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14.3.2 公式法第2课时 运用平方差公式因式分解
2023—2024学年人教版数学八年级上册
　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．
　　1．什么叫多项式的因式分解？
　　2．判断下列变形过程，哪些是整式的乘法？哪些是因式分解？
　　（1）(x＋2)(x－2)＝x2－4；
　　（2）x2－4＋3x＝(x＋4)(x－1)；
　　（3）7m－7n－7＝7(m－n－1)；
　　（4）x2－4＝(x＋2)(x－2)．
整式的乘法
因式分解
因式分解
因式分解
　　如图，在边长为 a 的正方形上剪掉一个边长为 b 的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a
a－b
b
a－b
a
b
a＋b
探究
a
a－b
b
a－b
a
b
a＋b
S阴影＝a2－b2；
S阴影＝(a＋b)(a－b)；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
　　你能将多项式 x2－9 与多项式 y2－64 分解因式吗？
思考
　　这两个多项式都是两个数的平方差的形式，由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把 (x＋3)(x－3)＝x2－9 和 (y＋8)(y－8)＝y2－64 的等号两边互换位置，就得到
x2－9＝(x＋3)(x－3)；
y2－64＝(y＋8)(y－8)．
　　你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
　　即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
运用平方差公式分解因式
　　利用平方差公式分解因式时，多项式需具备什么特点？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
另一个数
的平方
一个数
的平方
－
＝
两个数
的和
两个数
的差
×
　　利用平方差公式分解因式时，多项式应满足：
　　1．含有两部分；
　　3．每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方．
　　2．这两部分的符号相反；
练习
　　判断下列各式能否用平方差公式分解因式：
　　（1）y2－49；
　　（2）y2－2x3；
　　（3）x2＋4；
　　（4） (p＋q)2－9；
　　（5）－m4－n4；
　　（6）a＋(－b)2．
×
√
×
√
×
×
y2－49＝y2－72
(p＋q)2－9＝ －32
　　例1　分解因式：
　　（1）4x2－9； （2）(x＋p)2－(x＋q)2．
　　分析：（1）4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32，即可用平方差公式分解因式．
　　解：（1）4x2－9
　　　　　 ＝(2x)2－32
　　　　　 ＝(2x＋3)(2x－3)；
　　例1　分解因式：
　　（1）4x2－9； （2）(x＋p)2－(x＋q)2．
　　分析：（2）把 x＋p 和 x＋q 各看成一个整体，设 x＋p＝m，x＋q＝n，则原式化为 m2－n2．
　　解：（2）(x＋p)2－(x＋q)2
　　　　　 ＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
　　　　　 ＝(2x＋p＋q)(p－q)．
　　用平方差公式分解因式的一般步骤
　　第1步：观察多项式的特点，确定a，b；
　　第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方；
　　第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式；
　　第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简．
　　例2　分解因式：
　　（1）x4－y4； （2）a3b－ab．
　　分析：（1）x4＝(x2)2，y4＝(y2)2，x4－y4＝(x2)2－(y2)2，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．
　　解：（1）x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)
此时，因式分解彻底了吗？
　　还可以继续分解： x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
　　例2　分解因式：
　　（1）x4－y4； （2）a3b－ab．
　　分析：（1）x4＝(x2)2，y4＝(y2)2，x4－y4＝(x2)2－(y2)2，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．
　　解：（1）x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
　　例2　分解因式：
　　（1）x4－y4； （2）a3b－ab．
　　分析：（2）a3b－ab 有公因式 ab，应先提出公因式，再进一步分解因式．
　　解：（2）a3b－ab
　　　　　 ＝ab(a2－1)
　　　　　 ＝ab(a＋1)(a－1)．
　　对于二项式进行因式分解，先看有没有公因式，有公因式要先提公因式；再看能不能用平方差公式分解因式，注意必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止．
用平方差公式分解因式的一般步骤
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用平方差公式分解因式
谢谢

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