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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第二课时
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.
空间向量
立体几何
距离问题
夹角问题
问题1：如何利用空间向量研究角度问题？
直线与直线所成的角
直线与平面所成的角
平面与平面所成的角
直线方向向量的夹角
方向向量与法向量的夹角
法向量的夹角
追问1：两条直线夹角的定义是什么？
//
规定与的夹角为
追问2：两条直线夹角的取值范围是什么？
平面内，两条直线， 相交向形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线与 成的角（或夹角）.
空间中，两条异面直线， ，经过空间任一点O分别做直线’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把直线’与’所成的角叫做异面直线与 成的角（或夹角）.
追问3：两条直线的夹角与它们方向向量的夹角<, >有什么关系？
本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。
A
B
C
D
M
N
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
基底法
几何法
坐标法

向量与的夹角
设向量与的夹角为，则直线与夹角的余弦值等于.
解：以{，}为基底【基底选择不唯一】
又
所以直线夹角的余弦值等于
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
基底法
几何法
坐标法

向量与的夹角
解：取中点，过作⊥平面，
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
请同学们课后完成！
将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.
实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法：
化为向量问题
进行向量运算
①转化为求两直线，的方向向量，的夹角
回到图形问题
③两条直线，夹角的余弦值
问题2：如何利用向量求直线到平面的夹角？
两条直线夹角的定义
两条直线夹角的取值范围
两条直线夹角的向量求法
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的取值范围
直线与平面所成角的向量求法
直线与平面所成角问题的研究路径：
问题2：如何直线与平面夹角的定义范围？
α

θ=0°
⊥α

θ=90°
∥α

θ=0°
α的斜线

0°<θ<90°
追问1：直线与平面的夹角与有什么关系？
若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为
本质：直线与平面所成角就是它们的方向向量所成角减去90°或其余角。
基底法
几何法
坐标法
求直线与平面所成角
角的正弦值.

向量与平面的法向量的夹角
所以直线与平面所成的角正弦值等于
用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角
③直线平面所成的角的 正弦值
角的类型 角的取值范围 方向向量 与法向量 与向量夹角的关系
两条直线的夹角 两条直线的方向向量
直线与平面所成的角 直线的方向向量， 平面的法向量

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