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2015北京高考数学二轮复习高考改革背景下的高中数学教学与高考复习策略
北京陈经纶中学 丁益祥
一、高考模式改革的简单回顾
我国恢复高考以来，高考几经变革．
1977年是恢复高考的第一年。
纵观恢复高考以来的近38年间我国高考发展的轨迹，高考命题走过了由缺乏统一标准的分省命题模式到单一的全国统一命题模式再到2001年开始逐步推行的全国统一命题与统一标准下的分省命题相结合的双轨模式．
随着高校招生考试制度改革的逐步深入，2014年国务院颁布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》的国发【2014】35号文件，吹响了新一轮高考改革的号角。文件指出：2014年启动考试招生制度改革试点，2017年全面推进，到2020年基本建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式．
二、高考改革背景下的高中数学教学
新一轮高考改革，就数学科考试而言，高考改革主要表现为两个方面：一是全国统一命题的逐步回归，二是不分文理而引发的教学内容的完全统一．基于这样的实际情况，高中数学教学应注意如下几点：
1．注意课标的落实
高中数学课程标准对高中阶段各年级学生就各部分知识应达到的水平都有着明确的要求．因此，高中数学教学必须依据高中数学课程标准．既不要降低要求，也不要盲目拔高；既要讲清知识的内容要点，又要讲清知识的来龙去脉；既要阐明知识的内涵外延，又要揭示知识的本质属性．
2．注意难度的调控
2014年秋季，上海、浙江两省市入学的高一新生已不分文理，全国其他省、市、自治区最迟2017年入学的高一新生将不再分文理，这说明，到2020年全国所有省、市、自治区高考数学都不再分文理．
数学教师在教学中必须依据课程标准，有效调控教学难度．
3．注意信心的树立
面对不分文理科，同一个班级的学生数学学习成绩参差不齐的状况不会因此而改变．对此，作为数学教师，首先自己要有提高每一个学生数学成绩的信心，其次要帮助数学基础薄弱的学生（其中大多可能是原本学习文科的那些数学基础薄弱学生）树立学好数学的信心，鼓舞他们克服困难的勇气，培养他们良好的学习习惯，既注意智力因素的开发，又注意非智力因素的作用．
4．注意问题的生成
数学是一门思维科学，这里的思维主要指理性思维．而要使学生的理性思维有所发展，必须努力激发学生的问题意识，既要注意问题解决，又要注意问题生成，既要有来自于教师的问题，也要有来自于学生的问题．
三、高考改革背景下的高考数学复习
1．关注两纲学习
2．加强试题研究
近年来，全国卷试题和广东卷试题有如下主要特点：
特点1 考查双基，突出重点
试题1（2010全国课标卷 理8）设偶函数满足，
则（ ）．
(A) (B)
(C) (D)
（2011广东 理4） 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ．是偶函数　　　　　　　Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数　　　　　　　Ｄ．是奇函数
试题2（2010全国Ⅰ卷 文、理4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则（ ）．
(A) (B) 7 (C) 6 (D)

（2014广东 理13）若等比数列的各项均为正数，且，
则 ．
（2014广东 文13）等比数列的各项均为正数，且，则 ________.
试题3 (2009全国Ⅰ卷 理4，文5) 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( C )
（A） （B）2 （C） （D）
（2013广东 理10）若曲线在点处的切线平行于轴，则______.
（2013广东 文12）若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．
特点2 注重交汇，考查能力
试题4（2014全国Ⅰ卷 理20）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
（2012广东 理20）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．
特点3 加强实践，强化应用
试题5 （2013全国课标Ⅰ卷 文18）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：），试验的观测结果如下：
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药
B药
0．
1．
2．
3．
（2014广东 文17） 某车间20名工人年龄数据如下表：
（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；
年龄（岁）
工人数（人）
19
28
29
30
31
32
40
1
3
3
5
4
3
1
合计
20
（Ⅱ）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这
20名工人年龄的茎叶图；
（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差．
试题6（2014全国课标Ⅰ卷 文18） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
（2014广东 理17） 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率

（Ⅰ）确定样本频率分布表中和的值；
（Ⅱ）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率．
特点4 适度创新，开发潜能
试题7（2014全国课标Ⅰ卷 理14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为 ．
（2012广东 理8）对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，与的夹角，且都在集合中，则( )．
A． B．1 C． D．
(注：文科第10题将“”改成了“”)
（2011广东 理8）设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的. 若是的两个不相交的非空子集，，且有有，则下列结论恒成立的是（ ）．
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
3．重视本质分析
问题8（2008江苏15）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是和．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
试题9（2012北京 文、理17）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中a＞0，=600．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．
（注：，其中为数据的平均数）
4．瞄准核心考点
试题10（2014广东 理18）如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
试题11 （2007全国甲卷 理22）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
5．注意思想提炼
试题12 （2013全国课标Ⅰ卷 文9）函数在的图象大致为（ ）．
试题13（2012山东 理9，文10）函数的图象大致为（ ）．
6．突出能力培养
试题14（2013广东理19） 设数列的前项和为，已知，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.
试题15（2011全国大纲卷 理22）
（Ⅰ）设函数，证明：当＞0时，＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.
试题16（2010湖南 理15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得 成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是…．已知对任意的，，则 __________ ， ．

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