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第一章 数与式
第三节 分式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式的相关概念 ☆☆ 中考中，有关分式的部分，每年考查2道题左右，分值为8分左右，在中考，主要考查分式的意义（无意义）和分式值为零、负数、正数、最简分式等情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。
考点2 分式的性质 ☆☆
考点3 分式的运算 ☆☆☆
■考点一　分式的相关概念
1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A为分子，B为分母。
2.对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0；
④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。
■考点二　分式的性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母都 乘以（或除以） 同一个 不等于零的整式 ，分式的值 不变 。
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。
2.约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 约分 。
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
3.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 最简分式 。
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
4.通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 通分 。（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 最简公分母 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
5.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 最小公倍数 与所有字母因式的最高次幂的 积 作为公分母，这样的分母叫做 最简公分母 。
■考点三　分式的运算
1.分式的加减
①同分母的分式相加减法则： 分母不变，分子相加减 ．用式子表示：。
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为 同分母的分式 ，然后再加减。
用式子表示为：。
2.分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：。
3.分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，。
5.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。
■易错提示
1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。
3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等。
4.运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0。
5.当分式与整式相乘时，要把整式与分子相乘作为积的分子，分母不变。
6.乘方时，一定要把分式加上括号，并且一定要把分子、分母分别乘方.
■考点一　分式的相关概念
◇典例1：（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
2．（2023·江苏·中考模拟）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可）
【答案】答案不唯一，如等.
【详解】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是．
3．（2023·云南曲靖·统考一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.
【详解】解：∵，，，，……∴第个代数式为：，
当是，第9个代数式为：，故选B
【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.
◇典例2：（2023·河南·中考模拟）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
【答案】C
【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.故选C.
【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
◆变式训练
1．（2023·四川南充·统考中考真题）若分式的值为0，则的值为________．
【答案】
【分析】根据分式的值为0，得到，求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不能为零．
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x=-1时，，故不合题意；故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2020·贵州安顺·统考中考真题）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
◇典例3：（2023·福建泉州·统考模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可．
【详解】解：∵，∴分式的值为负数，即分母且，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
◆变式训练
1. （2023·四川南充·统考一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故选：B．
【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数．
2．（2023·北京东城·统考二模）若分式的值为正，则实数的取值范围是 .
【答案】x＞0
【详解】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.
【详解】∵分式的值为正，∴x与x2+2的符号同号，
∵x2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.
【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.
◇典例4：（2023·福建福州·统考二模）若分式的值是正整数，则整数的值是 ．
【答案】0，
【分析】根据题意，分式的值是正整数，可知，分式的分母为1或-1，据此解得的值，最后验根即可．
【详解】解：分式的值是正整数，，
∴为小于2的整数，或或
经检验，当或，分母，或故答案为：或．
【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·湖北·统考一模）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D、当时，有意义，故本选项不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
2.（2023·广东广州·校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ．
【答案】，1，2，4，5，7
【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案．
【详解】解：，
∵分式的值为整数，∴或或，
解得：，，，，，，故答案为，1，2，4，5，7．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
■考点二　分式的性质
◇典例5：（2022·山西·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；
D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．
◆变式训练
1．（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．
【详解】解：，故A正确；与不一定相等，故B错误；
与不一定相等，故C错误；当时，，故D错误，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
2．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为，所以，，
A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；D．，符合题意；故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
◇典例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意；
C. a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意；
D. a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意；故选B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如果把分式中、的值都变为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．变为原来的9倍 B．变为原来的3倍 C．不变 D．变为原来的
【答案】B
【分析】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论．
【详解】解：∵分式中的x与y都扩大为原来的3倍，
∴分式中的分子扩大为原来的9倍，分母扩大为原来的3倍，
∴分式的值扩大为原来的3倍．故选B．
【点睛】此题考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简．
◇典例7：（2023·山东·统考二模）下列分式中，最简分式是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据最简分式的概念，分子与分母不含有公因式的分式即为最简分式，化简后判断即可.
详解：由题意可知：=，不是最简分式；=，不是最简分式；是最简分式；=，不是最简分式.故选C.
点睛：此题考查了最简分式，先把分式的分子、分母因式分解，然后确定有无公因式，是解题关键.
