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第二章 匀变速直线运动的研究
人教版 必修第一册
2.3 匀变速直线运动位移与时间的关系
大单元 教学目标
【课程标准】
1.1.3 通过实验，探究匀变速直线运动的特点，能用公式、图像等方法描述匀变速直线运 动，理解匀变速直线运动的规律，能运用其解决实际问题，体会科学思维中的抽象方法和物理问题研究中的极限方法。
1.1.4 通过实验，认识自由落体运动规律。结合物理学史的相关内容，认识物理实验与科学推理在物理学研究中的作用。 1.1.1 了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用。
舰载机在航空母舰的甲板上起飞是，在弹射系统的作用下获得一定的速度，然后在甲板上继续加速一段距离便可达到起飞的速度。那么舰载机起飞前的位移与时间的关系是什么呢？
大单元 情景导入
1. 做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移： 。
2．做匀速直线运动的物体，其v-t 图象是一条平行于 的直线，其位移在数值上等于v-t 图线与对应的时间轴所包围的矩形的 ，如图所示：
大单元 知识解读
知识点一：匀速直线运动的位移
x＝vt
时间轴
面积
（1）当“面积”在t 轴上方时，位移取 ，这表示物体的位移与规定的正方向 ；
（2）当“面积”在t 轴下方时，位移取 ，这表示物体的位移与规定的正方向 。
大单元 知识解读
知识点一：匀速直线运动的位移
t
x
正值
相同
负值
相反
1 ．微元法与极限思想的应用
在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv ＝a ·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小, 在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
大单元 知识解读
知识点二：匀变速直线运动的位移
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。时间Δt越短，速度变化量Δv 就越小，我们这样计算的误差也就越小。当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t 图象与时间轴所围成的面积。
大单元 知识解读
知识点二：匀变速直线运动的位移

大单元 知识解读
知识点二：匀变速直线运动的位移
v=v0+at
结论：速度-时间(v-t)图象中图线与时间轴围成的面积就代表做直线运动物体在相应时间间隔内的位移。
v/m/s
O
v0
A
t/s
v
t
B
C
x1=v0t
拓展
{9A10F020-752E-4B08-AB93-CA642F5A23D6}公式的意义
反应了位移随时间的变化规律，不是路程随时间的变化规律
适用条件
仅适用于匀变速直线运动
矢量性
公式中x 、v0 、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向
特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝12at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
应用特点
公式x ＝v0t＋_x001A_????_x001B_????_x001B_at2 中包含四个物理量，知道其中3个量，可以求出另一个物理量，公式中各物理量必须采用国际主单位
{9A10F020-752E-4B08-AB93-CA642F5A23D6}公式的意义
反应了位移随时间的变化规律，不是路程随时间的变化规律
适用条件
仅适用于匀变速直线运动
矢量性
公式中x 、v0 、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向
特殊形式
应用特点
公式x ＝v0t＋_x001A_????_x001B_????_x001B_at2 中包含四个物理量，知道其中3个量，可以求出另一个物理量，公式中各物理量必须采用国际主单位
{9A10F020-752E-4B08-AB93-CA642F5A23D6}应用特点
公式x ＝v0t＋????????at2 中包含四个物理量，知道其中3个量，可以求出另一个物理量，公式中各物理量必须采用国际主单位
{9A10F020-752E-4B08-AB93-CA642F5A23D6}应用特点
大单元 知识解读
2. 对????=????0????+12????????2的理解
?
知识点二：匀变速直线运动的位移
A ．0 ~ 8s内物体通过的路程先增大后减小
B ．4 ~ 6s内物体的位移为 0
C ．4 ~ 6s 内物体的加速度为3m/s2
D ．6 ~ 8s 内物体的加速度方向与速度方向相同
【详解】
A ．路程是物体运动轨迹的长度，则0 ~ 8s 内物体通过的路程一直增大，故A错误；
B ．根据v - t 图像面积与坐标轴所围面积表示位移，由图可知4 ~ 6s 内物体的位移为0 ，故B正确；
C ．根据v - t 图像中图线的斜率表示加速度，由图可得，4 ~ 6s 内物体的加速度为a =?3?36?4m/s2 = - 3m/s2 ,故C错误；
D ．根据题意，由图可知，6 ~ 8s 内物体做负方向的减速运动，则加速度方向与速度方向相反，故D错误。
?
