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第一章 数与式
第一节 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
考点2 实数的分类 ☆☆
考点3 实数的大小比较 ☆
考点4 实数的运算 ☆☆☆
考点5 科学记数法及近似数 ☆☆☆
■考点一 实数的分类
1、正负数的概念：大于0的数叫做 ，正数前面加上符号“-”的数叫 ，负数前面的负号“-”不能省略。 既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。
2、 和 统称为有理数。无限不循环小数叫做 。有理数和无理数统称为 。
3、实数的分类：1）按 分类；2）按 分类。
■考点二　实数的相关概念
1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数 对应。
2、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则 。
3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的 叫做a的绝对值，记为|a|。
4、倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则 。
5、算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的 。
记为，a叫做被开方数。
6、平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的 。
7、立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的 。
■考点三　实数的大小比较
1. 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2. 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 ；②a-b=0 ；③a-b<0 。
3. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 ；②对任意负实数a，b，若a2>b2 。
4. 倒数比较法：若>，ab>0，则 。
5. 作商比较法：
1）任意正实数a，b，>1 ，<1 ；2）任意负实数a，b，>1 ，<1 。
■考点四　实数的运算
1.乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为 ，n为 ，乘方的结果叫做 。
2.运算顺序：（1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。（2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。
■考点五　科学记数法
1.科学记数法：科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数。
1）当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。
2）当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。
2.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的 。
■易错提示
1、带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如：就是有理数）
2、对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
3、有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把的算出（去根号），再求平方根。（如：的平方根是，而不是2）
4、含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值。
5、用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。（如：4.0×104的有效数字是4，0）
■考点一　实数的分类与正负数
◇典例1：（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
2．（2023·山东·统考中考真题）实数中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
◇典例2：（2023·浙江金华·统考中考真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东·统考中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
■考点二　实数的相关概念
◇典例3：（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）下列运算正确的个数是（ ）．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
◆变式训练
1.（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2023·山东·统考中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
3．（2023年江苏中考模拟）的平方根是 ．
◇典例4：（2023·陕西西安·校考模拟预测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为 ．

◆变式训练
1．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
2．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若三条边长为，，化简： ．
■考点三　实数的大小比较
◇典例5：（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）

A． B． C． D．无法确定
◆变式训练
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南益阳·统考中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
◇典例6：（2023·江苏徐州·统考中考真题）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
◆变式训练
1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）

A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ．
■考点四　实数的运算
◇典例7：（2023·湖南湘西·统考中考真题）计算：．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）计算： ．
2．（2023·北京·统考中考真题）计算：．
◇典例8：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（ ）
A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24秒
2.（2023·湖北荆州·统考中考真题）若，则 ．
■考点五　科学记数法与近似数
◇典例9：（2023·浙江湖州·统考中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示50200
0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·海南·统考中考真题）共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32万人次，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
◇典例10：（2023·河南信阳·校考三模）根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，2023年第8周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行．因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩．据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◇典例11：（2023·山东潍坊·统考一模）下列关于近似数的说法中正确的是（　　）
A．近似数精确到百位 B．近似数万精确到百分位
C．近似数精确到千位 D．近似数精确到千分位
◆变式训练
1．（2023·湖南长沙·统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）截止6月10日，上海世博会累计入园人数已达万．将万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
1．（2023·西藏·统考中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
2．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·山东·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）
A．160元 B．162元 C．172元 D．180元
5．（2023·山东泰安·统考中考真题）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）

A．年 B．年 C．年 D．年
6．（2023·宁夏·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
8．（2023·江苏泰州·统考中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
9．（2023年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

10．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 ．
11．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）计算：．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）计算：．
1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．运用所学知识解决以下问题：已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．这道题体现的数学思想是( )

