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二倍角的正弦、余弦、正切公式
高中数学
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
知识回顾
高中数学
探究历程
知识回顾
高中数学
我们需要求的sin2a和已知的sin(a±β) 公式形式上
有什么联系吗
我们发现它们都是角的正弦，只是角的形式不同，
但不同角的形式从运算或换元的角度都有内在联
系，因此基于差异可以建立联系，进行转化.
高中数学
【问题1.1】
你能类比上一节课的探究过程，利用
Su+n公式推导出sin2a的公式吗
角关系： 2α=a+α,
sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosa sina =2sina cosa.
【问题1.2】
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sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sina cosa
刚刚我们的推导过程是借助S 来完成
的，如果用S-) 来完成推导方法也基本 相同，把公式中的β替换为-α即可.
二倍角的正弦公式： sin 2a =2sina cosa
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你能仿照刚刚的推导过程，利用Cu,T
得到cos2a,tan2a的公式吗
【问题1.3】
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和刚才一样，我们将cos(a+β),tan(a+β)公式中的
β换为α后，得到：
cos2α=cos(a+a)=cosa cosa-sinasina=cos a-sin a,
【问题1.3】
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如果要求二倍角的余弦公式中仅含α的正弦或
者余弦，那么cos2a还有其他的表示形式吗
cos2α=cos α-sin α=(1-sin a)-sin α=1-2sin a,
cos2a=cos α-sin α=cos a-(1-cos a)=2cos a-1.
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【问题1.4】
所以二倍角的余弦公式有三种表达形式：
cos2a=cos α-sin a
cos2a=1-2sin a
cos 2a=2cos α-1
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上面说的“倍角”专指“二倍角” ,
遇到“三倍角”等名词时，不能省略.
特别注明
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由二倍角的余弦公式我们看到，已知
sina或者cosa可以求出cos2a的值，那么
已知cos2α时，是否能够反向求出sina和
cosa 呢
【问题1.5】
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我们可以通过方程的的角度看二倍角的余弦
公式，有下面的等价形式：
sina 与 cosa的符号由角α的范围确定.
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这两个公式的变形从左向右看，角之间是倍角关系，
从结构上是和、差转化到乘积，从次数上是从一次 变成了二次.
这样无论从右向左，还是从左向右，它能实现角的
改变，和式子结构、次数的改变.
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公式的正向使用与反向使用需要依据求解内容和所给条件灵活判断.
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从和(差)角、倍角公式的推导过程可以发现，
这些公式存在紧密的逻辑联系，你能归纳总结
一下它们之间的联系吗
【问题2.1】
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=cos a-sin a
C a=1 -2sin a =2cos α-1
a-β
S C
a-β)
β替换为-β β替换为α
转化、换元思想 一般→特殊
S a
T
诱导 公式
S(a+β)
同角关系
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Ta+p)
(a+β)
角 关
(
分析：我们观察到4α是2a 的二倍角，因此可以考虑
用倍角公式求解.
sin 4a =2sin2acos2a, cos4a=1-2sin 2a,
例1 已知sin , ,求sn4a,cos4a,
tan4a的 值 .
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tan4a的 值.
解：由 ,得 ,
例1 已知sin , ,求sn4a,cos4a,
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/
例1 已知sin , ,求sn4a,cos4a,
tan4a的 值 .
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通过这道例题，你对倍角公式中的“倍”有
更深入的理解吗
我们从这道例题中发现，“倍”是描述两个数量
之间关系的，2α是α的二倍，4α是2a的二倍，
2是4的二倍，这里蕴含着换元思想
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【问题3.1】
_
tan B tan 2B
tan(2A+2B)
cos A → tan A - tan 2A
在△ ABC 中 ， ,tan
tan(2A+2B)的值.
B=2, 求
例2
分析：
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在△ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值
解：在△ ABC中，由 ,O,tan B=2, 求
例2
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所以
/
例2 在 △ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值.
又tan B=2, 所以!
1
,tan B=2 , 求
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tan B tan 2B
tan(2A+2B)
cos A → tan A - tan 2A
在△ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值.
,tan B=2, 求
例2
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【问题3.2】
这道题目还有其他能够解决问题的方法吗
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tan B
tan(A+B) →tan(2A+2B)
COS A— →tan A
在 △ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值.
tan B=2, 求
例2
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分析：
所以 ,又tanB=2,
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解法2: 在A ABC中，由： ,0在△ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值
tanB=2 , 求
例2
在△ ABC 中 ，
tan(2A+2B)的值.
tanB=2 , 求
例2
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我们看到，解法2相比解法1少了一个
运算步骤，但它们都是对倍角、和角关系
的联合运用，只是对角2A+2B, 与 角A,B之
间关系的看法不同，本质上没有区别.
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同时做完这道题后我们也发现，题干中
的“在△ ABC中”隐含了0这类在三角形中隐含的条件值得同学们
进行总结.
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在解决问题的过程中我们发现：
倍角公式的“倍”代表了一种数量关系，
并不只是2α与α,只要符合这种角关系
的问题都可以考虑应用倍角公式；
小结
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在解决问题的过程中我们发现：
在三角函数名与角之间，我们应当先关注所
求角与已知角之间的关系，并以此来设计解
决问题的方法，三角函数名可以通过同角关
系进行转化；
小结
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在解决问题的过程中我们发现：
在解决问题过程中两角和与差的公式与二倍
角公式不是割裂开的，应当依据所需进行选
取，灵活应用解决问题；
小结
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