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专题三十六 二项式定理
知识归纳
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2、二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
3、两个常用的二项展开式：
①（）
②
4、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1、二项式系数的性质
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
2、系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
1、设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
2、若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
方法技巧与总结
1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.
（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
2、解题技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
典例分析
题型一、求二项展开式中的参数
【例1-1】展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【例1-2】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【例1-3】若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例1-4】展开式中的系数为，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【方法技巧与总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二、求二项展开式中的常数项
【例2-1】的展开式中的常数项为（ ）
A． B．60 C．64 D．120
【例2-2】二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2-3】二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
题型三、求二项展开式中的有理项
【例3-1】在二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.
【例3-2】已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．
【例3-3】在的展开式中有___________项为有理数．
题型四、求二项展开式中的特定项系数
【例4-1】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．1 C． D．4
【例4-2】在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20 B． C．15 D．
【例4-3】若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【例4-4】在的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．7
【例4-5】的展开式中的系数是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
题型五、求三项展开式中的指定项
【例5-1】的展开式中，项的系数为___________．
【例5-2】的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）
【例5-3】的展开式合并前的项数为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】的展开式的常数项为
A． B． C． D．
【例5-5】在的展开式中，项的系数为（　　）
A． B． C．30 D．50
【例5-6】的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
【例5-7】在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．1485
【方法技巧与总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六、求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【例6-1】的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【例6-2】的展开式中的系数为（ ）
A．160 B． C．148 D．
【例6-3】已知的展开式中常数项为，则（ ）
A． B．
C． D．
【例6-4】(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N*)的展开式中，记xmyn项的系数为f (m，n),若f (0，1)＋f (1，0)＝8，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例6-5】在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
题型七、求二项式系数最值
【例7-1】在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例7-2】展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C．和 D．和
【例7-3】设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例7-4】的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【例7-5】在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
题型八、求项的系数最值
【例8-1】已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
【例8-2】若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
【例8-3】假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
题型九、求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【例9-1】已知，若，则自然数n等于_____．
【例9-2】已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90 B．10 C．10 D．90
【例9-3】若，则_________.（用数字作答）
【例9-4】若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
【例9-5】设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1
【例9-6】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【例9-7】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例9-8】在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【例9-9】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
题型十、求奇数项或偶数项系数和
【例10-1】在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】已知多项式，则_______，________．
【例10-3】若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为______．
【例10-4】已知，若，则_____________.
【例10-5】在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
【例10-6】若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
题型十一、整数和余数问题
【例11-1】711除以6的余数是___________．
【例11-2】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【例11-3】除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【例11-4】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【例11-5】若，则被8整除的余数为___________.
题型十二、近似计算问题
【例12-1】的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
【例12-2】某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
【例12-3】的计算结果精确到个位的近似值为
A．106 B．107 C．108 D．109
题型十三、证明组合恒等式
【例13-1】（多选题）下列关系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
【例13-2】（多选题）设，下列恒等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例13-3】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．
案例：考查恒等式左右两边的系数．
因为右边，
所以，右边的系数为，
而左边的系数为，
所以＝．
（2）求证：．
题型十四、二项式定理与数列求和
【例14-1】伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
【例14-2】已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)若，求．
题型十五、杨辉三角
【例15-1】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
该数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和______．
【例15-2】“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．
【例15-3】（多选题）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的前n项和为 C． D．
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专题三十六 二项式定理
知识归纳
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2、二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
3、两个常用的二项展开式：
①（）
②
4、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1、二项式系数的性质
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
2、系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
1、设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
2、若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
方法技巧与总结
1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.
（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
2、解题技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
典例分析
题型一、求二项展开式中的参数
【例1-1】展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【解析】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴∴.
【例1-2】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由，令，解得，
所以项的系数为，解得．
【例1-3】若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由二项式定理知：含项为 ，
由题意 ， ，解得 .
【例1-4】展开式中的系数为，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】的展开式通项公式为，故，记得.
【方法技巧与总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二、求二项展开式中的常数项
【例2-1】的展开式中的常数项为（ ）
A． B．60 C．64 D．120
【答案】B
【解析】展开式的通项为，令解得，所以常数项.
【例2-2】二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】二项式的展开式为，
令，，则，
因为，所以当时，取得最小值3.
【例2-3】二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项为，
令可得，所以常数项为.
题型三、求二项展开式中的有理项
【例3-1】在二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.
