了解圆的相关概念，为后面圆的学习作准备．
例2 判断对错：
（1)弦是直径;
（2)直径是弦;
（3)半圆是弧;
（4)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
（5)半圆所对的弦是直径?
（6)过圆心的线段是直径???
（7)直径相等的两个圆是等圆
（8)一条弦把圆分成两条弧，一条是优弧， 一条是劣弧
师生活动：学生思考并回答，教师评价．
【设计意图】巩固圆的相关概念，辨析异同．
（四）归纳小结，反思提高
教师和学生共同回顾本节课的内容，并请学生回答以下问题：
1．本节课你学到了什么？还有哪些困惑?
2．圆的定义是什么？
3．证明几个点共圆的方法是什么?
（五）布置作业：
教科书81页练习第1，2，3题．
五、目标检测设计
1．下列说法错误的是(???????? )．
A．半圆是弧
B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径
D．比半圆长的弧是优弧
【设计意图】巩固圆的相关概念，辨析异同
2．设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形．
?(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；
?(2)和点B的距离等于4cm的点的集合．
【设计意图】巩固圆的集合定义的知识．
3．求证：菱形各边的中点在同一个圆上．
【设计意图】巩固证明几个点共圆的方法．
《圆的有关性质》同步试题
北京市海淀实验中学　吴　波
一、选择题
1．下列说法错误的是(???????? )
A．直径是弦
B．弦是直径
C．过圆心的线段是直径
D．比半圆长的弧是优弧
考查目的：考查对圆中相关概念的理解．
答案：B．
解析：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
2．下列说法正确的有(???????? )个
（1)半圆是弧；
（2)圆心相同的两个圆是同心圆；
（3)半圆所对的弦是直径；
（4)直径相等的两个圆是等圆．
A．1?? 　　　B．2? 　　　 C．3 　　?? D．4
考查目的：考查对圆中相关概念的理解．
答案：D．
解析：圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆．
直径相等则半径相等，能够互相重合，是等圆．
3．在以AB=6㎝为直径的圆上，到AB的距离为3㎝的点有（???）???
A．无数个????????B．1个??????????C．2个???????D．4
考查目的：圆的对称性．
答案：C．
解析：与AB垂直的直径与圆的两个交点为符合要求的点．
二、填空题
4．如图，图中有?????? 条直径，??????? 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有?? 条，劣弧有? ??条．
考查目的：考查对圆中相关概念的理解．
答案：一，二，四，四．
解析：利用弦，直径，优弧，劣弧的概念可得出答案．
5．如图若∠A=40°，则∠ABO=______，∠AOB=______.
考查目的：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)
答案：40°，100°．
解析：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)，由半径相等可以得到等腰三角形，从而进行角度间的计算．
6．如图，CD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，AE交⊙O于B，且AB=OC，则∠A的度数为______．
考查目的：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)，利用性质进行角度间的计算．
答案：16°．
解析：连结OB，所以AB=OC=OB，得出∠BOA=∠A，利用外角定理，得出∠EBO=2∠A，因为OE=OB，得出∠OEB=∠EBO=2∠A，再利用外角定理，得出∠EOD=3∠A，所以∠A=16°
三、解答题
7．设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
考查目的：对圆的集合定义的理解．
答案：．
解析: 圆可以看成是到定点的距离等于定长的点的集合．
8．如图在△ABC中，∠C=90°，AB的中点O．
（1）求证：A，B，C三点在以O为圆心的圆上．
（2）若∠ADB=90°，求证A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
考查目的：圆的集合定义的运用，考查证明几点共圆的方法．
答案 （1）连结OC，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
（2）连结OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
解析:因为到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．所以证明几个点共圆，只需要证明这几个点到某个定点的距离相等即可．

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