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《弧长和扇形的面积》教学设计
北京市十一学校　李鹏飞
一、内容和内容解析
（一）内容
弧长和扇形的面积．
（二）内容解析
“弧长和扇形面积”作为圆这一章中的重要组成部分，是在研究了圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等之后，进一步研究的圆中有关弧、扇形、圆心角、圆等之间的数量关系．弧长公式是在是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的．运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积．应用这两个公式公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积．同时，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积．
2．在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想．
（二）目标解析
达成目标1的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等于圆面积的；能够发现n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；能利用弧长表示扇形面积．并能利用公式计算简单组合图形的弧长和面积．
达成目标2的标志是：在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想．
三、教学问题诊断分析
圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解．教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长，在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧长相等，越大的圆心角所对的弧越长等等，然后求180°的圆心角（半圆）所对的弧长，再通过求90°，60°的圆心角所对的弧长，逐渐认识弧长，再求1°的圆心角所对的弧长，再通过求2°，15°等等圆心角所对的弧长，最后探索n°的圆心角所对的弧长，通过n°圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式．通过类比的方法得到扇形的面积公式．
本节课的教学难点是：推导弧长和扇形面积公式的过程．
四、教学过程设计
1．推导并应用弧长公式
问题1　制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图1中所示的管道的展直长度L（结果取整数）．
师生活动：
（1）先给时间让学生分析题中条件：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，问题的关键是求弧长．
（2）如何求100°的圆心角所对的弧长呢？（学生活动：分小组讨论求解方案）
（3）老师引导：
①圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
②180°的圆心角所对的弧长（半圆）是多少？
③90°的圆心角所对的弧长（半圆）是多少？
④在同圆或等圆中，每一个1°的圆心角所对的弧长有怎样的关系？
⑤1°的圆心角所对的弧长是多少？
⑥n°的圆心角所对的弧长是多少？
由此引导学生逐步得出结论：
n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为2πR，利用1°圆心角所对的弧长，再乘以n，就可以得到n°的圆心角所对的弧长为．（此时教师还要强调公式中n的意义，n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的．）
（4）根据弧长公式，计算100°的圆心角所对的弧长，并完成问题解答．
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【设计意图】引导学生发现问题、分析问题和解决问题．首先抛出一个学生还不能解决（没学过）的问题：100°的圆心角所对的弧长如何计算？激起学生的求知欲望，引导学生自己去发现和探索未知的领域．然后搭台阶，通过一系列小问题，让学生逐步由已知领域（圆的周长），逐步探索、发现、认识未知的领域n°的圆心角所对的弧长计算公式，让学生学会思考，学会分析问题和解决问题，并从其中获得成功的体验．
2．推导扇形面积公式
问题2 同学们已经学习过扇形了，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如何计算扇形面积？你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形面积的公式？
师生活动：学生独立思考并讨论．类比弧长公式的研究过程（从求360°的圆心角所对的扇形面积出发，先研究180°、90°的圆心角所对的扇形面积，再研究1°的圆心角所对的扇形面积，再研究n°的圆心角所对的扇形面积），可以发现在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的，即，则n°的圆心角所对的扇形面积为．
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【设计意图】类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形面积公式．
问题3 比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？
师生活动：学生独立思考并讨论．通过观察可以发现扇形面积公式中，分子含有因式，则分子可写成；分母360可写成180×2．所以弧长可以来表示扇形面积，，所以．其中l为扇形的弧长，R为半径．
此时教师可以引导学生，扇形面积的另一个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长l看成是底，半径R看成是高就可以了．
