资源简介

博罗县2023-2024学年度第一学期高一期中检测
数学试题
本试卷共4页，共22 题，满分150 分，考试时间：120 分钟
第一部分(选择题，共60 分)
一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。
1. 已知集合M满足{1，2}≤M≤{1，2，3，4}， 则所有满足条件的集合M的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知函数，则=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
3. 已知p:0A. 04. 对于实数a，b，c，下列结论中正确的是( )
A. 若a>b，则ac >bc B. 若 a>b>0，则＜
C. 若 ab，＜，则ab<0
5. 已知函数的定义域为[2，8]，则函数y=的定义域为( )
A. [4，10] B. [0，6]
C. [4，5]U(5，10] D. [0，5）U(5，6]
6. 函数=的图像大致为（ ）
A B
C D
已知函数满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（ ）
（0,1） B. （2，+） C. （0， ］ D. ［ ，2）
已知定义在R上的偶函数｜x-m+1｜-2，若正实数a 、b满足+=m，
则的最小值为( )
A. B. 9 C. D. 8
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分。请把它选出 后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若x1，x2∈I，对任意的x1B. 函数y=x 在R上是减函数
C. 函数y=- 在定义域上是增函数
D. y=的单调递减区间是(-，0) 和(0，+)
10. 下列说法正确的有( )
A. 命题“x∈R，x +x+1>0”的否定为“x ∈R，x +x+1≤0”
B. 若a>b，c>d，则ac>bd
C. 若幂函数y=(m -m-1)在区间(0，+) 上是减函数，则-1D. 方程x +(a-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0
11. 已知不等式3ax +2ax+1>0，则下列说法正确的是( )
A. 若 a=-1，则不等式的解集为（-1，）
B. 若不等式的解集为（-2，），则a=-
C. 若不等式的解集为(x1，x2 )，则 =
D. 若不等式恒成立，则a∈(0，3)
12. 已知函数的定义域为A， 若对任意x∈A， 存在正数M， 使得｜｜≤M成立，
则称函数是定义在A 上的“有界函数”. 则下列函数是“有界函数”的是( )
A. = B. =
C. = D. =x+
第二部分(非选择题，共90 分)
三 、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卷相应横线上。
13. 函数=ax-2022+2023(a>0且a≠1)所过的定点坐标为 .
14. 设a，b∈R，记min{a，b}=，则函数=min{2x-5，4-x}的最大值
15. 如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt，那么桶2中的水就是y2=a-ae-nt，假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min后桶1中的水只有a升，则m的值为 .
第15题图
(本题第一空2分，第二空3分)若函数f(x)在区间[a，b]上的值域为［，］则称区间[a，b]为函数的一个“倒值区间”. 已知定义在R上的奇函数， 当x∈（-，0］时，=x +2x. 那么当x∈(0，+)时，= ；求函在(0，+)上的“倒值区间”为 。
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 . (本小题10分)
从①A∩B=A，②A∩CRB= ，③"x∈A" 是"x∈B"的充分条件，这三个条件中选择一个，补充到本题第(2)问的横线上，求解下列问题.
问题：已知集合A={x|a-1≤x≤a+1}，B={x|-1≤x≤2}
（1）当a=2时，求AUB;
（2）若 ，求实数a的取值范围.
18 . (本小题12分)
二次函数满足f(0)=1，且-=4x+3，求的解析式；
已知a＞1，+=4，求的值。
19. (本小题12分)
已知函数=ax+b 的部分图象如图所示
(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求·的最大值.
20. (本小题12分)
已知函数=是定义在(-1，1)上的函数.
(1)用定义法证明函数在(-1，1)上是增函数；
(2)解不等式+<0
21. (本小题12分)
小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有
16万元的总收入，已知使用x年 (x∈N*)所需的各种费用(维修、保险、耗油等)总计
为x +2x万元(今年为第一年).
(1)该出租车第几年开始盈利(总收入超过总支出)
(2)该车若干年后有两种处理方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；
②当年平均盈利达到最大值时，以10万元价格卖出.
试问哪一种方案较为合算 请说明理由.
参考数据：=5. 6569，=5. 7446， =5. 83095.
22. (本小题12分)
已知函数满足=+-1(x，y∈R)，当x>0时，f(x)>1，且f(1)=2.
(1)求，的值，判断的单调性并证明；
(2)当x ∈[1，2]时，不等式+<1恒成立，求实数a的取值范围.博罗县 2023-2024 学年上学期高一期中调研考试
数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A D C A C A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9 10 11 12
AD AD ABC BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
5 +1
1,
13. (2022,2024)
2 2
； 14. 1 ； 15. 10 ； 16. x + 2x ，
1．B；【解析】根据条件知，1 和 2 都是集合M的元素，并且M 至少 2 个元素，
所以满足条件的集合M 为： 1,2 , 1,2,3 1,2,4 , 1,2,3,4 ，共 4 个；
故选：B．
2
2．B；【解析】由题意得 f (3) = f (3 2) = f (1) = f (1 2) = f ( 1) = ( 1) +1= 2．
故选：B．
3．A；【解析】因为 p : 0 x 2，所以只有 A 选项是 p 的一个必要不充分条件.
故选：A.
4．D；【解析】解：对于 A：c = 0时，不成立，A 错误；
1 1
对于 B：若a>b>0，则 < ，B 错误；
a b
对于 C：令a = 2, b = - 1，代入不成立，C 错误；
1 1
对于 D：若 a b， > ，则a 0，b 0，则ab<0，D 正确；
a b
故选：D．
2 x 2 8
5．C；【解析】根据题意可得 ，解得4 x 10且 x 5．
x 5 0
答案第 1 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
故选：C
6．A；【解析】 f (x)的定义域为 x | x 0 ，
e x + ex
f ( x) = = f (x)，所以 f (x)为偶函数，由此排除 CD 选项.
x2
1
e+
1 ，由此排除 B 选项.
f (1) = e = e+ 0
12 e
故选：A
f (x1 ) f (x2 )
7．C；【解析】∵ f (x)满足对任意 x1 x2 ，都有 0成立，
x1 x2
0 a 1
1
∴ f (x)在R 上是减函数， a 2 0 ，解得0 a ，
3
(a 2) 0+3a a
0
1
∴a的取值范围是 0,
3
.