A．函数思想 B．方程思想 C．数形结合思想 D．统计思想
2．（2023·广东梅州·统考二模）已知实数，则实数的倒数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东临沂·统考二模）在实数，，，0中，绝对值最小的一个是（ ）
A． B． C． D．0
4．（2023·广西·九年级专题练习）2021年9月25日，华为公司副董事长、“CFO”（首席财务官）孟晚舟女士乘坐包机返回祖国，行程约12357千米．用四舍五入法对12357取近似值，其中错误的是（　　）
A．12360（精确到10）B．（精确到百分位）C．（精确到千位）D．1万（精确到万位）
5．（2023·吉林长春·校考模拟预测）下图是长春市2022年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
12月14日 12月15日 12月16日 12月17日
℃ 晴 ℃ 晴 ℃ 晴 ℃ 晴
A．12月14日 B．12月15日 C．12月16日 D．12月17日
6．（2023·山东东营·统考二模）将数值取近似数：用科学记数法表示并保留两个有效数字为 ．
7．（2023·江苏盐城·校联考二模）化学元素钉的原子半径．将用科学记数法表示为 ．
8．（2023年北京市九年级一模）写出一个比大且比小的整数 ．
9．（2024·广东·统考中考模拟）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
10．（2023·重庆·统考中考模拟计算：．
1.（2023年山东省菏泽市中考数学真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年河北省中考数学真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
4．（2023年山东省临沂市中考数学真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在分别表示其中的一个数，则的值为（ ）

A． B． C．0 D．5
6．（2023·云南昆明·九年级校考期中）已知数的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
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第一章 数与式
第一节 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
考点2 实数的分类 ☆☆
考点3 实数的大小比较 ☆
考点4 实数的运算 ☆☆☆
考点5 科学记数法及近似数 ☆☆☆
■考点一 实数的分类
1、正负数的概念：大于0的数叫做 正数 ，正数前面加上符号“-”的数叫 负数 ，负数前面的负号“-”不能省略。 0 既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。
2、 整数 和 分数 统称为有理数。无限不循环小数叫做 无理数 。有理数和无理数统称为 实数 。
3、实数的分类：1）按 定义 分类；2）按 性质 分类。
■考点二　实数的相关概念
1、数轴：规定了 原点 、正方向 、单位长度 的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数 一一 对应。
2、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则 a+b=0 。
3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的 距离 叫做a的绝对值，记为|a|。
4、倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则 ab=1 。
5、算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的 算术平方根 。
记为，a叫做被开方数。
6、平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的 平方根 。
7、立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的 立方根 （或三次方根） 。
■考点三　实数的大小比较
1. 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2. 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b ；②a-b=0 a=b ；③a-b<0 a3. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b ；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a4. 倒数比较法：若>，ab>0，则 a5. 作商比较法：
1)任意正实数a，b，>1 a>b ，<1 a>b ；2)任意负实数a，b，>1 ab 。
■考点四　实数的运算
1.乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为 底数 ，n为 指数 ，乘方的结果叫做 幂 .
2.运算顺序：（1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。（2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。
■考点五　科学记数法
1.科学记数法：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n为整数。
1）当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。
2）当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。
2.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的 有效数字 。
■易错提示
1、带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如：就是有理数）
2、对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
3、有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把的算出（去根号），再求平方根。（如：的平方根是，而不是2）
4、含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值。
5、用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。（如：4.0×104的有效数字是4，0）
■考点一　实数的分类与正负数
◇典例1：（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据小于0的数即为负数解答可得．
【详解】是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数 故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键．
2．（2023·山东·统考中考真题）实数中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
【答案】A
【分析】根据无理数的概念求解．
【详解】解：实数中，是无理数，而是有理数；故选A．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
◇典例2：（2023·浙江金华·统考中考真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，故温度最低的城市是哈尔滨，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．
◆变式训练
1．（2023·广东·统考中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作元，可知支出5元记作元；故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
■考点二　实数的相关概念
◇典例3：（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）下列运算正确的个数是（ ）．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据，，、，进行逐一计算即可．
【详解】解：①，，故此项正确；
②，，故此项正确；③，此项正确；
④，故此项正确；正确的个数是个．故选：A．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键．
◆变式训练
1.（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．
【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；③的倒数是2022，故此说法正确；正确的个数共3个；故选：A．
【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，分子分母互换位置相乘等于1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．
2．（2023·山东·统考中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
3．（2023年江苏中考模拟）的平方根是 ．
【答案】±2
【详解】解：∵∴的平方根是±2．故答案为±2．
◇典例4：（2023·陕西西安·校考模拟预测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为 ．

