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专题三十七 随机事件、频率与概率
知识归纳
一、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
三、随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
四、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
五、互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
（3）互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
六、概率与频率
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
方法技巧与总结
题型一、随机事件与样本空间
【例1-1】已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取，则是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
【例1-2】以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【解析】A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
【例1-3】袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】从袋中任取个球，共有如下情况.
其中一个不等可能的样本空间为，
此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.
故答案为：.(答案不唯一)
题型二、随机事件的关系与运算
【例2-1】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A:事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故选项A不正确；
对于B:事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或” 一定发生，所以 ，故选项B不正确；
对于C:事件和事件不能同时发生，，故选项C不正确；
对于D:事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生，则事件“向上的点数为或”发生，故选项D正确.
【例2-2】一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
【例2-3】（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A D ，A∪C＝D.故A、C正确；
因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；
对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.
【例2-4】利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示，．
【解析】由题可得：
转盘①转出的颜色
红 黄 蓝
转盘②转出的颜色 蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝）
黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄）
红 （红，红） （黄，红） （蓝，红）
绿 （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿）
紫 （红，紫） （黄，紫） （蓝，紫）
由表可知，共有15种等可能的结果，
其中{(黄,蓝), (黄, 黄), (黄, 红), (黄, 绿), (黄, 紫)}，
{(红,绿), (黄,绿), (蓝,绿)}，
所以{(黄,绿)}，
{(黄,蓝), (黄, 黄), (黄, 红), (黄, 绿), (黄, 紫), (红,绿), (蓝,绿)}．
【例2-5】端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，且、相互独立，
所以.
【例2-6】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，
另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以，，
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，
所以，
又包含该试验的所有样本点，为必然事件，
而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以.
【例2-7】某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，
则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件，
所以，，，
所以，，
又因为，
所以，.
题型三、频率与概率
【例3-1】（多选题）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【答案】ABC
【解析】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；
对于B，青年患者所占的频率为，正确；
对于C，平均治愈率为，正确；
对于D，由C知错误.
【例3-2】将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第3组的频率和累积频率分别为（ ）
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【答案】A
【解析】由表可知，第3组的频率为，累积频率为。
【例3-3】甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【答案】D
【解析】由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为.
【例3-4】在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）个．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】由题意，摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%，
即可摸到白色球的概率为，
所以可得白色球的个数为.
【例3-5】掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D．以上说法均不正确
【答案】B
【解析】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；
对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确；
对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确；
对于D，显然不正确.
【例3-6】有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.
【答案】①③
【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为;
昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.
说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.
故答案为①③．
题型四、生活中的概率
【例4-1】（多选题）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲 乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（ ）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【解析】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，
所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.
【例4-2】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.
【答案】CD
【解析】、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；
、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
、根据古典概型的概率公式可知C正确；
、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．
【例4-3】（多选题）某人投了100次篮，设投完前n次的命中率为．其中，….100．已知，则一定存在使得（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根据题意得：，其中k为不超过85的自然数，且；
对A，记前k次投篮中，投中的次数减去不中的次数为，则，
又，一定存在m，使得，此时，故A正确；
对B，前100次投篮中，若前次投篮均不中，后面次投篮均命中，
则对于，方程无整数解，故B错误；
对C，若前次不中，后面次投篮均命中，最后一次不中，
则对于，方程无整数解，故C错误；
对D，如果不存在m，使得，则前5次投篮中至少有2次不中，
前10次投篮中至少有3次不中，前15次投篮中至少有4次不中，
依此类推，前70次投篮中至少有15次不中，
即前75次投篮中恰有15次不中，
从而，矛盾，故D正确．
【例4-4】某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
【答案】C
【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
题型五、互斥事件与对立事件
【例5-1】命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件；
若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立，
故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件；
故选：A
【例5-2】“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则（ ）
A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件
【答案】D
【解析】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；
事件B为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”， 或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；
事件C为“至多研究一个黑厘子”， 包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；
事件D为“两个黑厘子都研究”. 即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；
所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；
对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；
对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件.
【例5-3】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（ ）
A．B与C互斥 B．B与C互为对立
C．A与D互为对立 D．A与D互斥
【答案】A
【解析】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，
对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误.
【例5-4】（多选题）从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ）
A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
【答案】AD
【解析】从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况：
（1）三个均为奇数；（2）两个奇数一个偶数；（3）一个奇数两个偶数；（4）三个均为偶数，所以选项A、D是互斥但不是对立事件，选项C是对立事件，选项B不是互斥事件.