◆变式训练
1．（2023·河北·校联考模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．
2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
【答案】D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
3．（2023·云南昆明·统考二模）化简 ．
【答案】
【分析】先因式分解，约分变为最简分式，把分子变为和的形式．
【详解】解：，，，．故答案为：．
【点睛】本题考查分式化简，因式分解，最简分式，约分，解题的关键是掌握分式化简方法：先因式分解，约分，再化为最简分式．
◇典例8：（2023·河北唐山·统考一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．
【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，
∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母为： ．故选择：A．
【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．
◆变式训练
1. （2023·内蒙古·统考二模）分式的最简公分母是 ， = 。
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（2023·广西梧州·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】解：A、＝ ，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、＝ ，故本选项错误；D、﹣＝1，故本选项正确；故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
■考点三　分式的运算
◇典例9：（2023·河北·统考二模）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（ ）
化简：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同类项
……………………③提公因式
………………………………④约分
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算法则即可得出结论．
【详解】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减运算，分清楚同分母分式的加减法和通分的区别是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
2．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
3．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案；
（2）根据作差法求的值即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案为：．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
◇典例10：（2023·河北保定·统考一模）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
【答案】D
【分析】根据分式的混合运算，结合题意逐步检验即可得到答案．
【详解】解：
，
嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不正确，故选：D．
【点睛】本题考查分式化简，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键．
◆变式训练
1. （2023·浙江温州·统考三模）计算： ．
【答案】
【分析】先直接相加，再约分即可得到答案．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则，是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级专题练习）关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当时，其值为2 B．当时，其值为0
C．当时，其值为正数 D．当时，其值为正数
【答案】D
【分析】先根据分式的四则运算法则化简分式并确定x的取值范围，然后根据x的取值范围和分式的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：＝＝，
∵，∴或，，
∴A．由，故A说法错误，不符合题意；
B．由，故B说法错误，不符合题意；
C．当时，，故C说法错误，不符合题意；
D．当时，，故D说法正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算、分式有意义的条件、分式的意义等知识点，明确分式有意义的条件是解答本题的关键．
◇典例11：（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
◆变式训练
1.（2023·四川攀枝花·统考中考真题）计算，以下结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无意义
【答案】A
【分析】根据零次幂可进行求解．
【详解】解：；故选A．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂的意义是解题的关键．
2.（2023·江苏·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
◇典例12：（2023·四川成都·统考中考真题）若，则代数式，的值为___________．
【答案】
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案．
【详解】解：，，，，
，，，故原式的值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年青海省西宁市中考数学真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵，是方程的两个根 ∴ ∴原式.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，值为
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
【详解】解：，
∴当时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
3．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】，选择，式子的值为（或选择，式子的值为1）
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式，
，，，，
，且为整数，选择代入得：原式，
选择代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得，故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
3．（2021·广西百色·统考中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中 原式 故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
4. （2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：．故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： ．
【答案】/
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
7．（2023·上海·统考中考真题）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由可知：，∴；故答案为．
【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．
8．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则，
∴，故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
9．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；；
；，，
当时，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式，
∵，当时原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
11．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……
【答案】，，，过程见解析
【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴，∴，
原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
12．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：，
；
②当选择A、C时：，
；
③当选择B、C时：，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少．
【详解】解：原式，，，，，
要使分式有意义，则，，故选：．
【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）若，则“（ ）”内应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵，∴“（ ）”内应填，故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解答本题的关键 熟练掌握分式的基本性质．
3．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
B．，故原选项错误，不符合题意；C．，故原选项错误，不符合题意；
D．，故原选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题．
4．（2023·上海·校考模拟预测）下列各式中：中，是分式的共有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进而解答即可．
【详解】是分式，共有3个，故选：C．
【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母．
5．（2023·天津红桥·统考三模）计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先通分，再计算分式减法，最后约分即可求解.
【详解】解：.故选：C.
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，通分和约分，理解相关知识是解答关键.
