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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识（解析版）
6.5角与角的度量
【知识重点】
1.从静态角度认识角：如图(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
2.从动态角度认识角：如图(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
3.角的表示：角的表示法：角的符号为“∠”.
①用三个字母表示，顶点的字母必须放在中间，如图(3)所示∠AOB或∠BOA；
②用一个字母表示，在这个顶点上只有一个角，如图(3)所示∠A；
③用一个数字表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠1；
④用希腊字母表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠α.
4.角的性质：
①因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关；
②角的大小可以度量.
③角可以参与运算.
5.角的基本度量单位:度“°”、分“′”、秒“″”.
6.角度数的换算：1°=60′，1′=60″.注意：相同单位逢十进一，不同单位的逢六十进一.
7.平角：如图(5)射线OA绕点O旋转，当终边OB在始边OA成一条直线时，所成的角叫做平角，一个平角等于180°；
8.周角：如图(6)射线OA绕点O旋转，当终边OB与始边OA再次重合时所成的角叫做周角，一个周角等于360°.
【经典例题】
【例1】下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、能用，，三种表示同一个角，故符合题意；
B、能用，两种表示同一个角，故不符合题意；
C、∠AOB，不能表示表示同一个角，故不符合题意；
D、能用，两种表示同一个角，故不符合题意；
故答案为：A.
【例2】如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【例3】 如图，用量角器测量，可读出的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由量角器可得： 的度数为115°，
故答案为：115°.
【例4】如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点画29条射线，则图中共有（　　）个角.
A．465 B．450 C．425 D．300
【答案】A
【解析】在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2=3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3=6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有个角；
故答案为：A.
【例5】如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是　 　；以A为顶点的角有　 　个，它们分别是　 　.
【答案】∠B，∠C；6个；∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB
【解析】能用一个大写字母表示的角是∠B，∠C；
以点A为顶点的角为∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB，一共6个；
故答案为：∠B，∠C，6，∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB
【例6】度分秒转换：32.6°=　 　°　 　′；
【答案】32；36
【解析】∵0.6°=0.6×60′=36′
∴32.6°=32°36′.
故答案为：32，36
【例7】 根据下图回答下列问题：
（1）∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个字母表示？
（3）以A为顶点的角有几个？请表示出来．
（4）∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
【答案】（1）解：不正确，以 A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC或∠CAD；
（2）解：图中∠B可以用一个字母表示；
（3）解：以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC；
（4）解：不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．
【例8】计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【基础训练】
1．下列两条射线能正确表示一个角的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、此图形中的两条射线不能表示一个角，故A不符合题意；
B、此图形中的两条射线不能表示一个角，故B不符合题意；
C、此图形中的两条射线能表示一个角，故C符合题意；
D、此图形中的两条射线不能表示一个角，故D不符合题意；
故答案为：C
2．图中小于平角的角有（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
【答案】B
【解析】小于平角的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，
一共有9个.
故答案为：B
3．拿一个能放大4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（　　）
A． B． C． D．不能确定，视放大镜的距离而定
【答案】A
【解析】拿一个能放大4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为1°.
故答案为：1
4．如图，下列说法中错误的是（　　）
A．与是同一个角 B．与是同一个角
C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，，
【答案】C
【解析】A、∠1与表示的是同一个角，故A不符合题意；
B、与是同一个角，故B不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：，，，故D不符合题意．
故答案为：C．
5．用度、分、秒表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
故答案为：D．
6．如图，利用量角器测量角，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据量角器可得，∠1=150°，
故答案为：A.
7．下面所标注的四个角中最大的角是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、为钝角，大于90°；B、为锐角，大于0°小于90°；
C、为直角，等于90°；D、为平角，等于180°．
∴最大的角为平角．
故答案为：D．
8．　 　°.
【答案】12.3
【解析】，
故答案为：.
9．角度表示　 　．
【答案】30.16°
【解析】30°9′36″=30°+9′+（36÷60）′=30°+9.6′=30°+（9.6÷60）°=30°+0.16°=30.16°.
