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4.2.2等差数列的前项和公式（第二课时）
书读百遍
要点1 等差数列的前项和的性质
等差数列的前项和可以写成，故也是 数列.
等差数列的依次每项之和组成公差为 的等差数列.
若等差数列的项数为.
，则
；
证明如下：
若等差数列的项数为
；则
，
（5）设两个等差数列的前项和分别为
证明如下：
即
要点2 等差数列的前项和的最值
在等差数列中，
当时，有最 值，使取得最值的的值可由不等式组 确定；
当时，有最 值，使取得最值的的值可由不等式组 确定；
，若时，则从二次函数的角度看：
当时，有最 值； 当时，有最 值；
当取最接近二次函数图象的对称轴的正整数时，取到最值.
题型一 等差数列的前项和的性质
例1
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则该数列的公差为 ；
项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的项数与中间项.
练习：有一项数为的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
例2
等差数列的前项和为30，前项之和为100，则数列的前项的和
；
设是等差数列的前项和.若则 ；
设设是等差数列的前项和， .
归纳：已知等差数列的前项和，可以构造出新的等差数列，常见的构造方法有：
是等差数列，公差是数列公差的倍；
数列是等差数列，公差是数列公差的.
练习：一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则该数列的前110项的和为 .
题型二 等差数列的前项和的最值问题
例3 已知等差数列的前和为，若公差则是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
归纳：求等差数列前项和的最大值（小）值的常用方法：
通项公式法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项；
二次函数法：在等差数列中，由于，则可用求二次函数最值的方法来前项和的最值，其中的值可由及二次函数图象的对称轴来确定.
练习：
在等差数列中，若，则数列的前 项的和最大.
在等差数列中，公差前项和为，当且仅当时取得最大值，则
的取值范围是 ；
等差数列中，若，公差，则前项和取得最大值时正整数 ；
设等差数列的前项和为，已知.
①求公差的取值范围；
②指出中哪一个值最大，并说明理由.

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