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2024北师大版数学九年级下学期
第一章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022天津中考)tan 45°的值等于(　　)
A.2　　　　　　B.1　　　　　　C.
2.(2023广西柳州二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sin B等于(　　)
A.
3.(2023山东威海中考)如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为28°,高为7米.用计算器求AB的长,下列按键顺序正确的是(　　)
A.7×sin28=　　　　B.7÷sin28=
C.7×tan28=　　　　D.7÷tan28=
4.(2023山东菏泽长城学校期末)在△ABC中,∠A、∠B为锐角,满足+(2sin A-)2=0,则∠C等于(　　)
A.105°　　　　B.75°
C.60°　　　　D.45°
5.(2022山西省实验中学模拟)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均是1,△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,则sin A的值为(　　)
A.
6.(2023浙江温州三模)图1是一种落地晾衣架,晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,其中两支脚OD=OB=50 cm,展开角∠BOD=70°,晾衣臂AO=80 cm,则支撑杆的端点A离地面的高度AE为(　　)
　
图1 图2
A.130tan 55° cm　　　　B.130sin 55° cm
C. cm　　　　 D. cm
7.【教材变式·P19做一做】(2023湖北十堰郧阳模拟)如图,某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6 m,∠ACB为45°,改造后扶梯AD的坡比是1∶2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是(　　)
A.6 m　　　　B.(12-6)m
C.(6)m
8.(2022四川宜宾中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为(　　)
A.
9.(2022四川乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为(　　)
A.2　　　　　　D.2
10.(2023河南郑州一模)如图,坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时,在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为(　　)
A.m(cos α-sin α)　　　　B.m(sin α-cos α)
C.m(cos α-tan α)　　　　D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.(2023河南郑州期末)若sin(x+15°)=,则锐角x=　　　　°.
12.(2023广东汕头澄海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC
=6,sin B=,若D为AB的中点,则CD的长为　　　　.
13.(2022湖北武汉中考)如图,沿AB方向架桥修路,为加快施工进度,在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC=150°,BC=1 600 m,∠BCD=105°,则C,D两点间的距离是　　　　m.
14.(2023湖北武汉中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是　　　　cm(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈
0.75).
15.(2023山东济宁中考)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=,则BD=　　　　.
16.(2023湖北黄石十五中模拟)如图,一幢居民楼MN临近斜坡AP,斜坡AP的坡度为i=1∶,小生在斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为60°,当从A处沿坡面行走16米到达P处时,测得楼顶M的仰角刚好为45°,点N、A、B在同一直线上,则该居民楼的高度为　　　　(结果保留根号).
三、解答题(共46分)
17.[含评分细则](6分)计算:
(1)2sin 60°+tan 45°-tan 60°+sin245°;
(2)(cos 60°)-1×(sin 60°-cos 45°)-.
18.[含评分细则](2023河南漯河实验中学期末)(6分)如图,△ABC中,∠A,∠B是锐角,且sin A=,tan B=2,AB=22,求△ABC的面积.
19.[含评分细则](8分)我们知道:sin 30°=,cos 30°=,可得sin230°+
cos230°==1,那么对于任意的锐角A,是否都有sin2A+cos2A=1呢
(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,可得sin A=,cos A=,证明sin2A+cos2A=1.
(2)若已知sin A=,利用(1)的结论求cos A的值.
(3)用以上探究的方法你能得出sin A,cos A,tan A三者之间的关系吗 请直接写出答案.
20.[含评分细则](2023四川达州中考)(8分)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少.(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.90,
tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)
21.[含评分细则](2023重庆中考B卷)(9分)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品.经测量,A在灯塔C的南偏西60°方向,B在灯塔C的南偏东45°方向,且在A的正东方向,AC=3 600米.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位);
(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处.
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
22.[含评分细则](9分)阅读下列材料,并解决问题.
如图1,在锐角三角形ABC中,∠BAC,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过点A作AD⊥BC于点D,则sin B=,sin C=,即AD=csin B,AD=bsin C.于是csin B=bsin C,即.同理,,所以,即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论就可以求出其余三个未知元素.
(1)如图2,一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上,随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行,半小时后到达C处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上,求此时货轮距灯塔A的距离AC;
(2)在(1)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)
　　
图1 图2
答案全解全析
1.B　
2.D　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,∴sin B=,故选D.
3.B　如图,在Rt△ABC中,∠BAC=28°,BC=7米,∴sin 28°=,
∴AB=米,因此按键顺序为7÷sin28=.故选B.
4.A　∵+(2sin A-)2=0,∴tan B=,sin A=,
则∠B=30°,∠A=45°,故∠C=180°-∠A-∠B=105°.故选A.
5.B　如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ADC中,根据勾股定理得AC==5,
∴sin A=.故选B.
6.B　∵OB=50 cm,AO=80 cm,∴AB=OB+OA=50+80=130(cm),
∵OD=OB,∠BOD=70°,∴∠OBE=∠ODB==55°,在Rt△ABE中,AE=AB·sin∠ABE=130sin 55° cm,故选B.
7.D　在Rt△ABC中,∠ACB=45°,AB=6 m,∴sin 45°=,解得AC=6 m,∵改造后扶梯AD的坡比是1∶2,∴,解得BD=12 m,∴AD= m,∴AD-AC=(6)m.故选D.
8.C　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,
∴∠BDC=∠DBF,由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,
∴∠BDF=∠DBF,∴BF=DF,设BF=x,则DF=x,AF=5-x,
在Rt△ADF中,32+(5-x)2=x2,∴x=,∴cos∠ADF=.故选C.
