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4.2指数函数 练习
一、单选题
1．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（ ）
A． B． C．或2 D．或
2．设，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，若中有三个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．在上为减函数
C．的值域为
D．在上为增函数
5．是R上的增函数，则的范围是
A． B． C． D．
6．若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，3） D．（2，3）
7．函数的部分图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数x，y，z满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列函数中满足“对任意都有”的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设，，，则，，从小到大排序是 ．（用“”连接）
14．对函数，若对任意为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是 ．
15．函数的定义域是 .
16．函数的定义域为 .
四、解答题
17．已知函数的图象经过点.
（1）求，并比较与的大小；
（2）求函数的值域.
18．已知是定义在R上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求a的取值范围.
19．已知函数．
（1）计算；；的值；
（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般结论，并证明这个结论；
（3）求的值．
20．已知二次函数满足，若是的两个零点，且．
（1）求的解析式；
（2）若，求函数的值域：
（2）若不等式在上恒成立，求对数k的取值范围．
21．已知函数，若，比较与的大小.
22．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数b的值；
(2)已知当时，，求实数k的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值.
【详解】解：当时，在单调递减，
即，
解得：或(舍)；
当时，在单调递增，
即，
解得：或(舍)；
综上所述：或.
故选：D.
2．A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为在为增函数，所以，即；
所以.
故选：A.
3．B
【分析】求出集合，分析可得，即可求得实数的取值范围.
【详解】由，可得，即，
因为，只有三个元素，则，
所以，.
故选：B.
4．C
【分析】由函数定义域求函数值域即可得A，C选项，根据复合函数增减性质可以判断BD.
【详解】，，
由函数在上单调递增，所以，又，所以的值域为，
故C正确，A错误，
令，由在单调递增，函数在上单调递增，
所以在单调递增，由在单调递减，函数在上单调递增，
所以在单调递减，故B，D错误，
故选：C.
5．B
【详解】试题分析：∵是R上的增函数，∴，而中，当时，
故．
考点：函数单调性的应用．
6．B
【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】要使函数在R上单调递增，
只需，
解得：.
故选：B
7．C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再根据趋近于时的值判断即可
【详解】因为，故为奇函数，排除AB，又当趋近于时，远远大于，所有函数逐渐趋近于0，排除D
故选：C
8．C
【分析】直接利用指数函数的单调性求解.
【详解】因为，，，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查指数式比较大小，属于基础题.
9．AB
【分析】根据指数函数和对数函数性质判断即可．
【详解】A．因为，所以，又因为，故，由此可得，故A正确；
B．因为，所以，又因为，可得，故B正确；
C．根据对数函数性质可知，当底数大于1时，函数单调递增，当底数大于0小于1，函数单调递减，若，则，故C错误；
D．根据对数函数性质可知，当，时，故D错误．
故选：AB．
10．ABCD
【分析】在同一坐标系中画出（）的图象，并画出直线的图象，根据图象可判断的大小
【详解】在同一坐标系中画出（）的图象，如图所示
的关系有四种情况 ：，
所以AB正确，
的关系有四种情况：，
所以CD正确，
故选：ABCD
11．BCD
【分析】由题意知，函数在定义域内单调递增，选项逐一判断即可.
【详解】因为对任意都有，函数在上单调递增，A选项为减函数，故错误,，
B选项，在上单调递增..
C选项，在上单调递增.
D选项，在上单调递增.
选项BCD在任意都是增函数.故正确.
故选：BCD
12．AB
【分析】化简得，分、，分别讨论和的单调性及取值范围，即可得答案.
【详解】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.
故选：AB.
13．
【分析】根据指数函数的单调性和指数幂的运算性质依次判断a、b、c的取值范围即可求解.
【详解】由题意知，
，即，
，即，
，即，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】试题分析：由已知条件可得对都恒成立，由于，（1）当时，，此时，可以构成一个等边三角形的三边长，满足条件；（2）当时，函数在函数上为减函数，得，同理有；由可得，即；（3）当时，函数在函数上为增函数，得，同理；由可得，即；综上所述实数的取值范围是．
考点：1、求参数的取值范围；2、构成三角形的条件；3、函数的单调性和值域．
【思路点晴】本题运用了高中段的四大数学思想之分类讨论的思想，属于难题；因为对任意实数为某一三角形的三边长，则恒成立，将函数解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论转化为的最小值和的最大值的不等式，进而求出的取值范围．
15．
【分析】根据二次根式的性质以及指数函数的单调性可解出原函数的定义域.
【详解】对于函数，由可得，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
16．
【分析】直接列不等式，求出定义域.
【详解】要使函数有意义，
只需解得：且.
所以函数的定义域为.
故答案为：
17．（1），；（2）.
【解析】
(1) 待定系数法求得参数，再利用指数函数的单调性即可比较大小；
（2）利用不等式法，结合指数型复合函数单调性，即可求得值域.
【详解】（1）由已知得，解得，
因为在上递减，则，
所以
（2）令，
在R上单调递减.
原函数的值域为.
【点睛】待定系数法求指数函数解析式，利用函数其单调性比较大小和求值域，注意复合函数求值域一般采取“由内到外”进行求解.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性，代入特殊值求解即可
（2）构造函数，利用函数的性质，判断出的单调性，使得成立等价于成立，进而求解
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，即，
解得，
则.
（2）令，
由（1）可知
.
易证函数与均是上的减函数，
则是上的减函数，且.
令，
对于任意，存在，
使得成立等价于成立，
即.
若，则在上单调递减，
，
故，解得；
若，则在上单调递增，，
故，解得.
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】解题关键在于，构造函数，进而利用不等式的恒成立关系得到得成立等价于成立，进而利用指数函数的单调性，可求出的范围，主要考查学生的数形结合的运用，属于中档题
19．（1）1；1；1；（2）对任意实数都有，证明见解析；（3）1010.
【分析】（1）直接根据解析式计算即可；（2）观察（1）中式子得出一般规律，再代入计算即可验证；（3）通过观察结论式，对所求式首尾配凑即可.
【详解】（1）；
；
．
（2）对任意实数都有．
证明：由得：．
（3）由（2）知，，倒序相加得：
．
20．(1) (2) (3)
【解析】(1)利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解f (z)的解析式；
(2)化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的值域；
(3)分离参数k后，转化为求函数的最值，利用指数函数性质及二次函数性质即可求解.
【详解】（1），是的两个零点，且，
的对称轴为，
可得，
设，
由得，
（2），
当时，，当且仅当 ，即时等号成立，
当时，，当且仅当 时等号成立,
所以的值域为.
（3）不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
可化为在上恒成立，
令， ，
当时，，
所以，
【点睛】关键点点：待定系数法求二次函数的解析式，首先根据关系式确定对称轴，再根据零点的距离求出零点，根据条件选择交点式设出方程，代入点即可求出.
21．.
【分析】利用作差法，结合指数函数的单调性，比较与的大小即可．
【详解】解：
因为，所以
故，
又因为，
故
所以.
22．(1)；
(2).
【分析】（1）根据定义域为的奇函数的性质，即可求解；
（2）由化简得到（），利用基本不等式即可得到的取值范围.
【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，
则，解得，
经检验当时，函数为奇函数，满足题意，
故实数b的值为.
（2）由（1）可知，函数，
当时，，
即，
因为，所以，则
当且仅当，即时等号成立，即；
所以实数k的取值范围为.

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