6．（2023·河南郑州·统考二模）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
【答案】分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义和分式有意义的条件即可得．
【详解】解：写出的分式为，使其有意义的条件是，
故答案为：分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式和分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
7．（2023·山东青岛·统考一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
【答案】
【分析】原有的员工每人分担的车费-实际每人分担的车费，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：=故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．
8．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：＝ ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
9.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．
【详解】∵∴∵分式的值为正数∴∴故答案为．
【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键．
10．（2022·内蒙古新城·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11．（2024·广东佛山·校考三模）（1）化简：
（2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；理由见解析；
【分析】（1）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分；
（2）由（1）化简结果，代入整数验证即可；
【详解】解：（1）原式===；
（2）有，x=-3，由的值为整数，可得分母是1或-1且x符合取值范围，
当x=-3时，=1，∴当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2023·山西大同·统考三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式” 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： ． 将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： 方法1：． 方法2：由于分母为，可设（，为常数）， ， ． ，解得． ． 这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．(2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个的值．
【答案】(1)真；(2)(3)或
【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；（3）根据题意可得是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴是真分式， 故答案为：真；．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵的值为整数，∴是整数，∴∴或．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
1．（2023·河北石家庄·联考模拟预测）代数式的值为．则为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：，
∵代数式的值为，且F为整数，∴为整数，且
∴的值为：，共7个，∴对应的F值有7个，故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
2．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，则 B．若“”代表的是“－”，则
C．若“”代表的是“×”，则 D．若“”代表的是“÷”，则
【答案】A
【分析】当“”代表的是“＋”时，得出，计算的值的符号，即可得出M与N的大小关系，可判断A；当“”代表的是“－”，得出，与A同理，可判断B；当“”代表的是“×”和当“”代表的是“÷”时，由分式的基本性质即可判断C和D．
【详解】解：若“”代表的是“＋”，则，
∴．
∵，∴，，∴，∴，故A正确，符合题意；
若“”代表的是“－”，则，∴．
∵，∴，，∴，∴，故B错误，不符合题意；
若“”代表的是“×”，则．∵，∴，故C错误，不符合题意；
若“”代表的是“÷”，则．∵，∴，故D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．
4．（2022下·福建厦门·九年级校考阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【分析】根据题意，得，结合a、b为正整数，可知最小的a满足，最小的b满足．
【详解】解：根据题意，得，设，其中k为正整数．
两式相加，得．因为a、b为正整数，所以必为正整数．
所以，解得，，且k为正整数．
当时，，不合题意，舍去；
当时，；所以的最小值是28；故选：B．
【点睛】本题考查了函数的最值问题、分式的性质．本题利用分式的基本性质和两个分式相等的条件来解的，利用参数k求解是关键．注意并不满足题意，故的最小值不是6．
5．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为( )
A．1959 B．7954 C．82 D．3948
【答案】B
【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可．
【详解】解：设，则，
∴，再设是数的平方数，∴，∴，
∵是某个整数的平方数，，∴，
∴且a为正整数，∴，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
∴的值可以为、、、，
∴所有满足条件的n之和为，故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键．
6．（2023·重庆开州·校联考模拟预测）已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵，∴，解得：，∴①正确；
②∵，∴，
∴，当时，，解得（不符合题意，舍去），
当时，恒成立，
当时，，解得（不符合题意，舍去），∴②正确；
③∵，∴，∴或，
当时，，该方程无实数根，
当时，，该方程无实数根，
∴若，关于的方程无实数根，∴③正确；
④∵，
∵为整数，且值为整数，
∴，，，∴的取值个数为个，∴④不正确．故选：C．
【点睛】本题考查分式化简，一元二次方程，含绝对值一元一次方程，根的判别式等知识点．能够正确解方程是本题的关键．
7．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
8．（2023·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
9．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；
（2）故答案为：；
（3）分式的值为整数，，
即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；
（4）
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．
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第一章 数与式
第三节 分式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式的相关概念 ☆☆ 中考中，有关分式的部分，每年考查2道题左右，分值为8分左右，在中考，主要考查分式的意义（无意义）和分式值为零、负数、正数、最简分式等情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。
考点2 分式的性质 ☆☆
考点3 分式的运算 ☆☆☆
■考点一　分式的相关概念
1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 ，其中A为分子，B为分母。
2.对于分式来说：①若 ，则有意义；②若 ，则无意义；③若 ，则=0；
④当 时，分式的值为1；⑤若 ，则A、B同号，若 ，则A、B异号。
■考点二　分式的性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母都 同一个 ，分式的值 。
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。
2.约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 。
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的 ；分子与分母的系数，约去它们的 ．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
3.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 。
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式。
4.通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 。（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
5.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 与所有字母因式的最高次幂的 作为公分母，这样的分母叫做 。
■考点三　分式的运算
1.分式的加减
①同分母的分式相加减法则： ．用式子表示：。
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为 ，然后再加减。
用式子表示为：。
2.分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示： 。
3.分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示： 。
5.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。
■易错提示
1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。
3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等。
4.运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0。
5.当分式与整式相乘时，要把整式与分子相乘作为积的分子，分母不变。
6.乘方时，一定要把分式加上括号，并且一定要把分子、分母分别乘方.
