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山东省潍坊市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·潍坊）在实数1，－1，0，中，最大的数是（　　）
A．1 B．－1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：由题意得-1＜0＜1＜，
∴最大的数是，
故答案为：D
【分析】根据题意比较大小即可求解。
2．（2023·潍坊）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．（2023·潍坊）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据数轴结合绝对值的化简即可求解。
4．（2023·潍坊）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得卯的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
5．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
A、当时，，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、当时，，C不符合题意；
D、当时，，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题结合函数图象即可求解。
6．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示：过 点 作 轴于 ，
∵菱形 的顶点A的坐标为 ， ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵将菱形 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质求出 ， ，再利用锐角三角函数以及勾股定理求出AH和BH的值，最后根据平移的规律求点的坐标即可。
二、多选题
7．（2023·潍坊）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据立方根、算术平方根、积的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可求解。
8．（2023·潍坊）下列命题正确的是（　　）
A．在一个三角形中至少有两个锐角
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【答案】A,B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：
A、在一个三角形中至少有两个锐角，原说法正确，A符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原说法正确，B符合题意；
C、如果两个角互余，那么它们的补角不一定互余，原说法错误，C不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，原说法错误，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余、平行线的性质结合题意即可求解。
9．（2023·潍坊）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．拋物线的开口向下
B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点
D．当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】B,C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线 ，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是直线 ，选项A错误，选项B正确；
方程 ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，
抛物线与 轴有两个交点，选项C正确；
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向上，且当 时， 取得最小值 ，
∴当 时， 与 没有交点，
∴当 时，关于 的一元二次方程 没有实根，选项D错误；
故答案为：BC．
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可。
10．（2023·潍坊）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．当与相切时， D．当时，
【答案】A,C
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可得：
， ， ， ，
∴ ，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图所示：当 与 相切时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C符合题意；
如图所示：当 时，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】结合图形，根据圆的切线的性质，勾股定理等计算求解即可。
三、填空题
11．（2023·潍坊）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是　 　．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【分析】根据题意，利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
12．（2023·潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为　 　．（精确到）
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：0.618.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再利用公式法求方程的解即可。
13．（2023·潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由表格可知，一共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的情况有6种，
∴朝上一面的点数之和为7的概率是，
故答案为：.
【分析】根据题意先列表，再求出一共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的情况有6种，最后求概率即可。
14．（2023·潍坊）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为　 　米．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点F作FG⊥CD，垂足为点G，延长FG交AB的延长线于点H，
∴AH=CG=EF=1.4米，AC=GH=20米，CE=FG=10米，
∵FH⊥CD，
∴∠DGF=∠BHF=90°，
∵CD=7米，
∴DG=CD-CG=5.6（米），
∵∠DFG=∠BFH，
∴，
∴，
∴，
∴BH=16.8，
∴AB=BH+AH=18.2（米），
即塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2.
【分析】根据题意先求出DG的值，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
四、解答题
15．（2023·潍坊）（1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【知识点】分式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）利用分式的加减法则计算求解即可；
（2）利用不等式的性质，利用数轴求不等式组的解集即可。
16．（2023·潍坊）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．
【答案】证明：如图，延长交于，
∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据角平分线以及垂直求出 ，， 再利用全等三角形的判定方法求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质以及三角形的中位线计算求解即可。
17．（2023·潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】解：如图，过点作于点，
由垂线段最短可知，的长即为所求，
由题意得：，千米，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：输油管道的最短长度是千米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据垂线段最短求出 的长即为所求， 再求出三角形ACD是等腰直角三角形，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
18．（2023·潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
（2）解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出x=24，最后判断求解即可。
19．（2023·潍坊）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
（3）【数据的应用与评价】
从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】（1）解：两个年级随机抽取的学生数量为（人），
则．
补全频数直方图如下：
（2），
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
，，
中位数，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数．
（3）解：从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据题意先求出两个年级随机抽取的学生数量为50人，再求圆心角的度数，最后补全频数直方图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法求解即可；
（3）根据（2）所求，结合中位数、众数、平均数、方差判断求解即可。
20．（2023·潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？
【答案】解：如图，连接，分别交于点，交于点，
，
，
米，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形和四边形都是矩形，
米，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
设矩形的面积为平方米，米，则米，米，
米，
米，
，
又，与之间的距离为2米，米，
，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形的判定方法求出四边形是矩形， 再求出 和都是等腰直角三角形， 最后求出 ， 根据二次函数的性质计算求解即可。
21．（2023·潍坊）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再根据正方形的性质求出 ，， 最后根据全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后根据三角形的面积公式以及扇形的面积公式等计算求解即可。
22．（2023·潍坊）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
（1）任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知　 　．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为　 　，
所以，　 　．
（2）任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
（3）任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
（4）【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
【答案】（1）2；；
（2）解：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
（3）解：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
（4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；黄金分割；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）方法1： 借助面积为2的正方形，观察图③可知，
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知因为两个函数图象的交点的坐标为（2，2），
所以，；
故答案为：2；（2，2）；2；
（4）根据图⑤，第一个正方形的面积为，
第二个正方形的面积为，
……
所以 .
