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6.2 指数函数
知识梳理
一、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
二、指数函数的图象与性质
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三、比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
四、简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解；
2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。
常考题型
题型一 指数函数定义的判断
【例1】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；
⑤；⑥﹔⑦．
【答案】③④
【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为，不是，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.
【变式1-1】下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】指数函数解析式为且，
对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误；
对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.
【变式1-2】（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；
对于B，且，故符合.故选：BC
【变式1-3】（2022上·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】命题p真，则，解得或2，
又，∴；q为真，则或2，
∴q是p的必要不充分条件.故选：C．
题型二 利用指数函数的概念求参
【例2】（2022全国高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是指数函数，
所以.故选：C
【变式2-1】（2022全国高一课时练习）若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且 C． D．
【答案】C
【解析】因为函数为指数函数，
则，且，解得，故选：C
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值．
【答案】1
【解析】因为函数是指数函数，所以．
由是指数函数，得．所以．
【变式2-3】（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数a的值．
【答案】4
【解析】因为函数是指数函数，
所以，解得，即实数a的值为4.
题型三 求指数函数的解析式
【例3】（2023·浙江宁波·高一校考期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ．
【答案】
【解析】设（且），故，解得，故.
【变式3-1】（2022全国高一课时练习）（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设指数函数（且），于是，即，因此，
函数，A正确，B错误；
显然，C正确；
又，因此D正确.故选：ACD
【变式3-2】（2022全国高一课时练习）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值．
【答案】
【解析】将点代入，得，即，
所以或，
又因为，且，所以．
【变式3-3】（2022全国高一课时练习）下列函数中，满足的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.故选：D.
题型四 指数型函数过定点问题
【例4】（2023重庆高三月考）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选：D.
【变式4-1】（2023·陕西·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 .
【答案】
【解析】由题意可知或，
又时，在上单调递减，不符合题意；
而时，符合题意；
所以，当时，，即函数过定点.
【变式4-2】（2023·上海·高一朱家角中学校考期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 .
【答案】
【解析】因为当时，即时，，
即恒过点.
【变式4-3】（2022全国高一课时练习）函数且所过的定点坐标为 ．
【答案】
【解析】令，即，则，
所过定点坐标为.
题型五 指数函数的图象问题
【例5】（2023·高一课时练习）函数（，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A，B选项中，，于是，
所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，显然A，B的图象均不正确；
C，D选项中，，于是，
图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.故选：D
【变式5-1】（2022全国高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象是下降的，所以；
又因为函数的图象是上升的，所以.故选：C.
【变式5-2】（2023·陕西西安·高一统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【解析】如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），
即，且，，且．故选：．
【变式5-3】（2023全国高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.
题型六 比较指数幂的大小
【例6】（2023·湖北·高一荆州中学校考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的单调性知，，
而，故，故选：D
【变式6-1】（2023·河南·高一校联考期中）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为函数在R上是增函数，所以，即．
又，而在上单调递增，
所以，所以，因此．故选：C．
【变式6-2】（2023·广东深圳·高一校考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是上的增函数，，即；
又是R上的减函数，，即；
.故选：A.
【变式6-3】（2023·江苏无锡·高一校考期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则在单调递增，所以，
设，则在单调递增，所以，
因为，，所以，所以.故选：B.
题型七 解指数型不等式
【例7】（2022·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由指数函数在定义域上为单调递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围是.故选：A.
【变式7-1】（2023·广东广州·高一南沙一中校考期中）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】不等式即，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
【变式7-2】（2022江苏高一专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】，
因为函数是实数集上的增函数，
所以由，
因此原不等式的解集为，
故答案为：
【变式7-3】（2023广东深圳高一上期中）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】当时，，解得，则；
当时，，即，解得，则，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
题型八 指数型函数的单调性问题
【例8】（2023·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，
函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，
因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.故选：A
【变式8-1】（2023广东高一期末）函数的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】设，则，
对称轴为，当，即，即，即时，为减函数，
函数为增函数，则为减函数，
即函数单调减区间为；
当，即，即，即时，为减函数，
函数为减函数，则为增函数，
即函数单调增区间为.
故答案为：
【变式8-2】（2023安徽滁州高三月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，
函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.
【变式8-3】（2023·河南·高一校联考期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，单调递减，，且最小值为，
当时，当时，单调递增，不符题意，
又注意到是上的减函数，
故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，
则由题意有，解得．故选：A.
【变式8-4】（2023·安徽·高一马鞍山第二十二中学校考阶段练习）已知点在指数函数的图像上
（1）求，的值；
（2）判定函数在上的单调性并证明．
【答案】（1），；（2）单调递增，证明见解析.
【解析】（1）由已知得，为指数函数，，解得，
故点在指数函数的图像上，得，解得，
，得到.
