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2023~2024学年度第一学期期中考试
高一数学试题
（考试时间120分钟 试卷满分150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“关于x的方程有实数根”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. ，
B ，
C. ，
D. ，
4. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 16 D. 32
5. 命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，满足，则函数值域为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列图形不可能是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，，则
11. 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则最小值为4
C. 若，，则
D. 若，且，则的最小值为2
12. 在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 命题：所有的质数都是奇数，则命题的否定是__________.
14. 已知函数对任意实数都有，则_______.
15. 已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为______.
16. 我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的__________倍；大约经过__________天后“进步”的分别是“落后”的10倍.（参考数据：，，，，，结果保留整数）
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）.
18. 已知集合，，.
（1）求集合；
（2）若且，求实数的取值范围.
19. 已知函数
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知命题：“，”为真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
21. 某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件.
（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该产品每件售价最多为多少元？
（2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价元，并投入万元作为营销策略改革费用.据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少万件.则当每件售价为多少时，下月月总利润最大？并求出下月最大总利润.
22. 已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①；②不等式的解集为；③函数的最大值为4.
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
2023~2024学年度第一学期期中考试
高一数学试题
（考试时间120分钟 试卷满分150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2. 设，则“”是“关于x的方程有实数根”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性和必要性的定义进行求解判断即可.
【详解】因为关于x的方程有实数根，
所以该方程的判别式，
显然由能推出，但是由不一定能推出，
所以“”是“关于x的方程有实数根”的充分条件，
故选：A
3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】举反例得到A不是相同函数，根据定义域排除BC，得到答案.
【详解】对选项A：取，两个函数值分别为和，不是相同函数；
对选项B：两个函数定义域不同，不是相同函数；
对选项C：定义域为，定义域为，不是相同函数；
对选项D：定义域为，化简为，定义域为，是相同函数.
故选：D.
4. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】将化简为，然后由基本不等式“”的应用即可求解.
【详解】由，得：，又因为：，，
所以：，
当且仅当时，即：，取等号，故B项正确.
故选：B.
5. 命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而求得的取值范围，得到答案.
【详解】由命题为真命题，即不等式在上恒成立，
当，可得，所以.
故选：B.
6. 已知关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且，
则，解得，
则不等式可化为，
即，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
7. 设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算公式和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.
详解】由，，可得，，
联立方程组，解得
则.
故选：C.
8. 已知，满足，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，设，，得到，根据二次函数性质计算最值得到答案.
【详解】，，
故，，解得，故，
，函数定义域为，
设，，则，，
当时，函数有最小值为，故函数值域为.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列图形不可能是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义判断即可
【详解】选项B、C：对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确；
选项A、D：存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误；
故选：AD
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】CD
【解析】
【分析】举反例排除AB，利用作差法计算C正确，确定，计算范围得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，满足，，错误；
对选项B：取，满足且，，错误；
对选项C：，故，故，正确；
对选项D：，故，，
，故，正确；
故选：CD
11. 早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则最小值为4
C. 若，，则
D. 若，且，则的最小值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D.
【详解】对于A，若，满足，则，错误；
对于B，若，且，则，时取等号，正确；
对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立，
所以，当且仅当即时等号成立，
由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确.
对于D，令，则，
所以，
（当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确.
故选：BCD
12. 在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由定义，得，使得即，从而可求解.
【详解】由题意知：，
若，使得，则需函数：的最大值大于，
即时，成立得：或.故A项正确.
故选：A.
三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 命题：所有的质数都是奇数，则命题的否定是__________.
【答案】存在一个质数不是奇数
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题：所有的质数都是奇数，
则其否定为：存在一个质数不是奇数.
故答案为：存在一个质数不是奇数.
14. 已知函数对任意实数都有，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】由可列出方程组：，从而求解.
【详解】由题意得：对任意实数都有，
所以：，解得：.
故答案为：.
15. 已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点分布结合函数图象列不等式求解即可.
【详解】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，
又，则，函数的示意图如下：
或
所以或，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
16. 我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的__________倍；大约经过__________天后“进步”的分别是“落后”的10倍.（参考数据：，，，，，结果保留整数）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】计算得到，设天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则，解得，得到答案.
【详解】，
故，
设天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则，
即，
解得，
故答案为：；.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据对数的定义及对数的运算法则计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知集合，，.
（1）求集合；
（2）若且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，，再计算并集得到答案.
（2）确定，，根据集合的包含关系得到，解得答案.
【小问1详解】
，，
.
【小问2详解】
，
，则，
，故，解得，即.
19. 已知函数
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得到，解得答案.
（2）变换得到，利用均值不等式计算最值即可.
【小问1详解】
，即，其解集为，
则，解得，；
【小问2详解】
，，即，
，当且仅当，即时等号成立，故，
即.
20. 已知命题：“，”为真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解；
（2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立，
可得，解得，所以实数取值集合为.
【小问2详解】
解：由“”是“”的充分条件，可得，
因，，
当时，可得，解得，此时满足；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
21. 某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件.
（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该产品每件售价最多为多少元？
（2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价元，并投入万元作为营销策略改革费用.据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少万件.则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【答案】（1）
（2）当每件售价为时，下月的月总利润最大，最大总利润为
【解析】
【分析】（1）该产品每件售价为元，得到，解得答案.
（2）设下个月的总利润为，得到，利用均值不等式计算得到答案.
【小问1详解】
该产品每件售价为元，
则，解得，
故产品每件售价最多为元；
【小问2详解】
设下个月的总利润为，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故当每件售价为时，下月的月总利润最大，最大总利润为.
22. 已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①；②不等式的解集为；③函数的最大值为4.
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）②③；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，条件②③不成立，由②令，结合二次函数的性质，列出方程，求得的值，即可求解；
（2）把不等式化为，结合一元二次不等式的方法，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
当时，不等式的解集不能为，且没有最大值，
所以①不成立，满足条件只能为②③，
由不等式的解集为，
可令，
因为的最大值为，可得，解得，
所以.
【小问2详解】
解：由不等式，可化为，
当时，不等式等价于，解得，所以不等式解集为；
当时，对于不等式，因为，
方程有两个不相等的实数根据，
不等式的解集为；
当时，对于一元二次方程，可得，
①当时，，此时不等式的解集为；
②当时，，可得方程的两根为，
此时不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.

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