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设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备．
3．练习、巩固弧长和扇形面积公式
例2　如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0．6m，其中水面高0．3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
老师引导：
（1）你能否在图中标出截面半径0．6m和水高0．3m？（线段AB和线段CD）
（2）分析截面上有水部分图形的形状，如何求它的面积？（扇形面积－三角形面积）
师生活动：（1）给时间让学生独立思考，并完成解题过程（老师巡视、个别指导）；
（2）小组交流，并由小组推荐一名学生板书过程；
（3）师生共同分析板书学生的解题过程．
【设计意图】结合具体例子研究弓形的面积的求法．加深学生对扇形面积公式的理解和运用．同时小结不规则图形的解法：若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决．
练习　教科书第113页练习第1，2，3题．
师生活动：两名学生分别板书2,3题，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．
【设计意图】练习1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响．练习2是巩固弧长公式．练习3是巩固扇形的面积公式．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？
（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？
【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想．
5．布置作业
教科书习题24．4，2，4，6，8题．
五、目标检测设计
1．已知扇形的圆心角为70°，半径为1，则这个扇形的弧长是______．
【设计意图】考查学生对弧长公式的掌握．
2．已知扇形的圆心角为50°，半径为4cm，则扇形的面积是________cm2．
【设计意图】考查学生对扇形面积公式的掌握．
3．如图，正△ABC内接于⊙O，边长为4 cm，求图中阴影部分的面积．
【设计意图】考查学生对扇形面积公式的掌握．
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《弧长和扇形的面积》同步试题
北京市十一学校　李鹏飞
一、选择题
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　 　）
A．??? ??????????B．π??? ????????C．?? ????????????D．
?
考查目的：考查弧长公式．
答案:D．
解析：根据弧长公式知：扇形的弧长为．故选D．
?
2．圆心角为120°，弧长为的扇形半径为（ ????）
A．6?????? ?????????B．9???? ??????C．18????? ??????????D．36
考查目的：考查弧长的计算．
答案: C．
解析：设该扇形的半径是，
∵n=120°，，∴，∴．故选C．
?
3．如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为弧DD′，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．??????? B．?????? C．?????? D．
?
考查目的：正方形的性质、旋转的性质、扇形面积的计算．
答案: C．
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBD′=45°，BC=CD，
∵BD的长为，
∴BC=CD=1，
∴S扇形BDD′=，
S△CBD=×1×1=，
∴阴影部分的面积：，故选C．
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二、填空题
4．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为??????? cm2．
考查目的：考查扇形公式．
答案: ．
解析：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：（cm2）．
?
5．若扇形的圆心角为60°，弧长为，则扇形的半径为　 ????　．
考查目的：考查弧长公式．
答案: 6．
解析：∵扇形的圆心角为60°，弧长为，∴，则扇形的半径．
?
6．如图，在中，，，，分别以点和为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分面积为　 　（结果保留）．
考查目的：考查扇形面积的计算、勾股定理、相切两圆的性质等．
答案: ．
?
解析：根据题意设两圆的半径为，在中，
∵，，，
∴，即,
∴．
∵，
∴，
∴阴影部分的面积是．
故答案是．
?
三、解答题
7．如图，它是由两条直线和中间半圆形弯道组成的．若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1.22米，则外跑道的起点应前移多少米？(π取3.14，结果精确到0．01米)
考查目的：考查弧长的计算．
答案: 3.83米．
解析：本题是一个实际应用题，应将其转变为几何图形．事实上，外跑道中间的弯道比内跑道的弯道长的长度，即为外跑道的起点应前移的长度．理解题意，求出两弯道的长度差即可．
解：因弯道为半圆形，所以外弯道比内弯道长的距离为
?(米)，
?
所以外跑道的起点应前移3.83米．
8．如图，Rt的斜边，是的中点，以为圆心的半圆分别与两直角边相切于点、，求图中阴影部分的面积．
考查目的：考查扇形面积的计算．
答案: ．
?
解析：阴影部分面积可以看成是一个小直角三角形与一个扇形面积的差的2倍；或者是大直角三角形与半圆面积的差．
解法一：由题意知，，连接，则．
∵，∴．
又∵，∴．
∴．
解法二：由对称性知，，
∴．

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