【答案】/
【分析】根据数轴上的点的位置，确定式子的符号，再进行绝对值的化简即可．
【详解】解：从图中可以看出，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查化简绝对值，整式的加减运算．解题关键是根据数轴上的点的位置，确定式子的符号．
◆变式训练
1．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
【答案】，0
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【详解】解：∵a，b，c为有理数，
①若，∴；
②若a，b，c中有两个负数，则，∴，
③若a，b，c中有一个负数，则，∴，
④若a，b，c中有三个负数，则，∴，故答案为：，0．
【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若三条边长为，，化简： ．
【答案】/
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，，再根据绝对值性质化简即可求解．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的化简和三角形三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，是解答本题的关键．
■考点三　实数的大小比较
◇典例5：（2023·湖北黄石·统考中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可．
【详解】解：由图可知，，故选：C．
【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：，则信号最强的是，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．
2．（2023·江苏·统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是，则，故该选项符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
3．（2023·湖南益阳·统考中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，∴最大的数是2．故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
◇典例6：（2023·江苏徐州·统考中考真题）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．
【详解】解∶∵．∴即，
∴的值介于40与45之间．故选D．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）

A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】C
【分析】根据判断即可．
【详解】，，
由于数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，
的点应在线段上，故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵，∴．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
■考点四　实数的运算
◇典例7：（2023·湖南湘西·统考中考真题）计算：．
【答案】1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
2．（2023·北京·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
◇典例8：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
A选项，，B选项，，
C选项，，D选项，，故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（ ）
A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24秒
【答案】B
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用．先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长．
【详解】解：右转车辆不受红绿灯限制，
南北走向直行占题四种走向流量的比例为：，
一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为，故选：B．
2.（2023·湖北荆州·统考中考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，∴，解得：，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
■考点五　科学记数法与近似数
◇典例9：（2023·浙江湖州·统考中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示50200
0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示502000为．故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
◆变式训练
1．（2023·海南·统考中考真题）共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32万人次，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【详解】解：2270000用科学记数法表示为 ，故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
◇典例10：（2023·河南信阳·校考三模）根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，2023年第8周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行．因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩．据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解答．
【详解】解：．故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
◆变式训练
1．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解：，故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
◇典例11：（2023·山东潍坊·统考一模）下列关于近似数的说法中正确的是（　　）
A．近似数精确到百位 B．近似数万精确到百分位
C．近似数精确到千位 D．近似数精确到千分位
【答案】C
【分析】根据近似数与有效数字的定义对每一项分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．近似数精确到个位，此选项不合题意；
B．近似数万精确到百位，此选项不合题意；
C．近似数精确到千位，此选项符合题意；
D．近似数精确到万分位，此选项不合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了近似数与有效数字，掌握近似数与有效数字的意义是正确判定的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖南长沙·统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位．故选：B．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）截止6月10日，上海世博会累计入园人数已达万．将万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．由于万有8位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【详解】解：万人人，故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字确实定方法，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
1．（2023·西藏·统考中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【答案】B
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵，，
∴，解得，∴．故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
2．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
3．（2023·山东·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．
【详解】由数轴可知，
∴，故A选项错误；∴，故B选项错误；
∴，故C选项正确；∴，故D选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．
4．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）
A．160元 B．162元 C．172元 D．180元
【答案】B
【分析】根据题意可直接进行列式求解．
【详解】解：由题意得：（元）；故选B．
【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意．
5．（2023·山东泰安·统考中考真题）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）

A．年 B．年 C．年 D．年
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿年年年，故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
6．（2023·宁夏·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间
【答案】C
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵，∴，排除A和D，
又∵23更接近25，∴更接近5， ∴在和5之间，故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数大小比较的法则解答．
【详解】解：∵，∴最小的数是，故选：A．
【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
8．（2023·江苏泰州·统考中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（2023年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，∴点表示的数是：；故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
10．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 ．
【答案】①③
【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．
【详解】解：①按键的结果为；故①正确，符合题意；
②按键的结果为；故②不正确，不符合题意；
③按键的结果为；故③正确，符合题意；
④按键的结果为；故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③．故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．
11．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）计算：．
【答案】10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记相关概念与运算法则是解本题的关键．
1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．运用所学知识解决以下问题：已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．这道题体现的数学思想是( )