题型六、利用互斥事件与对立事件计算概率
【例6-1】命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件；
若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立，
故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件.
【例6-2】采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（ ）
A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54
【答案】A
【解析】抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率为，
抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品，则拒绝购买，
故概率为，
所以采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.
【例6-3】甲 乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意两人中恰有一人晋级，则甲晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级，
所以概率.
【例6-4】某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击3次，至少命中两次的概率.
【例6-5】重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为，，，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以
有两家准点送到的概率为,
有三家准点送到的概率为，
则至少有两家准点送到的概率为.
【例6-6】甲 乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72 B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15 D．至少有一人做对的概率是0.98
【答案】C
【解析】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，
故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；
恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；
两人都做错的概率是，故C错误；
至少有一人做对的概率是，故D正确.
【例6-7】从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】区间的整数共有7个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有3个；
设事件：从属于区间的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，
由，
故选：
【例6-8】小吴、小张两名同学均打算暑期选择学校的舞蹈、画画、篮球三个兴趣班中的一个兴趣班学习，小吴、小张选择舞蹈、画画、篮球三个兴趣班学习的概率分别如下表，则小吴、小张选择不同兴趣班学习的概率为（ ）
舞蹈 画画 篮球
小吴 0.3 0.4
小张 0.5 0.3
A．0.68 B．0.66 C．0.64 D．0.62
【答案】A
【解析】由题可得，小吴、小张选择舞蹈、画画、篮球三个兴趣班学习的概率分别如下表：
舞蹈 画画 篮球
小吴 0.3 0.3 0.4
小张 0.5 0.3 0.2
故小吴、小张选择相同兴趣班学习的概率为，
故小吴、小张选择不同兴趣班学习的概率为．
故选：A．
【例6-9】一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关所在的分支不通的概率为，
开关所在的分支不通的概率为，
开关，，所在的分支不通的概率为，
所以灯亮的概率是.
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专题三十七 随机事件、频率与概率
知识归纳
一、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
三、随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
四、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
五、互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
（3）互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
六、概率与频率
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
方法技巧与总结
题型一、随机事件与样本空间
【例1-1】已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例1-2】以下事件是随机事件的是( )
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【例1-3】袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间： .
题型二、随机事件的关系与运算
【例2-1】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有( )
A． B． C． D．
【例2-2】一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【例2-3】（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【例2-4】利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示，．
【例2-5】端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则( )
A． B． C． D．
【例2-6】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是( )
A． B．
C． D．
【例2-7】某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为( )
A． B． C． D．
题型三、频率与概率
【例3-1】（多选题）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则( )
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【例3-2】将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第3组的频率和累积频率分别为( )
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【例3-3】甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为( )
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【例3-4】在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是( )个．
A．15 B．16 C．17 D．18
【例3-5】掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是( )
A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D．以上说法均不正确
【例3-6】有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是_______________.
题型四、生活中的概率
【例4-1】（多选题）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲 乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是( )
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【例4-2】（多选题）下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.
【例4-3】（多选题）某人投了100次篮，设投完前n次的命中率为．其中，….100．已知，则一定存在使得( )
A． B． C． D．
【例4-4】某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为( )
A．7% B．8% C．9% D．30%
题型五、互斥事件与对立事件
【例5-1】命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例5-2】“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则( )
A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件
【例5-3】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是( )
A．B与C互斥 B．B与C互为对立
C．A与D互为对立 D．A与D互斥
【例5-4】（多选题）从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有( )
A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
题型六、利用互斥事件与对立事件计算概率
【例6-1】命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例6-2】采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为( )
A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54
【例6-3】甲 乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为( )
A． B． C． D．
【例6-4】某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为( )
A． B． C． D．
【例6-5】重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为，，，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】甲 乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是( )
A．两人都做对的概率是0.72 B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15 D．至少有一人做对的概率是0.98
【例6-7】从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为( )
A． B． C． D．
【例6-8】小吴、小张两名同学均打算暑期选择学校的舞蹈、画画、篮球三个兴趣班中的一个兴趣班学习，小吴、小张选择舞蹈、画画、篮球三个兴趣班学习的概率分别如下表，则小吴、小张选择不同兴趣班学习的概率为( )
舞蹈 画画 篮球
小吴 0.3 0.4
小张 0.5 0.3
A．0.68 B．0.66 C．0.64 D．0.62
【例6-9】一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A． B． C． D．
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