【答案】6
【解析】二项展开式的通项公式为，
第项的系数为，当即时，系数为有理数，
这样的项的个数为6.
【例3-2】已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．
【答案】取6，8，9，10，11中任意一个值均可．
【解析】的展开式的通项为，，．
若系数为有理数，则，且．当时，；
时； 时； 时，6； 时无解； 时，8；
时，6； 时，10； 时，8， 时，6，12．
所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值．
故答案为：取6，8，9，10，11中任意一个值均可．
【例3-3】在的展开式中有__项为有理数．
【答案】9．
【解析】通项公式：．
当与都为整数且为整数时，为有理数，则．
∴展开式中有9项为有理数．
题型四、求二项展开式中的特定项系数
【例4-1】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】的展开式的通项公式为，
令，则，故的系数为.
【例4-2】在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20 B． C．15 D．
【答案】A
【解析】第4项的二项式系数为.
【例4-3】若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，
可得，解得.
【例4-4】在的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】D
【解析】二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，故展开式中的系数为.
【例4-5】的展开式中的系数是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
【答案】C
【解析】的展开式中，含项的系数为．
题型五、求三项展开式中的指定项
【例5-1】的展开式中，项的系数为___________．
【答案】210
【解析】因为
所以含有项的为.
所以的展开式中，含项的系数为210.
【例5-2】的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）
【答案】481
【解析】的通项公式为，，
对于，它的通项公式为，，
令，可得，或，或．
故的展开式中的常数项为．
【例5-3】的展开式合并前的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从个因式中，每一次都要选一个、、、相乘，
∴展开式中共有项.
【例5-4】的展开式的常数项为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴的展开式中的常数项为.
【例5-5】在的展开式中，项的系数为（　　）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为．
【例5-6】的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
【答案】A
【解析】，展开式的第项为，
令，可得第3项为，的展开式的第项为，令，
可得第3项为，所以的展开式中，的系数是．
【例5-7】在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．1485
【答案】A
【解析】，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
【方法技巧与总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六、求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【例6-1】的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，
令，得，则的展开式中的常数项为，
令，得，则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
【例6-2】的展开式中的系数为（ ）
A．160 B． C．148 D．
【答案】C
【解析】的展开式中的系数为．
【例6-3】已知的展开式中常数项为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】展开式中第项
当时，，时，，
所以的展开式中常数项为，所以，得.
【例6-4】(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N*)的展开式中，记xmyn项的系数为f (m，n),若f (0，1)＋f (1，0)＝8，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】展开式中含的项为，含的项为，
，∴.
【例6-5】在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为的展开式为，
的展开式为和的和，
；，
所以在中令，即可得到的项的系数，是.
题型七、求二项式系数最值
【例7-1】在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
【例7-2】展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为，
因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为和，
即为和.
【例7-3】设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.
【例7-4】的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
【例7-5】在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ， ，
∴ 的系数为.
题型八、求项的系数最值
【例8-1】已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
【答案】
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
【例8-2】若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
【答案】5376
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，
设展开式中项的系数最大，则解得，
又∵，∴，故展开式中系数最大的项为.
【例8-3】假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
【答案】
【解析】由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.
题型九、求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【例9-1】已知，若，则自然数n等于_____．
【答案】4
【解析】令，则，所以．
【例9-2】已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90 B．10 C．10 D．90
【答案】A
【解析】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，
所以，得，所以，
则其展开式的通项公式为，
令，得，所以该展开式中的常数项为.
【例9-3】若，则_________.（用数字作答）
【答案】127
【解析】因为，
所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，
所以，
对于，
令，得，
令，得，
两式相减，得，
即.
【例9-4】若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
【答案】
【解析】取，则的展开式中各项系数的和为：.
故，则，
的展开式：；的展开式：
取得到：，取得到系数为；
取得到：，取得到系数为；
综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。
【例9-5】设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】∵，对其两边求导数，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得．
【例9-6】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，当时，，
于是得
.
【例9-7】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】当时，，故A对；
，B对；
令，则，∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，∴，故D对．
【例9-8】在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【解析】（1）若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即，得，
若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以，
若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以，解得.
因为，
令，则有，即有，
令，得，所以；
综上所述：；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，
，
两边求导得，
令，则有，
所以.
【例9-9】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相当于求展开式的系数和，
令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.
展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，
所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.
（6）两边分别求导得：
，
令，得.