（2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，
故在上为单调递增函数，证明如下：
设，且，有，得
，
故在上为单调递增函数.
题型九 指数型函数的奇偶性问题
【例9】（2022江西赣州高三上月考）已知函数是奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，
经验证，，故.故选：B.
【变式9-1】（2022山东潍坊高三二模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，
因为，所以函数为奇函数，
又因为函数在R上都是减函数，
所以函数在R上是减函数.故选：C.
【变式9-2】（2023湖南邵阳高一下开学考）（多选）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（ ）
A． B． C．的最小值为2 D．是减函数
【答案】BC
【解析】由，得，两式相加得，
则，所以，，A错误，B正确．
因为，所以
（当且仅当时，等号成立），
因为均是上的增函数，是上的增函数，
C正确，D错误．故选：BC
【变式9-3】（2022上·甘肃定西·高三校考期末）已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的奇偶性，并加以证明.
【答案】（1）；（2）是偶函数，证明见解析
【解析】（1）由函数是指数函数可得，解得
（2）是偶函数，
证明：由（1）可得，所以，定义域为
∵，
∴是偶函数.
题型十 指数型函数的值域问题
【例10】（2023全国高一课时练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，是由和，复合而成，
因为对称轴为，开口向上，
所以在单调递减，在单调递增，
所以时，，时，，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以函数，的值域是.故选：C.
【变式10-1】（2023·福建·高一厦门市松柏中学校考期中）已知指数函数（且）的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为函数（且）的图象过点，
则，解得，因此，．
（2），令，
因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
【变式10-2】（2023安徽高二开学考）已知函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，求的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为为奇函数，所以，
即，所以.
（2）,
令，则 ，
因为，所以，
所以的值域．
【变式10-3】（2023·河南·高一济源高中校联考期中）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）证明：在上单调递增；
（3）求在上的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）依题意，，两边平方并化简得，
所以.
（2）任取，
，
由于在上单调递增，所以，
所以，
所以在上单调递增.
（3），
令，由于在上单调递增，
所以，即，则，
当时，，
当时，，
当时，.
综上所述，时，最小值为；
时，最小值为；时，最小值为.6.2 指数函数
一、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
二、指数函数的图象与性质
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三、比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
四、简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解；
2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。
题型一 指数函数定义的判断
【例1】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；
⑤；⑥﹔⑦．
【变式1-1】下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
题型二 利用指数函数的概念求参
【例2】（2022全国高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【变式2-1】（2022全国高一课时练习）若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且 C． D．
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值．
【变式2-3】（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数a的值．
题型三 求指数函数的解析式
【例3】（2023·浙江宁波·高一校考期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ．
【变式3-1】（2022全国高一课时练习）（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022全国高一课时练习）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值．
【变式3-3】（2022全国高一课时练习）下列函数中，满足的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 指数型函数过定点问题
【例4】（2023重庆高三月考）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-1】（2023·陕西·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 .
【变式4-2】（2023·上海·高一朱家角中学校考期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 .
【变式4-3】（2022全国高一课时练习）函数且所过的定点坐标为 ．
题型五 指数函数的图象问题
【例5】（2023·高一课时练习）函数（，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022全国高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·陕西西安·高一统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【变式5-3】（2023全国高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
题型六 比较指数幂的大小
【例6】（2023·湖北·高一荆州中学校考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南·高一校联考期中）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·广东深圳·高一校考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·江苏无锡·高一校考期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型七 解指数型不等式
【例7】（2022·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·广东广州·高一南沙一中校考期中）不等式的解集为 .
【变式7-2】（2022江苏高一专题练习）不等式的解集为 ．
【变式7-3】（2023广东深圳高一上期中）已知函数，则不等式的解集为 ．
题型八 指数型函数的单调性问题
【例8】（2023·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023广东高一期末）函数的单调递增区间为 .
【变式8-2】（2023安徽滁州高三月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·河南·高一校联考期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2023·安徽·高一马鞍山第二十二中学校考阶段练习）已知点在指数函数的图像上
（1）求，的值；
（2）判定函数在上的单调性并证明．
题型九 指数型函数的奇偶性问题
【例9】（2022江西赣州高三上月考）已知函数是奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式9-1】（2022山东潍坊高三二模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【变式9-2】（2023湖南邵阳高一下开学考）（多选）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（ ）
A． B． C．的最小值为2 D．是减函数
【变式9-3】（2022上·甘肃定西·高三校考期末）已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的奇偶性，并加以证明.
题型十 指数型函数的值域问题
【例10】（2023全国高一课时练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023·福建·高一厦门市松柏中学校考期中）已知指数函数（且）的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域
【变式10-2】（2023安徽高二开学考）已知函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，求的值域．
【变式10-3】（2023·河南·高一济源高中校联考期中）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）证明：在上单调递增；
（3）求在上的最小值．

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