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聚焦中考《一元二次方程》
一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合06年的中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：
一、基础篇
概念
例1、（盐城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1代入该方程解得m=1，故选A。
点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。注意二次项的系数不为0。
一元二次方程的解法
配方法
例2、（淮安市）方程x2+4x=2的正根为（ ）
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解这个方程得：x+2=±,x1=-2+,x2=-2-，由此可得这个方程的正根是-2+，故选D。
2、公式法：
例3、（福州市）解方程：x2+8x+1=0
析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里a=1，b=8，c=1，则b2-4ac=82-4×1×1=60,所以x===-4±,则x1=-4+,x2=-4-.
3、因式分解法
例4、（天门市）方程x（x+3）=（x+3）的根为（ ）
A、x1=1,x2=3 B、x1=1,x2=－3 C、x=1 D、x=－3
析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得：x（x+3）－（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=－3。
点评：解一元二次方程关键是方法的选择。当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.
三、“b2-4ac”的应用
例3、（北京市）若关于x得一元二次方程x2－3x＋m=0有实数根，则m的取值范围是 。
析解：由一元二次方程根的判别式可知该方程有实数根时应有b2-4ac=9－4m≥0,由此求得m的取值范围是m≤。
点评：此类题求解应明确一元二次方程根的判别式的根种情况是关键。再由方程根的情况解不等式或方程即可。
综合篇
学科内综合题
例4、（嘉兴市）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
（A）9 （B）11 （C）13 （D）11或13
析解：本题为一道关于三角形的三边关系和一元二次方程的解法的综合题，首先利用因式分解法求出这个方程的解x1=2，x2=4，再将其给出的三角形的两边组合，看其是否符合三角形的三边关系，如符合，则保留，反之，则舍去，据此可知4是这个三角形的第三边，则这个三角形的周长是13，故选C。
点评：此类题注意在求出方程的解后一定要利用三角形的三边关系去检验，再确定三角形的周长。
创新篇
五、新运算规则题
例5、（兰州市）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=a2—b2，根据这个规则，方程（x+2）※5=0的解为 。
析解：本题为一道一元二次方程创新题，弄清题目规则是求解的关键，由规则（x+2）※5=0变为（x+2）2－52=0,将其因式分解得（x+2+5）（x+2-5）=0.解得x1=-7,x2=3.即这个方程的解为x1=-7,x2=3。
六、开放性试题
例6、（北京市海淀区）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2－1=0 …… ①
x2+x－2=0…… ②
x2+2x－3=0 …… ③
……
x2+(n－1)x－n=0……
（1）请解上述一元二次方程①,②,③,……,；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么不同特点，写出一条即可。
析解：（1）上面几个方程利用因式分解法可得其解分别为：
①；②；
③；。
（2）本题答案不唯一，观察这些解不难得出其共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。
点评：此类题应对求出的解从多方面去观察、分析和归纳，进而总结出其特点。
七、探究性试题
例7、（广东省）将一条长为20㎝的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17㎝2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12㎝2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
析解：（1）不妨设剪成两段后其中一段长为xcm，则另一段长（20-x）cm，则由题意得：（）2+（）2=17,解得x1=16,x2=4.（2）因（）2+（）2=12，整理得：x2-20x+104=0,b2-4ac=-16<0，则此方程无解，即不能剪成两段使得面积为之和为12cm2.
点评：此类题一般先假设所探究的问题成立，再根据由此得出的方程是否有解去作说明。
一元二次方程的解法总析
湖北 谢勇 陈德宏
一元二次方程的基本解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法。直接开平方法和分解因式法，虽然简便，但并非所有的方程都可采用。配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦。而公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解，比配方法简单很多，但又不如直接开平方法和分解因式法快捷。那么，在解一元二次方程时，为了提高解题的速度和准确率，根据题目特点，如何选择适当的方法就值得我们来归纳总结一番。下面就此结合具体实例进行阐述。
一、直接开平方法
例1：方程的解是（ ）
A． B． C． D．
解：两边开平方，得
∴
故选C。
小结：直接开平方法适合于解形如（≥0）形式的一元二次方程。
二、配方法
例2：解方程
解：在方程两边都加上（一次项系数的一半的平方），得
即
开平方，得
∴或
∴
小结：用配方法解一元二次方程的关键是通过配成完全平方式的方法，将方程转化为的形式，这中间，转化过程没有一定的程序。配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程。
三、公式法
例3：解方程
解：移项，得
∵
∴
即
小结：公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。实际解题过程中，通常是在上述四种方法中的其它三种不很好解时，再选用公式法。
四、分解因式法
例4：解方程
解：变形，得
移项，得
∴
∴或
∴
小结：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来解。分解因式法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想。
综上所述，这四种方法各有其优点，我们在解一元二次方程时，选用它们的一般原则是：对于非（≥0）型的一元二次方程，首先看分解因式法是否可行，接着思考配方法，最后思量公式法。下面出示五个一元二次方程，请同学们选用适当的方法予以求解。
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸。
剖析一元二次方程的概念
湖北 刘黎明
一、一元二次方程的概念及剖析
1.定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.剖析 从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:
(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.
(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.
(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.
只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定满足以上三个条件.
3.注意 (1)判断一个方程是否是一元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数最高次数是1,那它就不是一元二次方程.
(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数.
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.
4.典例 例1 下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x+1) B.=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-1
解:因B中的分母含有未知数,所以它不是一元二次方程.C中字母a没有强调不为0,若a=0,则C中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三个条件.故选A.
例2 方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
解:由于一元二次方程中未知数的最高次数是2,所以|m|=2,即m=±2.但当m=-2时,原方程变为-6x+1=0,它是一元一次方程,不合题意,舍去.当m=2时,原方程变为4x2+6x+1=0,它是一元二次方程,故选B.
二、与一元二次方程的相关概念及剖析
1.概念 把方程化成形式ax2+bx+c=0(a≠0),这种形式叫一元二次方程的一般形式.
2.剖析 (1)一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a通常写成大于0的形式,而右边是0.
(2)当一元二次方程化成一般形式后,左边的三个单项式ax2,bx,c分别叫做二次项,一次项和常数项;且常数a,b分别叫二次项系数和一次项系数.
(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.
3.典例 例3 把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
解:原方程化为一般形式是:5x2+8x-2=0(若写成-5x2-8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).
解读一元二次方程中的
材 料 阅 读 题
四川 侯国兴
材料阅读题是近年来中考的热点题型，旨在考查学生的自学能力、探究能力以及类比创新能力等。本文将涉及一元二次方程知识的材料阅读题采撷数例，供学习鉴赏。
一.规律探究型
例1（北京海淀） 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：

