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(共22张PPT)
3.4.2一元一次方程的应用——工程问题
2023—2024学年人教版数学七年级上册
上节课，我们学习了如何运用一元一次方程来解决实际问题中的配套问题，本节课，我们来探究一元一次方程与实际问题——工程问题．
在学习新课之前，先完成下面的填空：
工作量＝____________________；
工作效率＝__________________；
工作时间＝__________________．
工作效率×工作时间
工作量÷工作效率
工作量÷工作时间
整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成．现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做 8 h ，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：（1）工作总量通常看作______．
（2）人均工作效率为______．
（3）工作量＝_______________________________________．
人均工作效率×人数×工作时间
1
工程问题中，通常把全部工作量表示为1．
思考
整项工作由几部分组成？存在怎样的等量关系？
整项工作由两个阶段的工作量组成．
存在的等量关系：一部分人先做 4 h 完成的工作量＋增加了2人之后一起做 8 h 完成的工作量＝总工作量．
思考
你能根据已知条件，分别表示出两个阶段的工作量吗？
第一阶段工作量： ×4×第一阶段人数；
第二阶段工作量： ×8×第二阶段人数．
思考
我们可以怎样设未知数？设出未知数后，相关的量可以如何表示呢？
第一阶段的工作人数是 x，则第二阶段的工作人数是 x＋2；
第一阶段的工作量可以表示为 ，第二阶段的工作量可以表示为 ．
根据上节课讲过的“求什么设什么”的原则，可以设先安排x人工作．
思考
根据前面的分析，完成表格：
项目 人均效率 人数 时间/h 工作量
第一阶段工作
第二阶段工作
x＋2
x
4
8
问题
列出方程，对本题进行解答．
解：设安排 x 人先做 4 h．
根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程
解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，x＝2．
答：应安排 2人先做 4 h．
．
安排先工作的人数
设安排 x 人先做4 h
找出等量关系，列方程
解方程
x＝2
解释实际意义
安排 2人先做4 h
检验
问题
组内交流，提炼解题思路．
变式
整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成，现计划由 2人先做4 h，然后增加若干人与他们一起又做 4 h完成了这项工作，增加了多少人？
解：设增加了x人．
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，
列出方程 ．
解方程，得x＝6．
答：增加了6人一起完成工作．
归纳
工程问题中的等量关系
（1）在工作总量不明确、不具体的情况下，通常把工作总量看成单位______．
（2）工作总量＝___________________．
（3）甲、乙合作的工作效率＝____________＋_____________．
（4）所有人工作量的和等于__________．
1
工作效率×工作时间
甲的工作效率
乙的工作效率
总工作量
例1　甲每天生产某种零件 80 个，甲生产 3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过 5天，两人共生产这种零件 940 个，问乙每天生产这种零件多少个？
前3天甲生产
零件的个数
后5天甲生产
零件的个数
后5天乙生产
零件的个数
940个
分析：画出示意图如下：
数和形是数学中两种重要的表示形式，在列方程解应用题时，我们可以利用图形分析问题中的数量关系，进行求解．
前3天甲
生产零件
的个数
后5天甲
生产零件
的个数
后5天乙
生产零件
的个数
940
等量关系式：
例1　甲每天生产某种零件 80 个，甲生产 3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过 5天，两人共生产这种零件 940 个，问乙每天生产这种零件多少个？
解：设乙每天生产零件的个数为x．
由题意，得3×80＋5×80＋5x＝940．
解方程，得x＝60．
答：乙每天生产零件60个．
例1　甲每天生产某种零件 80 个，甲生产 3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过 5天，两人共生产这种零件 940 个，问乙每天生产这种零件多少个？
线段图示法：对于一些比较直观的问题，可将题目中的条件以及它们之间的关系用简单明了的示意图表示出来．根据图示中有关数量的内在联系，找到相等关系，列出方程．
例2　某项工作，甲单独做需要 4 小时，乙单独做需要 6 小时，甲先做 30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作？
解法1：设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作．
根据题意，得 ．
解方程，得 x＝2.1．
答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
解法2：设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作．
根据题意，得 ．
解方程，得 x ＝ 2.1．
答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
例2　某项工作，甲单独做需要 4 小时，乙单独做需要 6 小时，甲先做 30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作？
例3　某工人安装一批机器，若每天安装4台，预计若干天完成，安装 后，改用新方法安装，工作效率提高到原来的 倍，因此比预计时间提前一天完工，这批机器有多少台？预计几天完成？
解：设这批机器有x台，则预计 天完成．
根据题意，得 ．
解方程，得 x＝36．
此时， ．
答：这批机器有36台，预计9天完成．
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间．
列方程解应用题时要牢记：如果甲量已知，从乙量设元，
那么需从丙量找相等关系列方程．
思考
用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是什么？
基本步骤包括：审、设、列、解、检、答．
即分析题意，设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案．
正确分析问题中的相等关系是列方程的基础．
一元一次方程解决实际问题的过程
第一步，设未知数，列方程
第二步，解方程
第三步，得到实际问题的答案
检验
谢谢

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