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2.3函数的单调性和最值 练习
一、单选题
1．若在上，函数与均单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则函数
A．有最小值，无最大值 B．有最小值 ，最大值1
C．有最小值1，最大值 D．无最小值和最大值
4．已知是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．随a的值变化而变化
5．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在R上是增函数，且，则的取值范围是
A．(- B． C． D．
8．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数在上满足：，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数（是常数）在上的最大值是5，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
12．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则的可能取值是（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空题
13．若函数在区间上单调减函数则的取值范围为
14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．已知函数 ，，若对任意 ，总存在 ，使成立，则实数m的取值范围为
16．函数的单调递增区间为 ．
四、解答题
17．设为二次函数,满足,且在R上的最小值为3,
(1)求的解析式
(2)设在上的最小值为,求的解析式
18．已知函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围.
19．已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）若在上单调递减，求实数的取值范围．
21．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并说明理由；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（1）求函数的最值；
（2）求函数在上的最小值.
参考答案：
1．D
【分析】根据函数单调性得到，解得答案.
【详解】在上，函数与均单调递减，
故，解得.
故选：D
2．B
【解析】根据题意，需要保证每段函数在对应区间为增函数，且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可，列出不等式求解，则问题得解.
【详解】因为函数满足：
对任意的实数，都有成立，
所以函数在（-∞，+∞）上是增函数，
所以在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，
且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，
故有，
解得1≤a≤2．
所以实数a的取值范围是[1，2]．
故选：B．
【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题，属基础题.
3．C
【分析】根据对称轴判断f（x）在[0，]上的单调性，根据单调性判断最值．
【详解】f（x）＝x2+x+1＝（x）2，
∴f（x）在区间[0，]上是增函数，
∴f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，涉及到函数的单调性，属于基础题．
4．B
【分析】函数定义在上的偶函数，可求出，当时，单调递增，根据偶函数得出的单调性即可求解.
【详解】由题：函数定义在上的偶函数，所以，
当时，单调递增，所以当时，单调递减，
关于的不等式即，且定义在上，
所以或，
解得：或，
所以原不等式解集为：.
故选：B
【点睛】此题考查根据函数奇偶性和单调性解抽象函数相关不等式，需注意偶函数定义域关于0对称，转化成单调性求解不等式时注意考虑函数定义域，易产生考虑不全发生遗漏出错.
5．B
【解析】分和两种情况求解，当时，为减函数，成立；当时，由题意可得，从而可求出的取值范围
【详解】解：当时，在区间上递减成立，
当时，因为在区间上递减，
所以，解得，
综上，实数的取值范围
故选：B
6．C
【分析】根据函数在区间上为为减函数即可求解．
【详解】函数在上是减函数，
函数在上是减函数，
即有函数在上单调递减，
∴，
即，
所以函数的值域为.
故选：C．
7．A
【详解】试题分析：根据函数的单调性，可知知函数在R上是增函数，且，那么必然满足2m+1>3m-4，m<5,可知参数m的范围是(-，选A.
考点：函数的单调性
点评：关键是对于函数单调性的理解和运用，结合单调性的定义得到结论，属于基础题．
8．C
【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案.
【详解】解：由，解得,
所以函数的定义域为，
令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，
该函数在上单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故选：C.
9．BD
【分析】利用特殊值排除错误选项，根据“理想函数”的定义证明正确选项.
【详解】依题意，，当时，恒有，
A选项，取，则，
则，A选项错误.
C选项，取，则，
则，C选项错误.
由于本题是多选题，所以本题选BD.
下面利用构造函数法来进行证明：
依题意，，当时，恒有，
构造函数，任取，则，
此时，
所以，
所以；
同理可证得：任取，时，，
综上所述，在区间上递增.
对于B选项，
，
和在上递增，
所以在上递增，符合题意，B选项正确.
对于D选项，，
和在上递增，
所以在上递增，符合题意，D选项正确.
故选：BD
【点睛】新定义函数的题目的求解，关键的突破口在于理解“新定义”，将新定义的知识转化为所学的知识来进行研究.如本题中的“理想函数”，就可以转化为函数的单调性来进行研究.
10．AB
【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.
【详解】令（是常数），
因为，所以.
若，的最大值为5，符合题意；
当时，的最大值为与中较大的数，由，
即，解得，
显然当时，的最大值为5，当时，的最大值不为定值.
综上，当时，在上的最大值是5，结合选项可知，的值可能是0或1，
故选AB.
11．ACD
【分析】根据奇函数可求解，根据自变量即可代入求值判断B,结合函数的图象即可判断CD.