故选：C．
8．A；【解析】若函数 f (x)为偶函数，则 f (x)=f ( x)，
即 x m+1 2 = x m+1 2，可得 x (m 1) = x + (m 1) ，
整理得 (m 1) x = 0，故m 1= 0，解得m =1，
∴ f (x) = x 2 .
a + 2b
若正实数 a、b满足 f (a)+ f (2b) =1，即 a 2+ 2b 2 =1，可得 =1，
5
1 2 a + 2b 1 2 1 2b 2a 1 2b 2a 9
可得 + = + = + +5 2 + 5 = ，
a b 5 a b 5 a b 5 a b 5
2b 2a 5
当且仅当 = ，即a = b = 时，等号成立，
a b 3
1 2 9
∴ + 的最小值为 .
a b 5
故选：A.
9．AD；【详解】对于 A，根据函数单调性定义知 A 正确；
对于 B， y = x2 在 ( ,0]上单调递减，在[0,+ ) 上单调递增，故 B 错误；
对于 C，在整个定义域内不是增函数，如 3 5，而 f ( 3) f (5)，故错误；
答案第 2 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
1
对于 D， y = 在 ( ,0)和 (0,+ )上单调递减，故 D 正确.
x
故选：AD
10．AD；【解析】A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，A 选项正确.
B 选项，若 a b，c d ，如a =1,b = 0,c = 1,d = 2，则ac bd ，B 选项错误.
2
C 选项，函数 y = (m2 m 1) xm 2m 3是幂函数，
所以m2 m 1=1,m2 m 2 = 0，解得m = 2或m = 1，
与“ 1 m 2 ”矛盾，所以 C 选项错误.
D 选项，设 f (x) = x2 + (a 3) x+ a，则 f (x)有两个零点，
且两个一正一负，则 f (0) = a 0，所以 D 选项正确.
故选：AD
11．ABC；【解析】对于 A，若a = 1，则3ax2 2+ 2ax +1 0即为3x + 2x 1 0，解得
1
x 1, ，故 A 正确；
3
4 4
对于 B，若不等式的解集为 2, ，则 2和 是方程3ax
2 + 2ax +1= 0的两个根，且
3 3
a 0，

