资源简介

4.3 指数函数与对数函数的关系
一、反函数的概念
如果在函数中，给定值域中任意一个的值，只有唯一的与之对应，那么是的函数，这个函数称为的反函数，此时称存在反函数，而且函数的自变量仍用表示，因变量仍用表示，函数的反函数记作.
二、反函数的有关性质
一般地，函数的反函数记作，则
1、的定义域与的值域相同，的值域与的定义域相同；
2、与的图像关于直线对称；
3、单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同.
【注意】由性质2可知，若函数的图像上有一点，则点一定在其反函数的图像上；反之，若点在的反函数图像上，则点必在函数的图像上.
三、指数函数与对数函数的关系
当且时，有，列表如下.
名称 指数函数 对数函数
一般形式
定义域 R
值域 R
定点
单调性 时，为增函数；时，为减函数 时，为增函数；时，为减函数
函数值的变化情况 （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则. （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则.
对数函数与指数函数互为反函数
四、判断函数是否存在反函数的方法
并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域都满足“一 一对应”的函数才有反函数.
1、逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在；
2、确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在；
3、利用原函数的解析式，解出自变量，如果是唯一的，则函数的反函数存在。
五、求反函数的步骤
1、由，解出；
2、交换、，得；
3、根据的值域，写出的定义域。
题型一 反函数存在的条件
【例1】（2023·高一课时练习）下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.
对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错；
对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错；
对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错；
对于D，满足反函数的定义，D对.故选：D
【变式1-1】（2022·高一课时练习）若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数在上存在反函数，
则函数在上单调即可，
又因为函数在上递减，在上递增，
所以，所以.故选：B.
【变式1-2】（2021·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知函数，存在反函数，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】函数，存在反函数，
即函数在上是一一映射，
只需函数在上单调即可，
因为函数的对称轴为，
故当或时，函数在上单调，
即函数，存在反函数.故选：A.
【变式1-3】（2022·上海·统考三模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【答案】或.
【解析】当时，，，是定义在上的奇函数，
所以，即时，，
所以，
若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，
当，，；
所以或
所以或.
【变式1-4】（2023·高一课时练习）已知函数的表达式为．
（1）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；
（2）当为何值时，此函数存在反函数 并求出此函数的反函数．
【答案】（1）没有反函数，理由见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）当时，则的对称轴为，
若时，则在上单调递减，在上单调递减，
即函数不单调，所以在区间没有反函数.
（2）若函数存在反函数，则函数在区间上是单调函数．
的对称轴为，
若函数存在反函数，则有
当时，则在上单调递减，且，
即，
由，解得，
故，；
当时，则在上单调递增，且，
即，
由，解得，
故，；
综上所述：当时，，；
当时，，.
题型二 反函数解析式的求法
【例2】（2023·全国·高一课堂例题）函数（）的反函数为 ．
【答案】（）
【解析】∵，∴，反函数即．
在原函数中由知．
【变式2-1】（2023·上海·高一复旦附中校考期末）函数的反函数为 .
【答案】
【解析】由题意可得在上递减，故，
则，
故函数的反函数为.
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知函数，则其反函数为 ．
【答案】
【解析】当时，，，
所以此时的反函数为，
当时，，，
所以此时的反函数为，
故答案为:.
【变式2-3】（2023·高一课时练习）函数的表达式为，设是其反函数，则 ．
【答案】
【解析】由题意，
在中，，
互换得，，
∴
【变式2-4】（2023·湖北孝感·高一统考开学考试）已知函数与函数互为反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以其反函数为，即，
所以，故选：D.
题型三 根据反函数求参数
【例3】（2023·天津·高二耀华中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因为直线与直线关于直线对称，显然，
所以函数与函数互为反函数，
又因为的反函数为，
所以，即，故选：A
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高一校考阶段练习）设常数，若函数的反函数的图象经过点，则 ．
【答案】2
【解析】由题意得的图象过，
所以，解得．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）函数的表达式为，其图像过点，它的反函数的图像过点，求a、b的值．
【答案】
【解析】由题意可知：点和点均在的图像上，
则，解得或（舍去），
故.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
【答案】1
【解析】由得，
即，即的反函数为，
因为函数的图象关于直线对称，
故与为同一函数，故.
【变式3-4】（2023·江西南昌·高一统考期末）“”是“函数与的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，函数与互为反函数，
故函数与的图象关于直线对称，充分性成立；
若函数与的图象关于直线对称，则均可，必要性不成立；
故“”是“函数与的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
题型四 反函数的性质特征
【例4】（2023·高一课时练习）函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【答案】C
【解析】∵当时，，
∴函数，的值域为，
又与互为反函数互为反函数，
故的定义域为.故选：C.
【变式4-1】（2022·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数过点，则，解得，
∴，的反函数为，得，
由，∴的定义域为，
当，有，则的值域为.故选：D
【变式4-2】（2023·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）函数的反函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴函数的值域为．
∵的定义域即函数的值域
∴的定义域为．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则.
①当时，，令，解得；
②当时，，令，解得.
因此，方程的根有个.故选：D.
【变式4-4】（2022·河北·高一承德第一中学校考期末）（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确；
B选项，函数定义域为，值域为R.
函数定义域为R，值域为.故B正确；
C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.
当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误；
D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确.
故选：ABD.
题型五 反函数的图像特征
【例5】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，函数的反函数是，
这是一个在上的单调递增函数，且，
所以只有选项C的图像符合.故选：C.
【变式5-1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】C
【解析】∵的图像与的图像关于直线对称，
若函数的图像经过第二象限，
即的图像上的任意点满足，
则关于直线的对称点在第四象限，
且在的图像上，
∴的图像经过第四象限；
同理可得：若函数的图像经过第三象限，
则的图像经过第三象限；
故的图像经过第三、第四象限.故选：C.
