资源简介

3.2.2 双曲线的几何性质
一、双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 图形
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
二、等轴双曲线
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
1、离心率：等轴双曲线的离心率为：；
2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：；
（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°.
三、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
四、弦长公式
若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
题型一 由双曲线的方程研究几何性质
【例1】（2023·江苏·高二南京大学附属中学校考期末）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD
【解析】由双曲线C：可得，所以，
故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，
渐近线方程为，故B正确，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：ABD
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）下列有关双曲线与的说法正确的是（ ）
A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等
【答案】B
【解析】对于双曲线，顶点坐标为，
渐近线方程为，焦点坐标为，离心率为，
对于双曲线，顶点坐标为，
渐近线方程为，焦点坐标为，离心率为，
因此，这两个双曲线有相同的渐近线，故选：B.
【变式1-2】（2023秋·山东枣庄·高二校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为 D．若，则的渐近线方程为
【答案】D
【解析】对于A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；
对于C项：当时，，
当时，，C错误；
对于D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确.故选：D
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程
【答案】CD
【解析】由方程，则该双曲线的标准方程为，
即，，
则焦距为，顶点坐标为，
离心率，渐近线方程为.故选：CD.
题型二 由双曲线几何性质求标准方程
【例2】（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为，
所以可设C的方程为，
把点的坐标代入得，
所以C的方程为，即.故选：B.
【变式2-1】（2022秋·江西景德镇·高二统考期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上，
故令得，即.
又因为且，所以，
所以双曲线方程为，即.故选：B
【变式2-2】（2023·河南·高二校联考期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是 .
【答案】
【解析】由方程表示双曲线可知，则焦点在轴上，
由椭圆与双曲线有相同的焦点，
则椭圆焦点也在轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为，
故，解得（舍），或，
故双曲线方程为.
【变式2-3】（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
（2）双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知双曲线C的焦点在y轴上，
所以可设C的标准方程为，
又C的渐近线方程为，所以，即，
由C的两顶点之间的距离为4，得，所以.
故双曲线C的标准方程为.
（2）因为E与双曲线有共同的渐近线，
所以可设E为，
因为E过点，则，解得，
故双曲线E的标准方程为.
题型三 与双曲线渐近线有关的问题
【例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线离心率为可得，即可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线的渐近线方程为.故选：C
【变式3-1】（2023春·上海·高二校考期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，
则有，化简得，则有，
所以该双曲线的渐近线方程为.
【变式3-2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的半焦距为．由题可知，，
则，所以，
所以，所以C的渐近线方程为．故选：C
【变式3-3】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为，
所以直线方程为，
由，得，
设，由知：，即，
所以，，在双曲线上，
所以，化简得，则，
所以，故渐近线方程是．故选：C
题型四 求双曲线离心率的值或范围
【例4】（2023·山东德州·高二统考期中）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】由已知设双曲线方程为：，双曲线渐近线方程为，
结合双曲线的一条渐近线方程为，有，即，
双曲线中有，将代入中，
得，，所以.故选：B
【变式4-1】（2023·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，为等边三角形，
，，
又，
，，，
，，
，解得：（舍）或，
双曲线的离心率为.故选：C.
【变式4-2】（2023·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为分别为的中点，所以.
又双曲线上的点到焦点的最小距离为，
所以，解得，
因此双曲线的离心率e的取值范围是．
【变式4-3】（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
所以，代入，
得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，
即：.
【变式4-4】（2023·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，记为双曲线：的左焦点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，若，则的离心率的取值范围为
【答案】
【解析】由为双曲线：的左焦点，
以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，
可得，，，
记双曲线的右焦点为，，
在中，，
为直角三角形，
，，化简得，
线段与交于点，且，，即，
，即，
，.
题型五 直线与双曲线的位置关系
【例5】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程，
，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.
方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为，
因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A
【变式5-1】（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，
直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，
此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.
【变式5-2】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线方程与双曲线方程联立：得：,
当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当时，<0，即或，无公共点.
综上所述：或.
故答案为：
【变式5-3】（2023上·高二课时练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
（1）直线l与双曲线有两个公共点；
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线l与双曲线没有公共点．
【答案】（1）或或；（2）或；
（3）或
【解析】（1）联立，
消整理得，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则，解得；
综上，或.
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以，解得： 或.
题型六 直线与双曲线相交弦长问题
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，若直线和曲线相交于、两点，求．
【答案】
【解析】设点、，
将直线的方程与双曲线的方程联立得可得。
，由韦达定理可得，，
所以由弦长公式得：.
【变式6-1】（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有；
若，不在同一支上，则．
因为与不可能同时等于6，
所以或，解得或故选：B
【变式6-2】（2023秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，
焦点到渐近线的距离，
又离心率，，解得：，
双曲线的方程为：.
（2）由得：，
则，解得：且，
设，则，，
，
即，解得：或，均满足且，
或.
【变式6-3】（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，
又双曲线过点，
双曲线的方程为：
（2）设，，联立，化为．
∵直线与双曲线C相交于A，B两点，
∴，化为．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化为．满足．∴．
由弦长公式可得
题型七 双曲线的中点弦与点差法
