资源简介

《用列表法求概率》教学设计
北京市第二十中学　王云松
一、内容和内容解析
1．内容
用列表法求简单随机事件的概率．
2．内容解析
学生在前几节的学习中，已经了解了概率的意义及通过直接列举试验结果的方法，求简单随机事件发生的概率．这种求概率的方法，是建立在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等．但是当每次试验涉及两个因素（或两步实施）而每一因素又有多种情况时，用直接列举的方法不够方便．为了不重不漏的列出所有结果，教科书给出了用表格进行列举的方法——列表法．
列表法是依据试验涉及的两个因素（或是两个步骤），将它们分别作为表格的横纵表头，而将实验的所有结果写在表格之中，从而实现不重不漏地列举出所有结果．这种有序分步地进行问题分析的方法，将在接下来的列树状图求概率及高中阶段排列组合的学习中继续运用．另外，学习本节课将进一步培养学生的随机观念，加深对概率意义的理解．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用列表法求随机事件发生的概率．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）理解列表法的适用条件；
（2）能用列表法求随机事件发生的概率．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能理解一次试验“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义；理解列表法相对于直接列举，体现了有序分步思考较复杂问题时所起的作用．
达成目标（2）的标志是：列表法每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有等可能结果，并会利用古典概率的定义对指定的随机事件求出其发生的概率.
三、教学问题诊断分析
本节是在上一节的基础上，继续研究用列举的方法求概率．相比上一节，这一节中的问题相对复杂些，试验中每一种结果都包含两个子结果（这时试验往往是分两步实施，或涉及两种因素等）．当试验结果比较复杂时，采用一些特殊形式帮助梳理列举的条理，往往有利于不重不漏的列举试验的结果．因此，教科书在通过设计掷骰子的例子介绍了借助列表格列举试验结果的方法．学生针对两步操作的问题，往往还是愿意使用直接列举的方法，甚至有时直接将每个因素所出现的结果进行相加，而作为所有出现的结果，说明学生还没有真正理解列表的含义．
基于以上分析，本节课的教学难点是：能根据试验的分步实施或涉及因素准确列表．
四、教学过程设计
1．创设情境，引入新知
问题1 ?小聪、小明和小慧设计了一个游戏：同时掷两枚硬币，如果都是正面朝上，小聪羸；如果都是反面朝上，小明赢；如果是一正一反，小慧赢．你来判断一下，这个游戏公平吗？
师生活动：学生展开讨论，发表自己的意见．学生能说出游戏是否公平取决于三人获胜概率的是否相等．如果学生认为游戏公平，则其把“两正”、“两反”、“一正一反”当作了是三种等可能性的情况. 教师针对这学生出现的问题，要向学生阐明：事实上我们可以将两个硬币分开来看，可以为其标出序号1，2，这样可以将所有情况一一列举出来：正1正2（记为事件A）；正1反2；反1正2；反1反2（记为事件B），显然这四种情况出现的可能性相等．因而P(A)=，P(B)=，而一正一反（记为事件C）的结果共有2种．
所以P(C)=．由于三种事件的概率不同，因而这个游戏是不公平的．
【设计意图】创设现实情境，由学生感兴趣的游戏入手，引入课题，调动学生的学习积极性．通过学生的计算，既回顾了上节课直接列举所有等可能情况下，求随机事件发生概率的方法，又向学生展示了涉及两个因素试验随机事件发生概率的求解，所以本题起着承上启下的作用．
教师追问1　“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
师生活动：教师引导学生进行思考、讨论，明确“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，没有本质的区别．当同时抛掷两枚硬币时，由于每枚硬币相对独立，其所出现的结果不受另一枚硬币的影响，这与先后抛掷一枚硬币道理一样．两种情形下，都会出现“正正”，“正反，“反正”，“反反”四种等可能性的结果．这说明，当一次试验的结果涉及两个因素时，可以采用分步思考的方法对两个因素按序分析．
【设计意图】通过追问，引发学生思考，并明确当试验中涉及两个因素时，等价于分两步实施，体现思考的有序性和分类思想．
2．探究新知，明确方法
问题2 ?同时抛掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数会出现多少可能的结果？它们出现的可能性是否相等？