题型十、求奇数项或偶数项系数和
【例10-1】在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的展开式通项为，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为.
【例10-2】已知多项式，则_______，________．
【答案】
【解析】因为，
令可得①；
令可得②，
两式相减，整理可得．
对两边求导可得，，
令，可得．
【例10-3】若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为______．
【答案】
【解析】设.
令，得①；
令，得②.
②＋①得．
又因为，所以，解得．
【例10-4】已知，若，则_____________.
【答案】8
【解析】，所以，所以，
所以，
即，解得：
【例10-5】在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
【答案】
【解析】设
令得：①，
令得：②，
两式相减得：，
因为，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，
所以，解得：.
【例10-6】若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
【答案】A
【解析】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，或．
题型十一、整数和余数问题
【例11-1】711除以6的余数是___________．
【答案】1
【解析】∵
根据二项展开式不妨设：
显然可被6整除且
711除以6的余数是．
【例11-2】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】,
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，其他选项均不符合题意.
【例11-3】除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【解析】因为
所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，所以原式除以的余数为1.
【例11-4】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
【例11-5】若，则被8整除的余数为___________.
【答案】5
【解析】在已知等式中，取得，
取得，
两式相减得，
即，
因为
因为能被8整除，
所以被8整除的余数为5，
即被8整除的余数为5.
题型十二、近似计算问题
【例12-1】的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
【答案】1.34
【解析】
【例12-2】某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
【答案】
【解析】根据二项式定理可得：.
【例12-3】的计算结果精确到个位的近似值为
A．106 B．107 C．108 D．109
【答案】B
【解析】∵，∴.
题型十三、证明组合恒等式
【例13-1】（多选题）下列关系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
【答案】ABD
【解析】＋2＋22＋23＋…＋2n，A正确；
设，
当时，①，
当时，②
由①+②得
由①-②得
2＋＋2＋＋…＋＋2，B正确；
，
·12＋·22＋·32＋…＋n2，
令，
两边同乘得，
两边同时求导得，
令得
则·12＋·22＋·32＋…＋n2＝，C错误；
令，
则
，
比较等式两边的系数可知，
又，，D正确.
【例13-2】（多选题）设，下列恒等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由二项式定理可得，令可得
，所以，A不正确；
对二项式定理式子两边求导可得，
令可得，故B正确；
由B知，两边同乘可得
，两边求导可得
，
令可得，C正确；
由C可得，两边同乘可得,
，两边求导可得，
，令可得
，D不正确.
【例13-3】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．
案例：考查恒等式左右两边的系数．
因为右边，
所以，右边的系数为，
而左边的系数为，
所以＝．
（2）求证：．
【解析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，
因为右边（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），
所以，右边x3的系数为＝
而左边x3的系数为：，所以．
（2）∵，
．
考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．
因为右边xn的系数为＝，而左边的xn的系数为．
所以，同理可求得
考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，
因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），
所以，右边的xn﹣1的系数为＝，
而左边的xn﹣1的系数为，所以＝，
﹣＝+2n+﹣
＝2n+＝n（+）+＝n（+）+
＝n+＝（n+1）．
题型十四、二项式定理与数列求和
【例14-1】伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，两边同时除以x，
得，又
展开式中的系数为，所以，
所以．
【例14-2】已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)若，求．
【解析】（1）展开式通项公式为：，
，又，；
当时，；
当时，；
综上所述：
（2）①当时，；
，，
令得：，即；
②当时，；
综上所述：.
题型十五、杨辉三角
【例15-1】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
该数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和______．
【答案】 52
【解析】由数表规律可知，第4行的第1个数为，第行是公差为的等差数列，
所以第4行的公差，则第4行的第5个数为52；
记各行的第一个数组成的数列为，则，，
两边同除以，得，
故是首项为，公差为的等差数列，
则，则，
则，，
两式相减得
，
所以．
【例15-2】“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．
【答案】 494
【解析】由二项式系数的性质得：第n行的数字之和为，
去除所有1的项后所得三角数阵的第n行有n个数字，其和为，而，
所以数列的前28项和.
【例15-3】（多选题）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的前n项和为 C． D．
【答案】ABD
【解析】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，
为等比数列，，所以，故A正确；
，
所以的前n项和为
，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行的第2项，，故C错误；
，这11行中共去掉了22个1，
所以，故D正确.
故选：ABD.
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