【典例1】一物体做直线运动，其v - t 图像如图所示， 以下说法正确的是( )
大单元 知识解读
知识点二：匀变速直线运动的位移
【典例引领】
B
【典例2】一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2s内位移大小分别为x1= 8m 和x2= 7m ，求：
（1）汽车的加速度a；
（2）刹车时的初速度v0；
（3）刹车后汽车在第6s末的速度v6和6s内的位移x6分别是多少？
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知识点二：匀变速直线运动的位移
解：(1)规定初速度方向为正方向，由?????=????????2可得????=????2?????1????2=7?812????/????2=?1????/????2
所以加速度大小为1m/s2，方向与初速度方向相反。
?
(2)由位移时间公式可知，开始刹车后第1s内的位移可表示为????1=????0????+12????????2，解得v0=8.5m/s
?
(3)刹车后6s末的速度为v6=v0+at ，解得v6=2.5m/s，6s内的位移x6为????6=????0????6+12????????62，解得????6=33m
?
D．0~2s内的平均速度为????1=0+102????/????=5m/s
0~4s内的位移为????2= 12×（4+2）×10????=30????
0~4s内的平均速度为????2=304????/????=7.5m/s,D错误。
?
A ．第1s 内和第5s内的运动方向相反
B ．在0～6s内，物体的位移大小为30m
C ．第2s 内和第6s 内的加速度相同
D ．0～2s和0～4s 内的平均速度大小相等
【详解】
【变式1】物体做直线运动的v - t 图像如图所示，则该物体( )
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知识点二：匀变速直线运动的位移
【典例引领】
C ．v - t 图中图线的斜率表示加速度，由图可知，第2s 内和第6s内的图线斜率不同，即加速度不同，C错误；
B ．v - t 图中图线与时间轴围成的面积表示物体的位移，在0～6s 内，物体的位移大小为x = 12（2+5）×10?????12×1×10????=30????,故B正确；
?
A ．v - t 图中速度的正负表示物体运动的方向，由图可知，第1s 内和第5s 内的运动方向相同，A错误；
B
【变式2】如图，一个冰球在冰面上向右匀减速运动时，依次通过长度为L=3m的两段相等的路程，并继续向前运动, 它通过第一段路程历时1s ，通过第二段路程历时2s ，求：
（1）冰球的加速度大小a；
（2）冰球通过B点时的速度大小v。
解：（1）对AB段有:????=????????????1?12????????2,AC段：2????=????????????2?12????????22,
其中t1=1s ，t2= 1s + 2s = 3s，联立求解得：a = 1m/s2 ，vA =3.5m / s
（2）对AB段，vB= vA一at1= 3.5m / s 一 1×1m / s = 2.5m / s
?
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知识点二：匀变速直线运动的位移
【即时检测】
?
?
?
把?式代入?式得：
化简得：
直接用此式也可以求解前面问题
知识点三、匀变速直线运动速度与位移的关系
大单元 知识解读
v=v0+at
1.公式推导
{92035E39-A97B-4AD6-A3AF-86644779A598}适用范围
仅适用于匀变速直线运动
矢量性
x 、v0 、a 、v均为适量
物体做加速运动时,a取正值；做减速运动时，a取负值
x>0,说明物体的位移方向与初速度的方向相同；
x<0,说明物体的位移方向与初速度的方向相反
特殊形式
若v0 =0,则v2=2ax；若v=0,则-????02=2ax
说明
分析和解决不涉及时间的问题时，使用 ????2 －????02 ＝2???????? 更简单
利用公式 ????2 －????02 ＝2????????求解速度时，通常有两个解，要对两个解的含义和合理性进行讨论
{92035E39-A97B-4AD6-A3AF-86644779A598}适用范围
仅适用于匀变速直线运动
矢量性
x 、v0 、a 、v均为适量
物体做加速运动时,a取正值；做减速运动时，a取负值
x>0,说明物体的位移方向与初速度的方向相同；
x<0,说明物体的位移方向与初速度的方向相反
特殊形式
说明
0
2. 对 ????????－????????????＝????????????公式理解
?
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知识点三、匀变速直线运动速度与位移的关系
【典例3】有一航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统。已知某型号的战斗机在跑道上加速时可产生的最大加速
度为5.0m/s2 ，起飞速度为50m/s ，如果航母甲板跑道长160m ，问：
（1）弹射系统应至少使飞机产生多大的初速度？
（2）如果航空母舰上不安装弹射系统，要求这种飞机仍能在舰上起飞，问甲板上跑道至少应为多长？
（3）如果航空母舰上不安装弹射系统，要求这种飞机仍能在舰上起飞，问航空母舰应以多大速度航行？
【答案】（1）30m/s；（2）250m；（3）10m/s
【详解】（1）设弹射系统必须使飞机具有的初速度为v0 。则有v2?v02 ＝2ax
代入数据解得v0=30m/s
（2）由v2=2ax′
代入数据解得x ′=250m
（3）设飞机起飞所用的时间为t，在时间t 内航空母舰航行的距离为L1 ，航空母舰的最小速度为v1 .
