资源简介

《用频率估计概率
》教学设计
北京市中关村中学　杨爱青
一、内容和内容解析
1．内容
从统计试验结果的角度研究概率．
2．内容解析
前面两节，教科书给出了概率的古典定义，并利用列举法求一些简单随机事件的概率．本节课是从统计试验结果的角度研究概率，即通过频率研究概率．教科书通过设置一个可以用概率的古典定义求得概率的投硬币试验，一方面让学生经历随机试验获得事件发生频率，用频率的稳定趋势估计概率的过程，另一方面让学生体会用频率估计的概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同方法求得的是同一个概率，且用频率估计概率比古典定义更具有一般性．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）理解概率的意义，知道如何用频率估计概率；
（2）体会频率与概率的区别与联系．
2．目标解析
（1）能够通过随机试验，获得事件发生的频率；知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率；
（2）知道频率与概率是两个不同的概念，频率与试验的次数有关，而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与试验次数无关．随机事件发生的频率的稳定值就是概率．
三、教学问题诊断分析
本节课是在前两节的基础上，从统计试验结果的角度研究概率．理解概率的意义，体会频率与概率之间的区别与联系是本节课的教学重点，同时也是本节课的教学难点．教学中，要明确用频率估计概率的条件及方法，即当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．利用频率估计概率的数学依据是大数定律，即当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动，这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．教学中应该鼓励学生使用现代信息技术，采用模拟方法进行试验． 通过亲自参与试验，使学生体会随机试验中频率的随机性以及大量重复试验中频率的稳定性，进而促进对概率意义的理解与掌握，领会频率与概率之间的辩证关系．
四、教学过程设计
1．复习引入
问题1　用列举法求概率的条件是什么？方法是怎样的？
师生活动：教师提出问题，学生回答问题．
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．
?
【设计意图】复习概率的古典定义，为引出概率的统计定义做准备．
问题2　天气预报中说的“降水概率70%”能用列举法算出来的吗？
师生活动　教师提出问题，学生思考并回答问题．
【设计意图】生活实际中存在大量的不符合“试验结果个数有限和等可能”条件限制的概率问题，不能用古典定义求概率，从而引出本节课的课题“用频率估计概率”．
2．试验探究
用列举法可以求一些事件的概率，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率．
问题3　抛掷一枚质地均匀的硬币时，实验结果有两个 “正面向上”和“反面向上”，并且它们发生的可能性相等，因此我们可以用概率的古典定义求得“正面向上”这个随机事件发生的概率是0.5．这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”呢？
师生活动：教师提出问题，并组织学生用实验进行检验．全班同学分成10组．每组同学掷一枚硬币50次，由课代表整理同学们获得的试验数据，并记录在表25—3中．第1组的数据填在第1列，第2组的数据之和填在第2列，…，第10组的数据之和填在第10列．如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率．
追问1：观察试验所得数据，“正面向上”的频率有什么规律？
学生观察分析表25—3中的数据，发现正面向上的频率在0.5左右波动．如果学生没有发现频率的分布规律，教师可引导学生根据表25—3中的数据，在图25．3—1中标注出对应的点．
接下来，我们增加试验的次数，看看有什么新的发现？
历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈地做了成千上万次的掷硬币试验．阅读教材第143页表25—4，并观察折线图：
追问2：请同学们观察一下，这个折线图与25．3—1的折线图反映的规律有什么不同？出现的规律与试验次数有何关系？
学生通过观察可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动．
教师引导学生总结：随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们说“正面向上”的频率稳定于0.5．它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
追问3：抛掷一枚硬币100次时，一定会有50次“正面向上”和50次“反面向上”吗？
【设计意图】初步体会频率与概率的区别与联系．让学生再次经历数据的收集、整理、描述、分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律．
3．小结
问题4　通过这节课，你对求随机事件的概率有什么新的认识？
师生活动：教师提出问题，并引导学生回答下列问题：
（1）在什么条件下适合用计算事件的概率？
?