a 0

4 2a 2 1
所以 2+ = = ，解得a = ，故 B 正确；
3 3a 3 8
4 1
2 = 3 3a
对于 C，不等式的解集为 (x , x )，则x 和x 是方程3ax21 2 1 2 + 2ax +1= 0的两个根，且a 0，
2
则 x1 + x2 = ，
3
2 2
1
则 x1 x8 8 2 x1+x= 8 2 = 8 3 = (23 ) 3 = 2 2 = ，故 C 正确；
4
对于 D，当a = 0时，1 0恒成立；
a 0
当a 0时，可得 2 ，解得 0 < a < 3 .
(2a) 4 3a 1 0
综上所述，若不等式恒成立，则a 0,3)，故 D 错误.
故选:ABC.
答案第 3 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
3+ x (4 x)+ 7 7 7
12．BC；【解析】对于 A， f (x) = = = 1+ ，由于 0，所以
4 x 4 x 4 x 4 x
f (x) 1，
所以 f (x) 0,+ )，故不存在正数 M，使得 f (x) M 成立.
对于 B，令u = 4 x2 ，则u 0， f (u) = u ，当 x = 0时，u取得最大值 4，所以
u 0,4 ，所以 f (x) 0,2 ，故存在正数 2，使得 f (x) 2成立.
2 5
对于 C，令u = 2x2 4x +3 = 2(x 1) +1，则 f (u) = ，易得u≥1，所以
u
5
0 f (x) = 5，即 f (x) (0,5 ，故存在正数 5，使得 f ( x) 5成立.
1
2
1 17
对于 D，令 2t = 4 x ，则 t 0， x = 4 t2，则 f (t ) = t + t + 4 = t + (t 0)，易
2 4
17
得 f (x) ，所以 f (x) 0,+ )，故不存在正数M，使得 f (x) M 成立.
4
故选：BC
13． (2022,2024)；【解析】令 x 2022 = 0，即 x = 2022，则 f (2022) = a0 + 2023= 2024，
\ f ( x) 所过定点坐标为 (2022,2024) .
故答案为： (2022,2024) .
y = 2x 5 x = 3
14．1；【解析】根据题意，联立方程组 ，解得 ，即两函数的交点坐标为
y = 4 x y =1
P(3,1) ，
则两函数 y = 2x 5和 y = 4 x图图象，如图所示，
2x 5, x 3
因为 f (x) = min 2x 5,4 x = ，所以 f (x)的最大值为1.
4 x, x 3
故答案为：1.
答案第 4 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
5n 1
15．10；【解析】当 t = 5时，ae 5n = a ae 5n ，即 e = ，
2
n(m+5) 1
y = ae = a e 5n e mn
1 mn 1
1 ，即 = ，故e = = e
10n
，故m =10 .
8 8 4
故答案为：10
5 +1
16． x2 + 2x 1, ；
2
【解析】设 x 0，则 x 0，
g( x) = x2 2x ，
由 g (x)为奇函数，可得 g(x) = g( x) = x2 + 2x，
故当 2x 0， g(x) = x + 2x ，
对称轴方程为 x =1，
所以 x 0时， g(x)max = g(1) =1，
1 1
设 a,b 是 g (x)在 (0,+ )上的“倒值区间”，则值域为 , ，
b a
1
所以 1，即a 1，
a
所以 g(x) = x2 + 2x 在 a,b 上单调递减，
1
g(b) = b
2 + 2b =
b (a 1)(a
2 a 1) = 0
，即 2 ，
2 1 (b 1)(b b 1) = 0g(a) = a + 2a =
a
a =1

解得 5 +1 ，
b =
2
5 +1
所以函数 g (x)在 (0,+ )上的“倒值区间”为 1, .
2
5 +1
故答案为： x2 + 2x； 1,
2
答案第 5 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.解：（1）a = 2，则 A = x 1 x 3 ，............................................................................2 分
B = x 1 x 2 ，则 A B ={x | 1 x 3} .................................................................4 分
（2）若选择①： A B = A，即 A B；
若选择②： A C A BRB = ，即 ；
若选择③：“ x A ”是“ x B ”的充分条件，则 A B；
综上所述：不管选择哪个均等价于 A B，.......................................................................6 分
当 A= 时，a 1 a +1，无解；........................................................................................7 分
a +1 2
当 A 时，则 ，解得0 a 1， ....................................................................9 分
a 1 1
综上所述：a [0,1] .............................................................................................................10 分
2
18. 解：(1) 令 f (x) = ax + bx + c ，因为 f (0) =1，所以c =1，................................1 分
因为 f (x +1) = a(x +1)2 + b(x +1) + c ，...........................................................................2 分
所以 f (x+1) f (x) = 2ax + a +b，
所以2ax+a+b = 4x+3，............... .................................................................................4 分
所以a = 2,b =1，................................................................................................................5 分
所以 f (x) = 2x2 + x +1 .......................................................................................................6 分
1 1 1
（2）由 a + = 4，即 2 2
a a + a = 4
，
1 1
则 (a 2 + a 2 )2 = a + a 1 + 2 =16，.........................................................................................7 分
所以a + a 1 =14，.................................................................................................................8 分
1 1
又由 (a 2 a 2 )2 = a + a 1 2 =12，
1 1 1 1
因为a 1，可得 a2 a 2 ，所以