故答案为：30.16°.
10．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为　 　，∠AOB的余角的度数为　 　．
【答案】55°或55度；125°或125度
【解析】看量角器内圈的数字可读出∠AOB的度数为55°
∠AOB的余角的度数为：90°-55°=35°；
故答案为：35°
11．（1）把47.43°化成度、分、秒．
（2）把65°28′45″化成度．
【答案】（1）解：47.43°=47°+0.43°，0.43°=0.43×60′=25.8′，0.8′=0.8×60″=48″，所以47.43°=47°25′48″
（2）解：65°28′45″=65°28′+（45÷60）′=65°+（28.75÷60）°=65°+0.479°=65.479°
12．计算：
（1） .（2） .
（3） .（4） .
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=110°90′ =111°30′
（3）解：原式
（4）解：原式=
【培优训练】
13．下列计算中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 0.25°=0.25×3600″=900″，故A不符合题意；
B、125.45°= 747′，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B
14．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，则∠α+∠β和∠β-∠α的大小分别为（　　）
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40" C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40”
【答案】A
【解析】∵∠α=37°49'40" ，∠β=52°10'20"，
∴∠α+∠β=37°49'40"+52°10' 20"=89°59'60"=89°60'=90°，
∠β-∠α= 52°10'20"-37°49'40"=51°69'80"-37°49'40"=14°20'40"．
故答案为：A.
15．下列各角中，属于钝角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．直角 D．直角
【答案】B
【解析】A、 ∵×360°=90°，∴周角是直角，故A不符合题意；
B、∵×180°=150°，∴平角是钝角，故B符合题意；
C、∵×90°=60°，∴直角是锐角，故C不符合题意；
D、∵×90°=30°，∴直角是锐角，故D不符合题意；
故答案为：B
16． 如图所示，用量角器度量三角形ABC的各个角．
（1）度量得∠A=　 　，∠B=　 　，∠C=　 　
（2）计算：∠A+∠B+∠C=　 　
【答案】（1）30°；25°；125°
（2）180°
【解析】（1）根据量角器即可量出三个角的度数分别为30°，25°，125°；
故答案为：30°，25°，125°；
（2）.
故答案为：180°.
17．观察下图，回答下列问题.
（1）在∠AOB内部任意画1条射线OC，则图①中有　 　个不同的角；
（2）在∠AOB内部任意画2条射线OC，OD，则图②中有　 　个不同的角；
（3）在∠AOB内部任意画3条射线OC，OD，OE，则图③中有　 　个不同的角；
（4）在∠AOB内部任意画10条射线OC，OD，…，则共形成　 　个不同的角.
【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66
【解析】（1）在∠AOB内部任意画1条射线OC，则图①中的角有∠AOC，∠AOB，∠COB，一共3个.故答案为：3
（2）在∠AOB内部任意画2条射线OC，OD，则图②中有∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，一共3+2+1=6个，
故答案为：6
（3）在∠AOB内部任意画3条射线OC，OD，OE，则图③中的角的个数为4+3+2+1=10个
故答案为：10
（4）在∠AOB内部任意画10条射线OC，OD，…，则共形成角的个数为11+10+…+1=（11+1）×11=66.故答案为：66
18． 把一副三角尺按下图所示的方式拼在一起．
（1）写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数．
（2）用“<”将上述各角连接起来．
【答案】（1）∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD= 150°，∠D=45°，∠AED=135°．
（2）∠A<∠D<∠B<∠AED<∠BCD．
【解析】（1）∵是一副三角尺，∴∠A=30°，∠B=90°，∠ACB=60°，∠ECD=90°，∠CED=∠D=45°，
∴∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD=60°+90°=150°，∠D=45°，∠AED=180°-45°=135°；
故答案为：∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD= 150°，∠D=45°，∠AED=135°．
（2）∵∠A=30°，∠D=45°，∠B=90°，∠AED=135°，∠ BCD= 150°，
∴∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．
故答案为：∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．
【直击中考】
19．用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】量角器的圆心一定要与O重合，
故选C．
20．计算：50°﹣15°30′=　 　．
【答案】34°30′
【解析】原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．
故答案为：34°30′．
21．把15°30′化成度的形式，则15°30′=　 　度．
【答案】15.5
【解析】∵30′=0.5度，
∴15°30′=15.5度；
故答案为：15.5．
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6.5角与角的度量
【知识重点】
1.从静态角度认识角：如图(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
2.从动态角度认识角：如图(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
3.角的表示：角的表示法：角的符号为“∠”.
