资源简介

《正多边形和圆》教学设计
北京市海淀区中关村中学　杨爱青
一、内容和内容解析
1．内容
正多边形的画法．
2．内容解析
实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等．画正多边形的关键是等分圆周，教科书以正六边形为例，介绍了两种等分圆周的方法，即用量角器等分圆周和用尺规等分圆周．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解正多边形与圆的关系，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．
（2）体会数学在生产生活中的应用．
2．目标解析
（1）了解只要把圆分成相等的一些弧，就可以画出这个圆的内接正多边形，这是画正多边形的理论依据．会用量角器等分圆心角的方法等分圆周画正多边形，会利用基本作图作圆的内接正三角形、正方形和正六边形．
（2）了解实际生活中经常会遇到画正多边形的问题，并能举出一些具体的例子．
三、教学问题诊断分析
用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法，在七年级时学生曾经用这种方法画过五角星，因此比较熟悉，教学中可以充分利用信息技术工具，比如几何画板，展示用量角器等分圆周的过程，尤其对于边数较大的正多边形的画图．同时还可以通过几何画板演示，让学生直观地感受随着正n边形的边数n的增大，正n边形的周长和面积越来越接近圆的周长和面积．用尺规只能完成一些特殊的正多边形的作图，教科书只对正四边形和正六边形的情况进行了研究．教学时应重点介绍它们的作法依据，然后让学生自己练习．
四、教学过程设计
1．复习引入
问题1　如何做出一个圆的内接正多边形？
师生活动：教师提出问题并引导学生回忆“等分圆周得到正多边形”的方法．教师可根据学生情况进行追问．
追问1：怎么等分圆周？
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
追问2：通过等分圆心角等分圆周，进而做出正多边形的方法，可以画出任意的正n边形吗？
【设计意图】在明确“等分圆周，并顺次连接各分点就可得到正多边形”的基础上，综合运用前面所学的圆的知识解决问题．
2．应用画图
问题2　画一个边长为2cm的正六边形，你有什么办法？
师生活动：教师提出问题，学生独立画图．教师请一位同学到前面用实物投影展示自己所做的正六边形，并引导学生说明正六边形的画图方法．
以2 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于=60度的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到边长为2 cm的正六边形．
追问：你能用圆规和直尺作出边长为2 cm的正六边形吗？
教师引导学生通过观察发现正六边形的边长等于半径，所以在半径为2 cm的圆上依次截取等于2 cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连结各分点即可得到半径为2 cm的正六边形．
【设计意图】理解并掌握两种等分圆周做正六边形的方法．
问题3　除了正六边形，用圆规和直尺还可以作哪些正多边形？
师生活动：教师提出问题，学生思考、作图．教师可根据学生具体情况进一步追问．
追问：在用圆规和直尺作出正方形和正六边形的基础上，你还能作出哪些正多边形？
在作出⊙O的内接正方形的基础上，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即可以作出圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形、……；在作出⊙O的内接正六边形的基础上，即可以作出圆内接正十二边形，照此方法依次可作正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……
【设计意图】理解并掌握两种等分圆周做正多边形的方法，并使学生明确用圆规和直尺只能作出一些特殊的正多边形．
3．设计图案
问题4　你能用等分圆周的方法画出下列图案吗？
图1???????????? 图2?????????????? 图3
师生活动：教师提出问题，学生观察图案，通过分析明确图案的构成和画法．
图1：以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧，可以用圆规、直尺完成．
图2：以正六边形的中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，可以用圆规、直尺完成．
图3：作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画10条弧，这个画图需要借助量角器，不能用圆规、直尺完成．
【设计意图】复习巩固两种画正多边形的方法，发展学生画图的能力，对学生进行美的教育．
4．小结
问题5　通过这节课，你学会了什么？
师生活动：教师提出问题，学生自主总结，交流，相互补充．
通过这节课，知道了两种等分圆周的方法，即用量角器等分圆周和用尺规等分圆周，并且明确了用量角器等分圆周的方法可以画任意正多边形，而用尺规等分圆周只能画一些特殊的正多边形．
【设计意图】通过学生自我小结，明确了本节课的目标，同时又实现了自我反馈，从而建构起自己的知识经验，形成自己的见解．
5．巩固应用
教科书P108练习题第1题．
6．布置作业
教科书习题24．3第8，9题．
五、目标检测设计
分别用两种等分圆周的方法画正八边形．
【设计意图】考查正多边形的画法．
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《正多边形和圆》同步试题
北京市一零一中学　李爱民
一、选择题
1．下列正多边形不能用尺规作图画出的是（? ???）．
A．正三角形????? B．正方形??? ??C．正五边形???? D．正六边形
考查目的：考查尺规作图法作圆内接正多边形．
答案：C．
解析：尺规作图法不能作圆内接正五边形，故答案应选择C．
2．用尺规作图法作出正三角形后，还能继续用尺规作图法作出的正多边形是（???? ）．
A．正方形 ?????? B．正六边形 ?????? C．正九边形?????? D．正十边形?
考查目的：考查正多边形的尺规作图法．
答案：B．
解析：作出圆内接正三角形后，再过圆心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即可以作出圆内接正六边形，照此方法依次可作正十二边形、正二十四边形……故答案应选择B．
3．下列⊙O的内接正多边形中，最接近圆的面积的是（???? ）．
A．正六边形????? B．正八边形????? C．正十边形????? D．正十二边形
考查目的：考查正多边形的面积的与圆的面积的关系．
答案：D．
解析：圆内接正多边形的边数越多，面积越接近圆的面积，故答案应选择D．
二、填空题
4．正八边形的中心角的度数为_______°，每一个内角度数为_______°，每一个外角度数为_______°．
考查目的：考查正多边形中心角、内角、外角的概念．
答案：45；135；45．
解析：中心角的度数为360°÷8=45°；每一个内角度数为（8-2）180°÷8=135°；每一个外角度数为360°÷8=45°．
5．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积分别记作S3、S4、S6，则它们之间的大小关系是_____．（用“>”连接）
考查目的：考查正多边形的周长与面积的关系．
答案：S6>S4>S3．
解析：在周长相等的条件下, 边数越多，面积越大．
6．下列命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心；③正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心；④圆内接正多边形各边所对的弧相等．其中假命题是_______（填序号）．
考查目的：考查正多边形的有关知识．
答案：④．
解析：①圆内接多边形各边相等，所对的劣弧所对的圆周角相等，所以是正多边形；②正多边形的内角平分线必过中心，所以任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心；③正多边形每边的中垂线是对称轴，必过中心，所以，任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心；④圆内接正多边形各边所对的弧分为优弧和劣弧，不一定相等．所以①②③正确，④错误．
三、解答题
7．已知，如图，在⊙O中用尺规作图法画圆内接正方形．
考查目的：考查尺规作图法作圆内接正方形．
答案：图略．
解析：在⊙O中作两条互相垂直的直径，垂足为O，就可以把圆四等分，顺次连接四等分点，从而作出圆内接正方形．
8．已知，如图，画图把⊙O十等分．
考查目的：考查用度量法等分圆周．
答案：画图略．
解析：把360°的圆心角用量角器十等分，每一份36°，角的边与圆的交点即为各十等分点．
9．已知，如图，在⊙O中用不同的方法画圆的内接正三角形．
考查目的：考查用度量法、尺规作图作正多边形．
答案：如图．
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图1??????????????????? 图2??????????????????? 图3
解析：度量法①：如图1，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
度量法②：如图2，用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
尺规作图法：如图3，用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径的弦，间隔一点顺次连接其中的AB、BC、CA即可．
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