a2 a 2 = 2 3 ，.........................................................11 分
1 1

a 2 a 2 2 3 3
所以 = =1 ..................................................................................................12 分 14 7
a +
a
答案第 6 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
19.解：（1）由图可知 f (0) =1+b = 1, f (1) = a +b = 0，.................................................2 分
解得a = 2,b = 2，所以 f (x) = 2x 2 ................................................................................4 分
（2）依题意可得 g (x) = f (x+1) = 2x+1 2，....................................................................6 分
所以 g (x) f ( x) = (2x+1 2)(2 x 2) = 2 2 2x+1 2 2 x + 4 = 6 2 (2x+1 + 2 x ) ...........8 分
因为2x+1 + 2 x 2 2x+1 2 x = 2 2 ，..................................................................................9 分
1
当且仅当2x+1 = 2 x，即 x = 时，等号成立，............................................................. 10 分
2
g (x) f ( x) = 6 2 (2x+1 + 2 x所以 ) 6 4 2 ，.............................................................11 分
所以 g (x) f ( x)的最大值为6 4 2 . .............................................................................12 分
20.解：（1）对于任意的 x1, x x x2 ( 1,1)，且 1 2，则
x x (x
( ) ( ) 1 2 1
x2 )(1 x1x2 )
f x1 f x2 = =2 2 2 2 ，..........................................................2 分 1+ x1 1+ x2 (1+ x1 )(1+ x2 )
∵ 1 x x 1，∴ x1 x2 0， x1x2 1，∴1 x1x2 01 2 ，..............................................4 分
∴ f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )，..........................................................................5 分
∴函数在 ( 1,1)上是增函数；..............................................................................................6 分
x
（2）因为 f ( x) = = f (x)，所以 f (x)是奇函数，.............................................7
1+ x2
分
则 f (x 1)+ f (x) 0，即 f (x 1) f (x) = f ( x)，....................................................9 分
1 x 1 1
1
所以 1 x 1 ，解得0 x ，...............................................................................11 分
2
x 1 x
1
则不等式的解集为 0, ．..............................................................................................12 分
2
21.解：（1）由题意可知扣除支出后的纯收入
f (x) =16x (x2 + 2x +16)， x N* .................................................................................2 分
答案第 7 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
令16x (x2 + 2x +16) 0，解得：7 33 x 7 + 33 ................................................4 分
又 x N*
x [2,12]且 x N*
即从第二年开始盈利...........................................................................................................5 分
(2) f (x) =16x (x2 + 2x +16)， x N*
① f (x) =16x (x2 + 2x +16) = (x 7)2 + 33
所以当 x = 7 时，盈利总额达到最大值 33.........................................................................7 分
所以 7 年时间共盈利 34 万...................................................................................................8 分
f (x) 14x x2 16 16
②年平均盈利 g(x) = = =14 (x + ) 6 ，
x x x
16
当且仅当 x = 即 x = 4时，等号成立............................................................................10 分
x
所以 4 年时间共盈利6 4+10 = 34万.............................................................................11 分
两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算................................................12 分
.
22.解：（1）令 x = y = 0 ，得 f (0+0) = f (0)+ f (0) 1，得 f (0) =1....................1 分
令 x = 1, y =1，得 f (0) = f ( 1)+ f (1) 1，得 f ( 1) = 0 ......................................2 分
设 x1, x2 是任意两个不相等的实数，且 x1 x2 ，所以 x2 x1 0，所以
f (x2 ) f (x1 ) = f (x2 x1 + x1 ) f (x1 )
= f (x2 x1 )+ f (x1 ) 1 f (x1 ) = f (x2 x1 ) 1 ...........................................................4 分
因为 x2 x1 0，所以 f (x2 x1 ) 1，所以 f (x2 x1 ) 1 0，
因此 f (x2 ) f (x1 ) 0 f (x2 ) f (x1 )
即 f (x)在R 上为增函数.........................................................................................................6 分
2 2
（2）因为 f (ax 3x)+ f (x) 1，即 f (ax 2x)+1 1，
2
即 f (ax 2x) 0又 f ( 1) = 0，
所以 f (ax2 2x) f ( 1) ...................................................................................................8 分
答案第 8 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}
又因为 f (x) R 2在 上为增函数，所以ax 2x 1在 x 1,2 上恒成立
得 ax2 2x +1 0在 x 1,2 上恒成立
2 1
即 a 在 x 1,2 上恒成立.....................................................................................10 分
x x2
2
2 1 1 2 1 3 3
因为 = 1 +1，当 x = 2时， 取最小值 ，所以a
x x2 x x x
2 4 4
3
即 a 时满足题意................................................................................................................12 分
4
答案第 9 页，共 9 页
{#{QQABLQaEggCAQABAABgCQwFgCgOQkBEACCoGhBAMMAAAgQNABCA=}#}

展开更多......

收起↑