■考点一　分式的相关概念
◇典例1：（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
◆变式训练
1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
2．（2023·江苏·中考模拟）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可）
3．（2023·云南曲靖·统考一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·河南·中考模拟）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
◆变式训练
1．（2023·四川南充·统考中考真题）若分式的值为0，则的值为________．
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·贵州安顺·统考中考真题）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·福建泉州·统考模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
◆变式训练
1. （2023·四川南充·统考一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2．（2023·北京东城·统考二模）若分式的值为正，则实数的取值范围是 .
◇典例4：（2023·福建福州·统考二模）若分式的值是正整数，则整数的值是 ．
◆变式训练
1．（2023·湖北·统考一模）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义
2.（2023·广东广州·校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ．
■考点二　分式的性质
◇典例5：（2022·山西·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如果把分式中、的值都变为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．变为原来的9倍 B．变为原来的3倍 C．不变 D．变为原来的
◇典例7：（2023·山东·统考二模）下列分式中，最简分式是 ( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·河北·校联考模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
3．（2023·云南昆明·统考二模）化简 ．
◇典例8：（2023·河北唐山·统考一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023·内蒙古·统考二模）分式的最简公分母是 ， = 。
2．（2023·广西梧州·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1
■考点三　分式的运算
◇典例9：（2023·河北·统考二模）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（ ）
化简：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同类项
……………………③提公因式
………………………………④约分
A．① B．② C．③ D．④
◆变式训练
1.（2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
◇典例10：（2023·河北保定·统考一模）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
◆变式训练
1. （2023·浙江温州·统考三模）计算： ．
2．（2023·浙江·九年级专题练习）关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当时，其值为2 B．当时，其值为0
C．当时，其值为正数 D．当时，其值为正数
◇典例11：（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·四川攀枝花·统考中考真题）计算，以下结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无意义
2.（2023·江苏·统考中考真题）计算： ．
◇典例12：（2023·四川成都·统考中考真题）若，则代数式，的值为___________．
◆变式训练
1．（2023年青海省西宁市中考数学真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
3．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广西百色·统考中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
4. （2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： ．
7．（2023·上海·统考中考真题）函数的定义域为 ．
8．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

9．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
11．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……
12．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）若，则“（ ）”内应填（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上海·校考模拟预测）下列各式中：中，是分式的共有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023·天津红桥·统考三模）计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2023·河南郑州·统考二模）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
7．（2023·山东青岛·统考一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
8．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：＝ ．
9.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
10．（2022·内蒙古新城·二模）分式的最简公分母是________， =__________
11．（2024·广东佛山·校考三模）（1）化简：
（2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由．
12．（2023·山西大同·统考三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式” 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： ． 将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： 方法1：． 方法2：由于分母为，可设（，为常数）， ， ． ，解得． ． 这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．(2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个的值．
1．（2023·河北石家庄·联考模拟预测）代数式的值为．则为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
2．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，则 B．若“”代表的是“－”，则
C．若“”代表的是“×”，则 D．若“”代表的是“÷”，则
4．（2022下·福建厦门·九年级校考阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
5．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为( )
A．1959 B．7954 C．82 D．3948
6．（2023·重庆开州·校联考模拟预测）已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
8．（2023·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
9．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
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