【变式5-2】（2023·广西钦州·高一统考期末）若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则 ．
【答案】
【解析】因为点在函数的图像上，
所以,计算得，
又且，所以，所以，
所以的反函数为，
又因为点在图像上，
所以，得.
【变式5-3】（2023·高一课时练习）设函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点 ．
【答案】
【解析】∵函数的图像过点，则，解得，
即函数的图像过点，
则，即的图像过点，
∴，则函数的图像一定过点.
【变式5-4】（2022·山东·高一枣庄八中校考期中）已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则 .
【答案】8
【解析】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，
再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，
又的反函数过点，
所以函数过点，
所以，解得，所以.
题型六 反函数与零点问题结合
【例6】（2022·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数，，若，则 .
【答案】
【解析】，则，得：；
令，得：；
所以，分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：
因为和互为反函数，
所以和的图像关于对称，
所以、两点关于对称.
又、两点均在的图像上，所以，所以.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则 .
【答案】
【解析】将已知的两个方程变形得，.
令：，，，画出它们的图像，如图，
记函数与的交点为，
与的图像的交点为，
由于与互为反函数，且直线与直线垂直，
所以与两点关于直线对称，
由，解得，，则.
【变式6-2】（2023·高一单元测试）设函数的表达式为．
（1）求其反函数;
（2）求函数的零点．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）由题知,
,
,,,
因此;
（2）由（1）知,
故,
设,则,
令,可得或(舍)，,即,
所以函数的零点为1.
【变式6-3】（2022·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知分别是函数和的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，分别是函数，的零点，
所以，，
那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图，点,,分别为函数，，的图像与函数图像的交点，
所以，因为函数和互为反函数，
所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，
所以点和关于点对称，
，，故AB正确；
由反函数的性质可得，因为单调递增，，
所以，所以，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，
因为，所以，
所以的范围为，那么，
而，所以，故D正确.故选：ABD.4.3 指数函数与对数函数的关系
一、反函数的概念
如果在函数中，给定值域中任意一个的值，只有唯一的与之对应，那么是的函数，这个函数称为的反函数，此时称存在反函数，而且函数的自变量仍用表示，因变量仍用表示，函数的反函数记作.
二、反函数的有关性质
一般地，函数的反函数记作，则
1、的定义域与的值域相同，的值域与的定义域相同；
2、与的图像关于直线对称；
3、单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同.
【注意】由性质2可知，若函数的图像上有一点，则点一定在其反函数的图像上；反之，若点在的反函数图像上，则点必在函数的图像上.
三、指数函数与对数函数的关系
当且时，有，列表如下.
名称 指数函数 对数函数
一般形式
定义域 R
值域 R
定点
单调性 时，为增函数；时，为减函数 时，为增函数；时，为减函数
函数值的变化情况 （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则. （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则.
对数函数与指数函数互为反函数
四、判断函数是否存在反函数的方法
并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域都满足“一 一对应”的函数才有反函数.
1、逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在；
2、确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在；
3、利用原函数的解析式，解出自变量，如果是唯一的，则函数的反函数存在。
五、求反函数的步骤
1、由，解出；
2、交换、，得；
3、根据的值域，写出的定义域。
题型一 反函数存在的条件
【例1】（2023·高一课时练习）下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·高一课时练习）若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知函数，存在反函数，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【变式1-3】（2022·上海·统考三模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【变式1-4】（2023·高一课时练习）已知函数的表达式为．
（1）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；
（2）当为何值时，此函数存在反函数 并求出此函数的反函数．
题型二 反函数解析式的求法
【例2】（2023·全国·高一课堂例题）函数（）的反函数为 ．
【变式2-1】（2023·上海·高一复旦附中校考期末）函数的反函数为 .
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知函数，则其反函数为 ．
【变式2-3】（2023·高一课时练习）函数的表达式为，设是其反函数，则 ．
【变式2-4】（2023·湖北孝感·高一统考开学考试）已知函数与函数互为反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 根据反函数求参数
【例3】（2023·天津·高二耀华中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高一校考阶段练习）设常数，若函数的反函数的图象经过点，则 ．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）函数的表达式为，其图像过点，它的反函数的图像过点，求a、b的值．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
【变式3-4】（2023·江西南昌·高一统考期末）“”是“函数与的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四 反函数的性质特征
【例4】（2023·高一课时练习）函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【变式4-1】（2022·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）函数的反函数的定义域为 ．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则的根有（ ）个
A． B． C． D．
【变式4-4】（2022·河北·高一承德第一中学校考期末）（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
题型五 反函数的图像特征
【例5】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【变式5-2】（2023·广西钦州·高一统考期末）若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则 ．
【变式5-3】（2023·高一课时练习）设函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点 ．
【变式5-4】（2022·山东·高一枣庄八中校考期中）已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则 .
题型六 反函数与零点问题结合
【例6】（2022·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数，，若，则 .
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则 .
【变式6-2】（2023·高一单元测试）设函数的表达式为．
（1）求其反函数;
（2）求函数的零点．
【变式6-3】（2022·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知分别是函数和的零点，则（ ）
A． B． C． D．

展开更多......

收起↑