师生活动：教师提出问题，引发学生思考：如果用直接列举的方法方便吗？师生共同分析，在这个问题中也是涉及到了两个因素（第一枚骰子和第二枚骰子），而每个因素的取值个数较多，达到6种，如果直接列举会比较复杂，而且可能会出现重复或遗漏．怎样才能做到不重不漏呢？师生交流后达成共识相，可以采用列表格的形式，将第一枚骰子的所有可能结果作为表头的纵列，将第二枚骰子的所有结果作为表头的横行，并按序将两枚骰子共同组成的所有可能结果填入表中．学生动手画出如下表格：
学生通过表格发现共有36种结果，而且它们的可能性相等．这样就比较直观地将涉及两个因素的所有可能出现的结果不重不漏的体现出来，相对于直接列举优势明显．教师指出，通过列表格的方法将试验的所有可能出现的结果列举出来的方法，叫列表法．今后，当一次试验涉及到两个因素（或两步实施）时，可以选用列表法．
【设计意图】明确列表法的适用条件及列表的一般方法．
3．例题示范，学会应用
例　同时抛掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2．
问题３　例题中的试验涉及几个因素？你能用列表法计算这三个事件发生的概率吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答这个试验涉及到了两个因素（两枚骰子），因而可以用列表法．通过刚才的列表，我们已经知道试验共有36种可能的结果，并且它们发生的可能性相同．所以，弄清在问题中的三个事件中，各自包含多少种可能的结果是解题的关键．学生观察表格可以看出：
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个（满足条件的结果在表格的对角线上），即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)；
（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个（满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上），即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)；
（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个（满足条件的结果在数字2所在的行和2所在的列上），所以P(C)．
师生共同归纳，运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；
②通过表格计数，确定公式P(A)中 m和n的值；
③利用公式P(A)计算事件的概率．
【设计意图】运用列表法求概率，巩固概率求法的一般步骤．
教师追问2　“同时抛掷两枚质地均匀的骰子”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子”，得到的结果有变化吗？为什么？
师生活动：学生分析回答，与刚才游戏中抛掷硬币的道理一样，同时掷两枚与先后掷同一枚并不能影响结果的可能性的大小．从而得出结论：如果试验只涉及两个因素，并且每个因素取值数为有限多个的情形，就可以用列表法求概率，如果实验只涉及一个因素，但要分两步进行时时，也可以用列表法．
【设计意图】明确试验涉及到两个因素时，其本质就是进行分步分析，有序思考．
4．反馈练习，巩固方法
练习：在一个口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机地摸出一个小球后，记下标号放回，再随机地摸出一个小球，用列表法求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于5.
师生活动：学生运用刚才学习的列表法进行分析计算，教师巡视指导．通过列表，可知共有25种可能的结果，且这些结果的可能性相同．两次取的小球的标号相同（记为事件A）的结果共有5个，所以P(A)；两次取的小球的标号的和等于5（记为事件B）的结果共有4个，所以P(B)．
【设计意图】 复习巩固用列表法求概率的方法，渗透随机观念和建模思想.
变式：在一个口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机地摸出一个小球后，不放回，再随机地摸出一个小球，用列表法求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于5.
师生活动：教师指导学生列出表格，与刚才的表格对比，少了五种可能性. 这是因为当第一次取了某个标号的小球后而不放回，所以表格中不会出现标号相同的小球．这样所有等可能性的结果是20个，标号相同的结果为0个，所以（1）中事件发生的概率为0；（2）中标号和为5的结果仍然是4个，所以其概率为．
【设计意图】通过变式练习，加深学生对列表法求概率的理解和应用，明确试验中有放回与无放回时对试验结果存在影响.