（2）事件发生的概率与事件发生的频率有什么联系和区别？
（3）用频率估计概率的一般方法是什么？
【设计意图】设置这个问题，是想引导学生对两种求概率的方法进行总结，再一次明确它们适用的条件及具体的操作方法；进一步加深对频率、概率这两个概念的认识，领会它们之间的辩证关系．
4．巩固应用
教科书第144页练习第1题．
师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．选学生展示解答过程，教师点评．
【设计意图】在“投硬币试验”之后，安排一道用频率估计概率的小题，是想巩固用频率估计概率的一般方法，培养学生根据频率的稳定趋势估计概率的能力．
5．布置作业
教科书第148页习题25．3第4题．
五、目标检测设计
1．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（??? ）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷
B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的
?
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球
【设计意图】考查学生对“概率意义”的理解．
2．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中，每次从盒中抽出一张卡片，然后放回再搅匀，记录结果如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍数的频数
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3的倍数的频率
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？
【设计意图】巩固用频率估计概率的一般方法．
《用频率估计概率
》同步试题
北京市一零一中学　李爱民
一、选择题
1．本市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（??? ）
A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨?????????
B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨?
C．明天本市一定下雨??????
D．明天本市下雨的可能性是70%
考查目的：概率与可能性大小的关系．
答案：D．
解析：降水概率指的是下雨的可能性的大小，故答案应选择D．
2．下列说法中正确的是（???? ）
A．某种彩票中奖概率1%，则购买100张彩票必然中奖??????????
B．连续掷一枚质地均匀的正方体骰子5次都不是1点，掷第6次骰子肯定是1点
C．掷两枚质地均匀的正方体骰子1000次，点数之和是7的频率接近
D．连续掷硬币100次，正面朝上的次数等于50次
考查目的：随机现象的理解．
答案：C．
解析：选项A可能购买100张彩票没有一张中奖；选项B掷1点的概率是，不代表掷6次骰子肯定有一次是1点；选项C掷的次数越多，点数之和是7的频率就越接近概率；选项D掷硬币，正面朝上的概率是50%，但掷100次不一定有50次正面向上．故答案应选择C．
3．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出1000次，出现的数字分别为，则正好是直角三角形三边长的频率接近（??? ）
A．???????????? B．??????? ???????C．?????????????? D．
考查目的：频率与概率的关系．
答案：B．
解析：三边长是3，4，5时构成直角三角形，共有6种情况，所有等可能的情况有6×6×6=216种，通过计算可知，正好是直角三角形三边长的概率为6÷216=，所以试验1000次的频率更接近，故答案应选择B．
二、填空题
4．有四张不透明的卡片为除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片500次，抽到写有无理数卡片的频率约为?? ?．
考查目的：考查频率与概率的关系．
答案：．
解析：和是无理数，从四张不透明的卡片中抽到写有无理数卡片的概率为，随机抽取一张卡片500次，则频率更接近概率．
5．某车间生产的零件不合格的概率为，从它们生产的零件中每天任取10个做检验，平均来说，?????????? 天会查到一个次品．
考查目的：考查概率与频率的关系．
答案：100．
解析：由题意可知，概率为的意义为1000个零件中可有一个次品，每天任取10个，100天任取1000个，重复下去，多次试验，频率越来越接近概率．
6．外科大夫甲和乙手术不成功的概率分别为1%和2%，甲大夫已连续成功做了99例手术，乙大夫已连续做了99例手术，但有两次失败，那么下一次选择???? 大夫做手术更好．（填甲或乙）
考查目的：考查概率的定义．
答案：甲．
解析：根据概率的定义，甲大夫做手术的成功率较高．
三、解答题
7．设计一个实验，估算6个人中有两个人同一个月过生日的概率大约是多少．
考查目的：利用模拟实验的方法估算概率．
答案：约为0.78．
解析：方法1：设计一个可自由转动的转盘，分成12个面积相等的扇形，标上12个月，自由转动6次，记录结果．重复多次；方法2：取扑克牌中1—12共12张牌，每次充分洗匀后抽一张牌，抽6次为一组，记录结果．重复多次．
8．省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
考查目的：用频率估计总体．
答案：（1）50名；（2）18人，；（3）160人．
解析：（1）由图1知：（名）．
答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人． ．
最喜欢篮球活动的有18人，最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的．
（3），（人），
（人）．
答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．

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