9.C　如图,过D点作DE⊥AB于E,
∵tan A=,tan∠ABD=,∴AE=2DE,BE=3DE,
∴2DE+3DE=5DE=AB,
在Rt△ABC中,tan A=,解得AC=2
,故选C.
10.A　过点C作水平地面的平行线,交AB的延长线于D,则∠BCD=α,在Rt△BCD中,BC=m,∠BCD=α,则BD=BC·sin∠BCD=msin α,
CD=BC·cos∠BCD=mcos α,在Rt△ACD中,∠ACD=45°,则AD=CD=mcos α,∴AB=AD-BD=mcos α-msin α=m(cos α-sin α),故选A.
11.45
解析　∵sin(x+15°)=,∴x+15°=60°,解得x=45°.
12.5
解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,sin B=,∴AB=10,∵D为AB的中点,∴CD=×10=5.故答案为5.
13.800
解析　如图,过点C作CE⊥BD,垂足为E.
∵∠ABC=150°,∴∠DBC=30°,∴∠BCE=60°.
在Rt△BCE中,∵BC=1 600 m,
∴CE=BC=800 m,
∵∠BCD=105°,∠BCE=60°,∴∠ECD=45°.
在Rt△DCE中,∵cos∠ECD=,
∴CD=(m) .
14.2.7
解析　过点B作BD⊥OA于D,过点C作CE⊥OA于E,
在△BOD中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴CE=BD=OD=2 cm,在△OCE中,∠COE=37°,∠CEO=90°,∴tan 37°=≈0.75,∴OE≈2.7 cm,即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7 cm.故答案为2.7.
15.3-
解析　过点A作AH⊥BC于H,∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴AB=AC=BC=6,∠B=∠BAC=60°,∴BH=BC=3,∠BAH=∠BAC
=30°,∴∠BAD+∠DAH=30°,∵∠DAE=30°,∴∠BAD+∠EAC=30°,
∴∠DAH=∠EAC,∴tan∠DAH=tan∠EAC=,在Rt△ABH中,∠B=
60°,BH=3,∴AH=ABsin 60°=6×,∴tan∠DAH=,故答案为3-.
16.(16+24)米
解析　如图,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥MN于点F,
∵斜坡AP的坡度为i=1∶=tan∠PAE,∴∠PAE=30°.∵PE⊥BN,AP=16米,∴PE=AP=8米,AE=AP·cos∠PAE=16×(米).
∵PF⊥MN,∠MPF=45°,∴△PMF是等腰直角三角形,∴PF=MF.由所作辅助线结合题意可知四边形EPFN为矩形,∴NF=EP=8米,NE=PF.设PF=NE=MF=m米,则MN=(m+8)米,NA=(m-8)米.在Rt△AMN中,∠NAM=60°,∴tan∠NAM=tan 60°=,即,解得m=16(+24)米,即该居民楼的高度为(16+24)米,故答案为(16+24)米.
17.解析　(1)原式=2×.3分
(2)原式=.6分
18.解析　过C作CD⊥AB,垂足为D.
∵sin A=,
∴设CD=3k,AC=5k(k>0).2分
∴AD==4k.
∵tan B=k.
∴AB=AD+DB=k=22.4分
∴k=4,∴CD=12.
∴△ABC的面积为×12×22=132.6分
19.解析　(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴a2+b2=c2.1分
又∵sin A=,cos A=,
∴sin2A+cos2A==1.3分
(2)∵sin2A+cos2A=1,sin A=,
∴cos2A=1-,
又∵∠A为锐角,∴cos A=.5分
(3)∵sin A=,cos A=,tan A=,
∴cos A·tan A==sin A,
即sin A=cos A·tan A.8分
20.解析　过B作BT⊥ON于T,过A作AK⊥ON于K,如图:
1分
在Rt△OBT中,OT=OB·cos 26°≈3×0.90=2.7(m),3分
∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,
∴四边形BMNT是矩形,5分
∴TN=BM=0.9 m,∴ON=OT+TN=3.6(m),
在Rt△AOK中,OK=OA·cos 50°≈3×0.64=1.92(m),
∴KN=ON-OK=3.6-1.92≈1.7(m),7分
∴座板距地面的最大高度为1.7 m.8分
21.解析　(1)过点C作CD⊥AB于点D,
在Rt△ACD中,∠ACD=60°,AC=3 600米,cos∠ACD=,sin∠ACD=,
∴AD=3 600×=1 800(米),CD=×3 600=1 800(米).3分
在Rt△BCD中,∠BCD=45°,
∴∠B=45°=∠BCD,∴BD=CD=1 800米,
∴BC==1 800≈1 800×1.414≈2 545(米).5分
答:B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米.6分
(2)AB=AD+BD=1 800+1 800≈1 800×1.732+1 800=4 917.6(米),7分
600×9=5 400(米),8分
∵5 400米>4 917.6米,
∴能在9分钟内到达B处.9分
22.解析　(1)由示意图知∠ACB=60°,∠ABC=75°,
则∠A=180°-∠ACB-∠ABC=45°.1分
由题意,得BC=80×=40(海里),2分
如图,过点B作BD⊥AC于点D,
则∠BDC=90°,∠DBC=30°,
∴DC=BC=20(海里).3分
由勾股定理,得BD=(海里).4分
∵∠A=45°,∠ADB=90°,∴∠ABD=45°=∠A,
∴AD=BD=20海里.5分
∴AC=AD+CD=(20+20)海里.
故此时货轮距灯塔A的距离AC为(20+20)海里.6分
(2)由(1)知AC=(20+20)海里.
∵,
∴sin 75°=.9分
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