（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
【解读】：只要准确地解答出所给的四个已知方程，就不难求解第（2）小题。而在解（四个）已知方程时，同学们可利用公式法求解，但若能将左边分解因式解之，则不失为一种快捷方法。
【解答】：（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
，所以
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。
二.解题方法型
例2（晋江）.阅读下面的例题：
解方程：
解：（1）当时，原方程化为：，
解得 （不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为：
解得： （不合题意，舍去），
所以， 原方程的根是：。
请参照例题解方程：，则此方程的根是_______.
【解读】：根据范例提供的信息可知，求解这类一次项带有绝对值符号的一元二次方程的策略是：先利用分类思想（分绝对值符号内的式子大于等于零与小于零两种情形讨论）去掉绝对值符号，再解之。
【解答】：（1）当 即时，原方程可化为：
解得（这都与矛盾，因此应舍去）
（2）当，即时，原方程可化为：
解得：
因此，原方程的根是
三.结论猜想型
例3 (广东茂名).先阅读,再填空解题:
方程的根是, 则.
方程的根是, 则
方程的根是____,_____,则____,=_____.
根据以上(1) (2) (3)你能否猜出:
如果关于的一元二次方程,且、、为常数）的两个
实数根是、，那么与与系数有什么关系？请写出你的猜想并说明理由。
【解读】：仔细观察题中每一个方程的和、积与系数的关系，就容易得出结论：“若方程的两实数根是、，则，”。这是一个十分重要的结论，在解决涉及一元二次方程的根与系数的关系的许多题目都要用到它。同学们将在高中专门学习之，其结论的证明需用到分式的计算知识。
【解答】：（3）， ，
猜想： ，
理由：因为 一元二次方程且、、为常数）的两个实数根是：
，
所以 =‘

。

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