对航空母舰有L1=v1t
对飞机有v=v1+at，v2-v12=2a（L+L1）
联立解得v1= 10m/s
大单元 知识解读
知识点三、匀变速直线运动速度与位移的关系
【典例引领】
【详解】
（1）设弹射系统必须使飞机具有的初速度为v0 。则有v2?v02 ＝2ax，代入数据解得v0=30m/s
（2）由v2=2ax′，代入数据解得x ′=250m
（3）设飞机起飞所用的时间为t，在时间t 内航空母舰航行的距离为L1 ，航空母舰的最小速度为v1 .
对航空母舰有L1=v1t
对飞机有v=v1+at，v2-v12=2a（L+L1）
联立解得v1= 10m/s
大单元 知识解读
知识点三、匀变速直线运动速度与位移的关系
【典例引领】
质点以一定的初速度做匀加速直线运动，运动10m 的过程中速度增加了5m/s ，再运动15m 的过程中速度同样增加了5m/s ，则该质点的初速度为 m/s ，加速度为 m / s2 。
【详解】根据题意，设质点的初速度为v0 ，加速度为a ，由运动学公式v2?v02 ＝2ax可得，(????+5)2-????02=2????????1 ,其中x1=10m , x2=15m
解得：v0=7.5m/s，a=5m/s2
?
大单元 知识解读
知识点三、匀变速直线运动速度与位移的关系
【即时检测】
7.5
5
1. 中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，等于初、末位置速度和的一半，即：????????2=????=????0+????????2
2. 连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，即 Δx = aT2
（或x n- xm = (n - m)aT2 ）
3. 中间位置的瞬时速度：????????2=????02+????????22

?
大单元 知识解读
知识点四：匀变速直线运动的重要推论
【典例4】一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m ，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度、末速度及加速度。
大单元 知识解读
知识点四：匀变速直线运动的重要推论
【详解】
由Δx=aT2，可得????=?????????2=64?2416=2.5????/????2
又x1=v0T＋12aT2，v=v0＋a·2T
联立解得v0=1m/s，v=21m/s
【答案】1 m/s，21 m/s，2.5 m/s2
?
【变式1】物体做匀加速直线运动，它在第3s内和第6s内的位移分别是2.4m和3.6m，则质点运动的加速度为 m/s,2前6s内的平均速度为 m/s。
大单元 知识解读
知识点四：匀变速直线运动的重要推论
【即时检测】
【详解】[1]根据逐差法x6-x3=3at2,代入数据解得a=0.4m/s2
[2]第3s内的位移为2.4m，有2.4=????0????3
12????????32?????0????212????????22
?
代入时间得v0=1.4m/s
前6s内的位移为
则前6s内的平均速度为
0.4
2.6
【变式2】从斜面上某位置，每隔0. 1s释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示, 测得xAB= 15cm ，xBC=20cm ，则小球的加速度a = m/s2 ，拍摄时B球的速度vB = m/s。
大单元 知识解读
知识点四：匀变速直线运动的重要推论
【即时检测】
5
1.75
大单元 重难点拓展
题型一：应用匀变速直线运动规律求解问题
【典例引领】
【典例5】已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为????1，BC 间的距离为????2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过段与段所用的时间均为t。求：
(1)物体的加速度a；
(2)O与A的距离。
?