5．归纳小结，反思提高
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
(1)列表法求概率的适用条件是什么？
(2)列表法求概率的一般步骤是什么？
(3)使用列表法要注意哪些问题？
【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——列表法求概率，明确其方法和一般步骤．
6．布置作业
教科书P138页练习；习题25．2第3题．
五、目标检测设计
1．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次正面都朝上的概率是（? ??）
A．? ??B．? ?? ???C．? ? ???D．
【设计意图】考查学生对掷硬币模型的理解．
2．小杰与小龙玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小杰赢的概率是　　　　　　　；　　　
小龙赢的概率是　　　　　　　．这个游戏是否公平？
【设计意图】考查学生在实际情境中运用列表法解决问题的能力．??
3．如图有2个转盘，分别分成5个和4个相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，同时转动2个转盘后任其自由停止，（指针指向两个扇形的分界线时，则重转一次），用列表法求下列事件的概率：
（1）两个指针同时指向红色；
（2）指针一个指向红色，另一个指向绿色.
?
【设计意图】考查学生在实际情境中运用列表法解决问题的能力．
《用列表法求概率》同步试题
北京市第二十中学　王云松
一、选择题
1．连掷两次质地均匀的硬币，两次均为正面朝上的概率是（??? ）
A．????? ?????? B．?????????? C．????? ??? ????D．0
考查目的：考查两枚硬币模型的理解应用．
答案：A．
解析：通过列表或直接列举，共有4种等可能性结果，而两次均正面朝上的只有一种，故选A．
2．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是（??? ）
A．????? ?????????B．????????????? C．????????????? D．
考查目的：考查列表法求概率的应用．
答案：C．
解析：通过列表可以看出，在36种等可能性中，一个点数能被另一个点数整除的结果共有22个，故选C．
3．甲盒装有3个小球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个小球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是（??? ）
A．1?????????????? B．????????????? C． ?????????????D．
考查目的：考查列表法求概率的应用．
答案：C．
解析：通过列表可以看出，在6种等可能性中，两球标号之和为4的结果共有2个，所以P（两球标号之和为4）=，故选C．
二、填空题
4．一个布袋中装有1枚白色围棋棋子，1枚黑色棋子，现从袋中有放回地摸棋子两次，摸到两个白子的概率为?????? ，先摸到白子，再摸到黑子的概率为????? ．
考查目的：考查两枚硬币模型的理解应用．
答案：；．
解析：通过列表可以看出，因为有放回,所以等同于同时投掷两枚硬币模型，在4种等可能性中，摸到两个白子的可能性只占1种，先摸到白子，再摸到黑子的可能性也是1种，故两个事件发生的概率均为．
5．如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是 ????????．
考查目的：列表法求概率在实际问题中的应用．
答案：．
解析：通过列表可以看出，在15种等可能性中，两个指针所指区域的数字和为偶数的结果共有7种，故该事件发生的概率为．
6．小明与小军在一起下棋时,需要确定下棋的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中两个人都出“布”的概率是? ??????????．
考查目的：考查列表法求概率在实际问题中的应用．
答案：．
解析：通过列表可知共有9种等可能性结果，而两人同时出“布”的结果只有1种，所以概率为．
三、解答题
7．一家医院某天出生了2个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这2个婴儿中，出现1个男婴、1个女婴的概率是多少？
考查目的：考查对两枚硬币模型的应用．
答案：．
解析：通过列表或直接列举可知共有“男男”、“男女”、“女男”、“女女”4种结果，而它们出现的可能性是相等的，其中“一男，一女”的结果有2个，所以出现1个男婴、1个女婴的概率为．
8．如图所示的甲乙两个转盘中，指针固定，转盘可以自由转动．现转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积(若指针停在扇形的分界线上,则约定指向分界线的右侧数字)．
（1）请用列表法列举所有可能得到的数字之积；
（2）请求出数字之积为奇数的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　
考查目的：考查列表法求概率在实际问题中的应用．
答案：（1）24种；（2）．
解析：由列表可知，两数之积的情况有24种，它们的可能性相等,而数字之积为奇数的共有6种,所以P(数字之积为奇数)=．

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