A．函数思想 B．方程思想 C．数形结合思想 D．统计思想
【答案】C
【分析】根据数轴来判断，的正负，体现的数学思想是数形结合，从而得解．
【详解】A、函数思想，在于运用函数来解决问题，本题不存在函数问题，故此选项不符合题意；
B、方程思想，在于建立方程来解决问题，本题不存在方程问题，故此选项不符合题意；
C、数形结合思想，数轴来判断，的正负，体现的数学思想是数形结合，故此选项符合题意；
D、统计思想，本题不存在统计相关的问题，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了数学常识，考查数形结合的思想，掌握利用图形来进行计算体现的数学思想是数形结合思想是解题的关键．
2．（2023·广东梅州·统考二模）已知实数，则实数的倒数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可．
【详解】解：，2024的倒数为，
故选：B．
【点睛】本题考查求有理数的绝对值，倒数，解题关键是掌握乘积等于1的两个数互为倒数．
3．（2023·山东临沂·统考二模）在实数，，，0中，绝对值最小的一个是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】先依次求出每个数的绝对值，再比较即可．
【详解】解：∵，，，，
∵，∴绝对值最小的一个是0，故选：D．
【点睛】本题考查求绝对值和实数的大小比较，正确计算是关键．
4．（2023·广西·九年级专题练习）2021年9月25日，华为公司副董事长、“CFO”（首席财务官）孟晚舟女士乘坐包机返回祖国，行程约12357千米．用四舍五入法对12357取近似值，其中错误的是（　　）
A．12360（精确到10） B．（精确到百分位）
C．（精确到千位） D．1万（精确到万位）
【答案】A
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：A．12357精确到10是，符合题意；
B．12357精确到百分位为，不符合题意；
C．12357精确到千位是，不符合题意；
D．12357精确到万位是1万，此选项正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
5．（2023·吉林长春·校考模拟预测）下图是长春市2022年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
12月14日 12月15日 12月16日 12月17日
℃ 晴 ℃ 晴 ℃ 晴 ℃ 晴
【答案】C
【分析】根据减法法则计算即可．
【详解】解：12月14日，，12月15日，，
12月16日，，12月17日，，
∵，∴12月16日温差最大，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的减法法则，熟记概念是关键．
6．（2023·山东东营·统考二模）将数值取近似数：用科学记数法表示并保留两个有效数字为 ．
【答案】
【分析】用科学记数法是正整数表示的数的有效数字应该由首数来确定，首数中的数字就是有效数字，由此即可得到答案．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法与有效数字，关键是掌握用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
7．（2023·江苏盐城·校联考二模）化学元素钉的原子半径．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
8．（2023年北京市九年级一模）写出一个比大且比小的整数 ．
【答案】答案不唯一，如：1
【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可．
【详解】解：∵1<<2∴-2【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键．
9．（2024·广东·统考中考模拟）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
【答案】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，，故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2023·重庆·统考中考模拟计算：．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键．
1.（2023年山东省菏泽市中考数学真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵ ∴，∴解得 ，
∴，且，∴为等腰直角三角形，故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
2．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，∴∵∴
A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
3．（2023年河北省中考数学真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
4．（2023年山东省临沂市中考数学真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出，即可判断②③，根据，代入已知条件得出，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵∴，故①错误，∵∴，
又∴，故②③错误， ∵ ∴
∵∴∴∴，故④正确 或借助数轴，如图所示，故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
5．（2022上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在分别表示其中的一个数，则的值为（ ）

A． B． C．0 D．5
【答案】A
【分析】先根据第1行和第2行的三个数之和相等求出的值，再根据第1列和第2列的三个数之和相等求出的值，第2列和第3列的三个数之和相等求出的值，最后将的值代入进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2023·云南昆明·九年级校考期中）已知数的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由数轴可得且，将所给式子进行适当变形即可求解．
【详解】解：由数轴可得：且
①，∵∴，故①正确；
②，∵∴，故②错误；
③，故③错误；
④表示数表示的点到数表示的点的距离之和，其最小值为数表示的点的距离，即为，故④正确；故选：B
【点睛】本题考查了通过数轴判断式子的值或正负．对式子进行适当变形是解题关键．
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