【例7】（2023·重庆·高二育才中学校考期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，
设点、，因为若弦的中点为，则，
因为，可得，即，
所以，，
因此，直线的方程为，即.
联立可得，，
所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，
因此，直线的方程为.
【变式7-1】（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】设，
则有，
化简得，即.故选：B
【变式7-2】（2023·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 .
【答案】
【解析】由题意可知：直线：的斜率为，
可知直线的斜率，
设，则线段中点的坐标，
可得，，
因为A，B为双曲线C：上的两点，则，
两式相减整理得，即，
解得，即直线，
联立方程，解得，
可知线段中点的坐标为.
【变式7-3】（2023·江苏·高二盐城市新丰中学校联考期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离
，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，
设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程
得：，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
题型八 双曲线的综合问题
【例8】（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P．
（1）求点P的轨迹方程Γ；
（2）若曲线Γ上的点Q满足，求的面积．
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1），设,
则，且①，
直线的方程为：②，
直线的方程为：③，
②×③得，由①得，
，即，
故点P的轨迹方程Γ为：.
（2）设，则，即，
设，
，
，
在中，，，
由余弦定理得，即，
即，
∵，，∴，
∴上式两边平方整理得，
，
∴（舍）或，
∴，
∴的面积.
【变式8-1】（2023·云南·高二校联考期中）已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意，，
由双曲线过点，得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线方程为，
由消去x并整理得：，
显然，设，
于是，则，
因此，
所以为定值.
【变式8-2】（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设双曲线，
则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
双曲线的渐近线为，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．
【变式8-3】（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点.
（1）求C的方程；
（2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为直线过曲线的右顶点，
又与曲线只有一个公共点，所以平行于渐近线，
所以，所以双曲线方程为.
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立得.
由得,
所以，
.
因为以为直径的圆经过点，所以，
即
整理得，所以或.
当时，直线l的方程为，
所以直线l过左顶点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点.
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，
代入，得，
所以.
因为，
整理得，解得（舍去），
此时直线l的方程为，直线l也过点.综上所述，直线l恒过定点.3.2.2 双曲线的几何性质
一、双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 图形
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
二、等轴双曲线
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
1、离心率：等轴双曲线的离心率为：；
2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：；
（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°.
三、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
四、弦长公式
若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
题型一 由双曲线的方程研究几何性质
【例1】（2023·江苏·高二南京大学附属中学校考期末）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）下列有关双曲线与的说法正确的是（ ）
A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等
【变式1-2】（2023秋·山东枣庄·高二校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为 D．若，则的渐近线方程为
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程
题型二 由双曲线几何性质求标准方程
【例2】（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022秋·江西景德镇·高二统考期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·河南·高二校联考期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是 .
【变式2-3】（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
（2）双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
题型三 与双曲线渐近线有关的问题
【例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·上海·高二校考期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
【变式3-2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型四 求双曲线离心率的值或范围
【例4】（2023·山东德州·高二统考期中）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式4-1】（2023·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
【变式4-3】（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【变式4-4】（2023·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，记为双曲线：的左焦点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，若，则的离心率的取值范围为
题型五 直线与双曲线的位置关系
【例5】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式5-1】（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【变式5-2】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为 .
【变式5-3】（2023上·高二课时练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
（1）直线l与双曲线有两个公共点；
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线l与双曲线没有公共点．
题型六 直线与双曲线相交弦长问题
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，若直线和曲线相交于、两点，求．
【变式6-1】（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，若，求的值．
【变式6-3】（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
题型七 双曲线的中点弦与点差法
【例7】（2023·重庆·高二育才中学校考期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
【变式7-1】（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3 B．6 C．8 D．12
【变式7-2】（2023·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 .
【变式7-3】（2023·江苏·高二盐城市新丰中学校联考期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
题型八 双曲线的综合问题
【例8】（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P．
（1）求点P的轨迹方程Γ；
（2）若曲线Γ上的点Q满足，求的面积．
【变式8-1】（2023·云南·高二校联考期中）已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.
【变式8-2】（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
【变式8-3】（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点.
（1）求C的方程；
（2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.

展开更多......

收起↑