①用三个字母表示，顶点的字母必须放在中间，如图(3)所示∠AOB或∠BOA；
②用一个字母表示，在这个顶点上只有一个角，如图(3)所示∠A；
③用一个数字表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠1；
④用希腊字母表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠α.
4.角的性质：
①因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关；
②角的大小可以度量.
③角可以参与运算.
5.角的基本度量单位:度“°”、分“′”、秒“″”.
6.角度数的换算：1°=60′，1′=60″.注意：相同单位逢十进一，不同单位的逢六十进一.
7.平角：如图(5)射线OA绕点O旋转，当终边OB在始边OA成一条直线时，所成的角叫做平角，一个平角等于180°；
8.周角：如图(6)射线OA绕点O旋转，当终边OB与始边OA再次重合时所成的角叫做周角，一个周角等于360°.
【经典例题】
【例1】下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例3】如图，用量角器测量，可读出的度数为（　　）
A． B． C． D．
【例4】如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点画29条射线，则图中共有（　　）个角.
A．465 B．450 C．425 D．300
【例5】如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是　 　；以A为顶点的角有　 　个，它们分别是　 　.
【例6】度分秒转换：32.6°=　 　°　 　′；
【例7】 根据下图回答下列问题：
（1）∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个字母表示？
（3）以A为顶点的角有几个？请表示出来．
（4）∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
【例8】计算：
（1）； （2）．
【基础训练】
1．下列两条射线能正确表示一个角的是（　　）
A． B． C． D．
2．图中小于平角的角有（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
3．拿一个能放大4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（　　）
A． B． C． D．不能确定，视放大镜的距离而定
4．如图，下列说法中错误的是（　　）
A．与是同一个角 B．与是同一个角
C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，，
5．用度、分、秒表示为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，利用量角器测量角，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．下面所标注的四个角中最大的角是（　　）
A． B． C． D．
8．　 　°.
9．角度表示　 　．
10．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为　 　，∠AOB的余角的度数为　 　．
11．
（1）把47.43°化成度、分、秒． （2）把65°28′45″化成度．
12．计算：
（1） . （2） . （3） . （4） .
【培优训练】
13．下列计算中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
14．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，则∠α+∠β和∠β-∠α的大小分别为（　　）
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40" C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40”
15．下列各角中，属于钝角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．直角 D．直角
16． 如图所示，用量角器度量三角形ABC的各个角．
（1）度量得∠A=　 　，∠B=　 　，∠C=　 　
（2）计算：∠A+∠B+∠C=　 　
17．观察下图，回答下列问题.
（1）在∠AOB内部任意画1条射线OC，则图①中有　 　个不同的角；
（2）在∠AOB内部任意画2条射线OC，OD，则图②中有　 　个不同的角；
（3）在∠AOB内部任意画3条射线OC，OD，OE，则图③中有　 　个不同的角；
（4）在∠AOB内部任意画10条射线OC，OD，…，则共形成　 　个不同的角.
18． 把一副三角尺按下图所示的方式拼在一起．
（1）写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数．
（2）用“<”将上述各角连接起来．
【直击中考】
19．用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（　　）
A． B．C．D．
20．计算：50°﹣15°30′=　 　．
21．把15°30′化成度的形式，则15°30′=　 　度．
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