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3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【学习目标】
　　理解函数的表示法:(1)知道解析法、图象法与列表法是函数表示的三种常用方法,但函数的表示不局限于这三种表示法,并能说明不是任意函数都可以用解析法、图象法与列表法表示;(2)对于具体函数,能选择适当的方法将其表示出来;(3)对一些简单函数,能根据函数的解析式画出函数图象.
◆ 知识点　函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 定　义
解析法 用　　　　　　表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出　　　　来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用　　　　表示两个变量之间的对应关系
2.三种表示方法的优缺点比较
优　点 缺　点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象法 直观形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示. (　 )
(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　 )
(3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. (　 )
(4)若f(x+1)=3x+2,则f(x)=3x-1. (　 )
(5)函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是直线. (　 )
◆ 探究点一　函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求该彩电的销售量x(台)与收款额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
变式 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g[f(x)]A.3 B.4
C.5 D.7
[素养小结]
理解函数表示法的三个要点:
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方法表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
◆ 探究点二　函数的图象
例2 作出下列函数的图象.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 作出下列函数的图象:
(1) y=|x+3|;
(2)y=
[素养小结]
1.一般地,作函数图象有以下三个步骤:
(1)列表.(2)描点.(3)连线.
2.作函数图象时应注意以下几点:
(1)在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
拓展 已知一对变量x,y满足图3-1-2中的函数关系.请你编写一个问题情景,使问题中出现的变量x,y满足图中的函数关系.
图3-1-2
◆ 探究点三　函数解析式的求法
角度一　待定系数法求解析式
例3 (1) 设f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x-1.若f(3)=-5,则f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=2x-或f(x)=-2x+1
B.f(x)=-2x+1
C.f(x)=2x-
D.f(x)=2x+1
(2) 已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,则f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=-2x2-2x+1
B.f(x)=-2x2+2x+1
C.f(x)=-2x2-2x-1
D.f(x)=2x2-2x+1　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,则f(x)=　　　　　　　.
(2) [2023·杭州十四中高一期末] 若函数f(x)为一次函数,且f(x+1)=f(x)-2,f(1)=0,则函数f(x)的解析式为　　　　　 .
[素养小结]
已知函数f(x)的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.　　　　　 　　　　　 　　　　　
角度二　换元法(或配凑法)求解析式
例4 (1)已知函数f(x)满足f(x-1)=,则函数f(x)的解析式为　　　　　　.
(2)已知f(+1)=x+2,则f(x)的解析式为　　　　　.
变式 (1)已知f(+1)=2x+3,求f(x).
(2)已知f(x+2)=2x+3,求f(x).
[素养小结]
已知f[g(x)]=h(x)求f(x)的解析式,常用的方法有两种:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)得到一个含t的解析式,即为函数f(x)的解析式,注意换元后新元的取值范围.
(2)配凑法,即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可得f(x)的解析式.注意g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.
角度三　方程组法求函数解析式
例5 (1)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4,则f(x)=　　　　.
(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,求f(x)的解析式.
变式 (1)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)-2f=3x+2,求f(x)的解析式.
[素养小结]
已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组,通过解方程组求出f(x).
3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【课前预习】
知识点
1.解析式　表格　图象
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f(x)=
(2)如f(x)=的图象就不是连续的曲线.
(3)两函数的定义域不同,则图象不同.
(4)因为f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(5)y=3x-1为一次函数,其图象是一条直线,因为f(x)的定义域为[1,5],所以f(x)的图象为线段.
【课中探究】
探究点一
例1　解:列表法:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 3000 6000 9000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
图象法:
解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
变式　C　[解析] 对于A,当x=3时,f(3)无意义,故A不符合题意;对于B,当x=4时,f(4)=7,而g[f(4)]=g(7)无意义,故B不符合题意;对于C,当x=5时,f(5)=6,g(5)=5,∴g[f(5)]=g(6)=4,f[g(5)]=f(5)=6,则g[f(5)]探究点二
例2　解:(1)列表:
x 0 1 2
y 1 3 5
描点、连线,y=2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示.
(2)列表:
x 2 3 4
y 1
描点、连线,y=,x∈[2,+∞)的图象如图所示.
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
描点、连线,y=x2+2x,x∈[-2,2]的图象如图所示.
变式　解:(1)y=|x+3|的定义域为R,列表:
x -4 -3 -2 -1 0
y 1 0 1 2 3
描点、连线,y=|x+3|的图象如图所示.
(2)函数的图象是两段抛物线与一点,列表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 0 -1 0 0 0 1 0
描点、连线,函数的图象如图所示.
拓展　解:李老师从距离学校12千米的图书馆骑电动自行车去学校,前6分钟以不变的速度走了2千米,遇到同事交谈了2分钟后加快速度匀速赶往学校,总共用了28分钟到达学校.x(分钟)表示李老师出发后的时间,y(千米)表示李老师与学校的距离.
探究点三
例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)设f(x)=kx+b,其中k≠0,则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+(kb+b)=4x-1,所以解得或当k=-2时,f(x)=-2x+1,此时f(3)=-5,符合题意;当k=2时,f(x)=2x-,此时f(3)=,不符合题意.综上所述,f(x)=-2x+1.故选B.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,又f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+1-(ax2+bx+1)=4x,即-2ax+a-b=4x,故解得a=b=-2,则f(x)的解析式为f(x)=-2x2-2x+1.故选A.
变式　(1)x2-2x-1　(2)f(x)=-2x+2　[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,则解得故f(x)=x2-2x-1.
(2)设f(x)=kx+b,k≠0,∵f(x+1)=f(x)-2,∴k(x+1)+b=kx+b-2,得k=-2,又f(1)=b-2=0,∴b=2,故f(x)=-2x+2.
例4　(1)f(x)=(x≠-2)　(2)f(x)=x2-1(x≥1)　[解析] (1)令t=x-1,则x=t+1,∴f(t)==(t≠-2),∴f(x)的解析式为f(x)=(x≠-2).
(2)f(+1)=x+2=(+1)2-1,令t=+1≥1,则f(t)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
变式　解:(1)令t=+1≥1,则x=(t-1)2,所以f(t)=2(t-1)2+3=2t2-4t+5(t≥1),故f(x)=2x2-4x+5(x≥1).
(2)因为f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以f(x)=2x-1.
例5　(1)3x+　[解析] ∵2f(x)+f(-x)=3x+4①,∴2f(-x)+f(x)=-3x+4②,由①②可得f(x)=3x+.
(2)解:在f(x)=2f·-1中,用代替x,得f=2f(x)·-1.
由消去f得f(x)=+(x>0).
变式　解:(1)在已知等式中,用-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx,
由消去f(-x),得f(x)=,故f(x)的解析式为f(x)=x.
(2)在已知等式中,用替换x,得f-2f(x)=+2,
由消去f,得f(x)=-x--2,故f(x)的解析式为f(x)=-x--2(x≠0).

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