【分析】（1）观察图形，结合题意计算求解即可；
（2）根据题意先求出x和y的值，再求出两个函数图象的交点的坐标为，最后计算求解即可；
（3）参照方法2，先求出x和y的值，再求出两个函数图象的交点的坐标为， 最后求解即可；
（4）根据图⑤，先求出第一个正方形的面积为，再求出第二个正方形的面积，最后找出规律计算求解即可。
1 / 1山东省潍坊市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·潍坊）在实数1，－1，0，中，最大的数是（　　）
A．1 B．－1 C．0 D．
2．（2023·潍坊）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·潍坊）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·潍坊）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·潍坊）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·潍坊）下列命题正确的是（　　）
A．在一个三角形中至少有两个锐角
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
9．（2023·潍坊）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．拋物线的开口向下
B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点
D．当时，关于的一元二次方程有实根
10．（2023·潍坊）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．当与相切时， D．当时，
三、填空题
11．（2023·潍坊）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是　 　．（只需写出一种结果）
12．（2023·潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为　 　．（精确到）
13．（2023·潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是　 　．
14．（2023·潍坊）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为　 　米．
四、解答题
15．（2023·潍坊）（1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
16．（2023·潍坊）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．
17．（2023·潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
18．（2023·潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
19．（2023·潍坊）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
（3）【数据的应用与评价】
从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
20．（2023·潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？
21．（2023·潍坊）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
22．（2023·潍坊）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
（1）任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知　 　．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为　 　，
所以，　 　．
（2）任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
（3）任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
（4）【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：由题意得-1＜0＜1＜，
∴最大的数是，
故答案为：D
【分析】根据题意比较大小即可求解。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据数轴结合绝对值的化简即可求解。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得卯的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
5．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
A、当时，，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、当时，，C不符合题意；
D、当时，，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题结合函数图象即可求解。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示：过 点 作 轴于 ，
∵菱形 的顶点A的坐标为 ， ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵将菱形 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质求出 ， ，再利用锐角三角函数以及勾股定理求出AH和BH的值，最后根据平移的规律求点的坐标即可。
7．【答案】B,C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据立方根、算术平方根、积的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可求解。
8．【答案】A,B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：
A、在一个三角形中至少有两个锐角，原说法正确，A符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原说法正确，B符合题意；
C、如果两个角互余，那么它们的补角不一定互余，原说法错误，C不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，原说法错误，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余、平行线的性质结合题意即可求解。
9．【答案】B,C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线 ，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是直线 ，选项A错误，选项B正确；
方程 ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，
抛物线与 轴有两个交点，选项C正确；
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向上，且当 时， 取得最小值 ，
∴当 时， 与 没有交点，
∴当 时，关于 的一元二次方程 没有实根，选项D错误；
故答案为：BC．
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可。
10．【答案】A,C
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可得：
， ， ， ，
∴ ，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图所示：当 与 相切时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C符合题意；
如图所示：当 时，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】结合图形，根据圆的切线的性质，勾股定理等计算求解即可。
11．【答案】（或或，写出一种结果即可）
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【分析】根据题意，利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：0.618.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再利用公式法求方程的解即可。
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由表格可知，一共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的情况有6种，
∴朝上一面的点数之和为7的概率是，
故答案为：.
【分析】根据题意先列表，再求出一共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的情况有6种，最后求概率即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点F作FG⊥CD，垂足为点G，延长FG交AB的延长线于点H，
∴AH=CG=EF=1.4米，AC=GH=20米，CE=FG=10米，
∵FH⊥CD，
∴∠DGF=∠BHF=90°，
∵CD=7米，
∴DG=CD-CG=5.6（米），
∵∠DFG=∠BFH，
∴，
∴，
∴，
∴BH=16.8，
∴AB=BH+AH=18.2（米），
即塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2.
【分析】根据题意先求出DG的值，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【知识点】分式的混合运算；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）利用分式的加减法则计算求解即可；
（2）利用不等式的性质，利用数轴求不等式组的解集即可。
16．【答案】证明：如图，延长交于，
∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据角平分线以及垂直求出 ，， 再利用全等三角形的判定方法求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质以及三角形的中位线计算求解即可。
17．【答案】解：如图，过点作于点，
由垂线段最短可知，的长即为所求，
由题意得：，千米，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：输油管道的最短长度是千米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据垂线段最短求出 的长即为所求， 再求出三角形ACD是等腰直角三角形，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
18．【答案】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
（2）解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出x=24，最后判断求解即可。
19．【答案】（1）解：两个年级随机抽取的学生数量为（人），
则．
补全频数直方图如下：
（2），
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
，，
中位数，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数．
（3）解：从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据题意先求出两个年级随机抽取的学生数量为50人，再求圆心角的度数，最后补全频数直方图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法求解即可；
（3）根据（2）所求，结合中位数、众数、平均数、方差判断求解即可。
20．【答案】解：如图，连接，分别交于点，交于点，
，
，
米，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形和四边形都是矩形，
米，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
设矩形的面积为平方米，米，则米，米，
米，
米，
，
又，与之间的距离为2米，米，
，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形的判定方法求出四边形是矩形， 再求出 和都是等腰直角三角形， 最后求出 ， 根据二次函数的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再根据正方形的性质求出 ，， 最后根据全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后根据三角形的面积公式以及扇形的面积公式等计算求解即可。
22．【答案】（1）2；；
（2）解：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
（3）解：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
（4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；黄金分割；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）方法1： 借助面积为2的正方形，观察图③可知，
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知因为两个函数图象的交点的坐标为（2，2），
所以，；
故答案为：2；（2，2）；2；
（4）根据图⑤，第一个正方形的面积为，
第二个正方形的面积为，
……
所以 .
【分析】（1）观察图形，结合题意计算求解即可；
（2）根据题意先求出x和y的值，再求出两个函数图象的交点的坐标为，最后计算求解即可；
（3）参照方法2，先求出x和y的值，再求出两个函数图象的交点的坐标为， 最后求解即可；
（4）根据图⑤，先求出第一个正方形的面积为，再求出第二个正方形的面积，最后找出规律计算求解即可。
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