【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A正确，
，所以，故B错误，
当时，，画出其图象（如图），当时，，进而根据奇函数可得时，，令，则，令，则，
要使值域为，最小，则或者故的最小值为；故C正确，
要使值域为，最大，则或者故的最大值为；故D正确
故选：ACD
12．CD
【解析】首先判断函数是单调递增函数，再根据分段函数，列不等式求解的取值范围.
【详解】由条件对任意的，都有成立，则函数单调递增，若函数是上的单调递增函数，
需满足，解得：.
故选：CD
【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点是在分界点时，左右两段的函数值比较大小，这个不等式容易忽略，需引起注意.
13．
【分析】利用对勾函数的单调性使即可求解.
【详解】由对勾函数的性质可知：
函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调减函数，所以，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键是求出函数的单调区间，属于基础题.
14．
【分析】由题意可得的最小值是，再分段探讨最小值建立不等关系，求解作答.
【详解】依题意，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
于是得，解得，
当时，恒成立，即恒成立，因此有恒成立，而，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．
【分析】分别求出和的值域和，由列不等式组，即可求得.
【详解】由函数，.
因为，所以在上单减，在上单增，
而可得值域.
函数，可得值域.
因为对任意 ，总存在 ，使成立，
所以,所以，解得：.
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
16．
【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.
【详解】令，解得或，
函数的定义域为.
内层函数的减区间为，增区间为.
外层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．(1)
(2)
【分析】(1)由题意设,根据已知条件代入求解即可;
(2)根据对称轴和区间的位置关系,分类讨论求解.
【详解】（1）由题意设,
,
①,
在R上的最小值为3,
且②,
,
③,
联立①②③得,
.
（2）函数的对称轴为,
①当即时,函数在上是增函数,
,
即;
②当即时,
,
即;
③当即时,函数在上是减函数,
,
即;
综上所述,.
18．
【分析】求得函数的对称轴，根据二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示.

由图象可知函数在和上都具有单调性，
因此要使函数在区间[1，2]上具有单调性，只需或，
从而实数a的取值范围是.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；
（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.
【详解】（1）设，
，
所以函数在上单调递增，
又因为和，
则，
所以
得
解得，即，
故的取值范围为；
（2） 由于恒成立，
恒成立，
设，
则
，
令， 则，
所以在区间上单调递增，
所以，
根据条件，只要 ，
所以.
【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.
20．（1）2；（2）函数在上是增函数；（3）
【详解】【试题分析】（1）依据题设运用赋值法求出的值，借助题设“时”进行分析推证；（2）依据题设中的等式，巧妙运用赋值法和函数的单调性定义分析证明；（3）借助（2）中的函数的单调性结论和题设条件分析探求：
（1）∵,令，
∴,或
若, 则，
与已知条件时，相矛盾，∴
设，则，那么
又
∵，∴，从而
（2）函数在上是增函数
设则，∴
∵由（1）可知对，，∴，又
∴
即
∴函数在上是增函数
（3）∵由（2）函数在上是增函数
∴函数在上也是增函数
若函数在上递减
则时，
即时，，
∵时，，
∴ ．
点睛：本题是一道没有给出函数解析式的抽象函数问题，解答这类问题的一般方法是依据题设条件及欲求问题之间的直接的联系，灵活运用赋值法进行分析探求．解答本题的第一问时，直接依据题设和欲求的函数值的关系，令进行分析探求，再借助题设条件分析推证出“当时，．”成立；解答第二问时，则借助函数的单调性定义巧妙地变形：，然后再借助（1）的结论“当时，”使得问题获证；第三问则借助题设与第二问的结论，进行分析推证从而使得问题获解．
21．（1）；（2）在上是减函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）由于函数是上的奇函数，所以由可求出的值，
（2）利用单调性的定义判断即可，
（3）由于函数为奇函数，所以将转化为，再利用在上是减函数，可得对恒成立，然后由可求得结果
【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数，
所以，即，
解得
所以，经检验成立．
（2）在上是减函数
证明如下，设任意，则，
因为，，
所以
所以在上是减函数
（3）不等式恒成立，
由奇函数得到，
所以，
由在上是减函数，所以对恒成立，
即对恒成立，
则，解得．
即实数的取值范围是．
22．（1）最小值为；无最大值；（2）最小值为
【分析】（1）根据绝对值函数的性质将函数化为分段函数，由单调性确定最值；
（2）将函数化简可得,根据二次函数求最值方法即可求得答案.
【详解】（1），由此可得
函数在上单调递减，在上为常数函数，在上单调递减，
又，所以函数有最小值为，无最大值；
（2）
，
因为函数在上递减，在上递增，
所以，
故当时，即，又，所以时，
函数取到最小值.

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