【详解】(1)设物体的加速度为a，到达A点的瞬时速度为v0，则有
联立以上两式可得: ,即
(2)设OA间的距离为l，则有 ，即
【变式】如图所示，已知 O、A 、B 、C 为同一直线上的四点，OA 间的距离为 l1 ，BC 间的距离为 l2 ，一物体自O 点静止起出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过 A、B 、C 三点。已知物体通过 OA 段与通过 BC 段所用时 间相等。求 O 与 C 的距离。
大单元 重难点拓展
题型一：应用匀变速直线运动规律求解问题
【即时检测】
大单元 重难点拓展
题型一：应用匀变速直线运动规律求解问题
【即时检测】
【详解】设物体的加速度为a，到达B点的速度为vB，通过OA段和BC段所用的时间为t，则有
①
②
联立①②式得
③
设O与B的距离为sOB，则有
④
联立①③④式得
⑤
所以OC间的距离为
⑥
【典例6】从斜面上某一位置，每隔0. 1s释放一个小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得sAB=24cm ，sBC=28cm ，试求：
(1)小球下滑的加速度大小；
(2)拍摄时B球的速度vB大小；
(3)A球上面滚动的小球还有几个？
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【典例引领】
【详解】释放后小球都做匀加速直线运动，每相邻两球的时间间隔均为0.ls，可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置。
知，小球的加速度
(1)由
大单元 重难点拓展
故在A球上方正在滚动的小球还有5个。
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【典例引领】
(2)B点的速度等于AC段上的平均速度，即
(3)设A点小球速度为vA，由于vB=vA+aT，则vA=vB?aT=2.2m/s所以A球的运动时间
【变式】在斜面上某一个位置，每隔 0. 1s 释放一个相同的小球，小球在斜面上均作相同的匀加速运动．在连续放下几个小球后，对在斜面上运动的部分小球进行拍照，照片如图所示，将照片上球标号为 A、B、C、D，测得AB=20cm , BC=25cm.则
(1)小球运动的加速度是多大?
(2)拍摄时球 A 的速度vA是多大?
(3)球 A上面正在运动的球最多可能还有几个?
(4)此斜面至少多长？
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【即时检测】
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【即时检测】
【详解】(1)因为任一小球从斜面下滑过程中加速度相同，所以同一时刻不同小球的位置分布与同一小球相隔0. 1s时间在不同时刻位置分布完全相同；sAB 、sBC 、sCD 都可以看成同一小球在0. 1s时间内的位移，由于小球做匀变速直运动，由
可得加速度
(2)由一段时间中点时刻速度等于这段时间的平均速度，则B的速度
拍摄时球A的速度为：
【典例7】如图所示，为测量做匀加速直线运动的小车的加速度，将宽度均为b的挡光片A 、B固定在小车上，测得 两者间距为d。当小车匀加速经过光电门时，测得两挡光片A 、B先后经过的时间为Δt1和Δt2 ，求：
（1）小车通过光电门A ，B 的速度；
（2）小车的加速度a。
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【典例引领】
【详解】（1）根据光电门测速原理，小车通过光电门A，B的速度分别为
（2）根据位移与速度的关系有 ，解得
【变式】航天飞机是一种垂直起飞、水平降落的载人航天器，航天飞机降落在平直跑道上，其减速过程可简化为两个匀减速直线运动。航天飞机以水平速度D0 着陆后立即打开减速阻力伞（如图），加速度大小为a1 ，运动一段时 间后速度减为D ；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下，已知两个匀减速滑行过程的总时间为t，求：
（1）第二个减速阶段航天飞机运动的加速度大小；
（2）航天飞机着陆后滑行的总路程。
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【即时检测】
大单元 重难点拓展
题型二：应用匀变速直线运动规律处理纸带问题
【即时检测】
【详解】（1）对第一个减速阶段，根据速度公式 ，得
根据位移公式 ，得
假设第二个减速阶段的加速度大小为a2，减速时间为t2，对第二个减速阶段
由速度公式 ，得
（2）由位移公式可得 ，得
由上可知总路程
1．（2023 · 山东 · 统考高考真题）如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST 间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10m/s，ST段的平均速度是5m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为( )
大单元 高考探知
再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有vT = vR－a?5t1，则at1= 2m/s
【详解】由题知，电动公交车做匀减速直线运动，且设RS间的距离为x，则根据题意有 ， ，
联立解得t2= 4t1，vT = vR－10
其中还有 ，解得vR = 11m/s，联立解得vT = 1m/s
A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0.5m/s
C
2．（2023 ·全国 · 统考高考真题）一小车沿直线运动，从t = 0开始由静止匀加速至t = t1 时刻，此后做匀减速运动，到t = t2 时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t 的关系曲线中，可能正确的是( )
【详解】x—t 图像的斜率表示速度，小车先做匀加速运动，因此速度变大即0—t1 图像斜率变大，t1—t2做匀减速运动则图像的斜率变小，在t2 时刻停止图像的斜率变为零。
大单元 高考探知
D
大单元 高考探知
3. （2023·湖北·统考高考真题）t=0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0~3t0时间内，下列说法正确的是（ ）
A．t=2t0时，P回到原点 B．t=2t0时，P的运动速度最小C．t=t0时，P到原点的距离最远 D．t=32t0时，P的运动速度与t=12t0时相同
?
BD

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