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第一章 数与式
第四节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆☆ 有关二次根式的部分，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
考点2 二次根式的性质与化简 ☆☆
考点3 二次根式的运算 ☆☆☆
■考点一　二次根式的相关概念
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 。
2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 。
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 。
■考点二　二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质
（1）双重非负性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
2.二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
3.化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
■考点三　二次根式的的运算
1.加减法法则：先把各个二次根式化为 后，再将被开方数相同的二次根式 。
【口诀】一化、二找、三合并。
2.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
3.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 ，将分母中的根号去掉的过程。
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 的另一部分；
即：。
5.混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
■易错提示
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
■考点一　二次根式的相关概念
◇典例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
◆变式训练
1．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）若二次根式有意义，则可以是 （写出一个符合条件的值即可）．
2.（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·河北保定·九年级统考期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
◇典例3：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
◆变式训练
1．（2023上·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
2．（2023上·广东惠州·九年级校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
■考点二　二次根式的性质与化简
◇典例4：（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
◆变式训练
1．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
3．（2023·广东·中考模拟）若，则_____．
◇典例5：（2023上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，
∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；

(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图

(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
■考点三　二次根式的运算
◇典例6：（2023·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
◇典例7：（2023·上海·统考中考真题）计算：
◆变式训练
1．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
3．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
◇典例8：（2023·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
◆变式训练
1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
2．（2022·广东潮州·统考一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是
◇典例9：（2022·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
◆变式训练
1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（2023·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（　　　）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
◆变式训练
1．（2023·广西中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023贵州西·中考模拟）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　，＝　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
◇典例11：（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．

◆变式训练
1．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．

2．（2023·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·统考中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： ．
9．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
10．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
11．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
12．（2022·山东济宁·统考中考真题）已知，，求代数式的值．
13．（2022·上海·统考中考真题）计算：
1.（2023·山东·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知；，且，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
3．（2023上·四川内江·九年级校考期中）小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④．做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·四川内江·九年级校考期中）当时，多项式的值为
8．（2023上·河南开封·九年级统考期中）请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
9．（2023上·四川内江·九年级校考期中）（1）计算：
（2）计算：；（3）计算：
10．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知，，试求下列各式的值：
(1)(2)．
11．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小．
∵又∵则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是________；(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
12．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）观察下列算式：
①由，得；
②由，得；
③由，得；……
(1)根据以上算式，______；(2)计算：；
(3)利用以上规律，计算：．
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）若，则a的值所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023上·湖北·九年级校考周测） ．
4．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
5．（2023下·浙江湖州·九年级统考期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：，则需计算，
而
，
所以
(1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(3)利用②中的结论，计算：
6．（2023上·山西长治·九年级长治市第六中学校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．(2)根据上面的思路，化简：．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
7．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“＝”成立．
证明：∵ ∴ ∴，当且仅当时，“＝”成立．
(1)已知，求的最小值．(2)求代数式：的最小值．
(3)问题解决：如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4m和10m，则要使公园占地面积最小，休闲区的长和宽应如何设计？

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第一章 数与式
第四节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆☆ 有关二次根式的部分，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
考点2 二次根式的性质与化简 ☆☆
考点3 二次根式的运算 ☆☆☆
■考点一　二次根式的相关概念
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 a≥0 。
2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
■考点二　二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质
（1）双重非负性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
2.二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
3.化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
■考点三　二次根式的运算
1.加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
【口诀】一化、二找、三合并。
2.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
3.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分；
即：。
5.混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
■易错提示
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
■考点一　二次根式的相关概念
◇典例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】C
【详解】∵式子在实数范围内有意义 ∴ 解得：，
又∵要取整数值，∴的值为：-2、-1、0、1.即符合条件的的值有4个.故选C.
◆变式训练
1．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）若二次根式有意义，则可以是 （写出一个符合条件的值即可）．
【答案】6（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及求一元一次不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：若二次根式有意义，
则，解得．故答案为：6（答案不唯一）．
2.（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【详解】解：由题意可知： ,解得：,故选：．
【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
3．（2023上·河北保定·九年级统考期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可求出的值，代入计算即可，本题主要考查二次根式有意义的条件，代入求值，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，∴，则，∴，故选：．
◇典例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
◆变式训练
1.（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意；B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；D、是二次根式，则此项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键．
2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
3．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．
◇典例3：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】此题主要考查了同类二次根式和最简二次根式．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，
解得：，故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】根据同类二次根式的概念可得，解方程即可；本题主要考查同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴．故答案为：4．
2．（2023上·广东惠州·九年级校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
■考点二　二次根式的性质与化简
◇典例4：（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
◆变式训练
1．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
【答案】
【分析】结合已知条件，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，，故答案为：．
【点睛】本题考查算二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【详解】解：＝2，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
3．（2023·广东·中考模拟）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵，∴．由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
◇典例5：（2023上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，
∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；

(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】(1)1(2)(3)
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；（3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】（1）解：隐含条件，解得：，，
∴原式；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，∴，，
∴原式；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形三边间的关系等知识点．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，整理得：，∴，∴，，
∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
2．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解．
【详解】∵属于真分数，∴，且为整数，
∴可以取，即，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．
3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图

(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
【答案】(1)小亮(2)
【分析】此题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的化简，
（1）根据二次根式的性质判断，由此进行判断；
（2）利用完全平方公式将化为，再根据取值化简即可；
正确理解二次根式的性质进行化简是解题的关键．
【详解】（1）
当时，，则小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；
（2）当时，＝．
■考点三　二次根式的运算
◇典例6：（2023·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2.（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，，即，，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
◇典例7：（2023·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
◆变式训练
1．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：== =2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
3．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
【答案】7
【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可．
【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”，
∵，∴
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
◇典例8：（2023·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
【答案】①②④
【分析】将和代入即可求得和，再按照可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第项的值．
【详解】，故正确；
，故错误；
“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，，故正确；
，，，，，，，除以所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，，，故在新数列中，第项的值是，故正确．故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．
◆变式训练
1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100， ，利用规律求解即可．
【详解】解：，，，
，
，…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
2．（2022·广东潮州·统考一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是
【答案】
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是，
，，
则所表示的数是，故答案为．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
◇典例9：（2022·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴解得
故答案为：
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
◇典例10：（2023·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（　　　）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：甲：，正确；
乙：设有理数a，b满足：，则，故乙错误；
丙：
，故丙正确；
丁：，，
则，故丁错误；
戊：
，故戊正确
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·广西中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
2．（2023贵州西·中考模拟）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　，＝　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．
【解析】 (1)∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
◇典例11：（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．

【答案】(1)5(2)10年；2.5万元(3)
【分析】（1）直接利用可得结论；（2）先求解年平均保养费用，利用可得结论；（3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：，，
当，即时，的最小值为5；
（2）解：由题意得：，年平均费用．
当时，，即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线为：，把代入解析式得：，
，直线为：，令，，
令，，，，由题意知：，
，
由题意得：，．
当时，即时，最小，直线为：．
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．

【答案】(1)；(2)的最小值为(3)
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，根据题干的信息，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵当时，，即，∴的最小值为；
∵当时，，∴，即，
∴，∴，∴的最大值为；故答案为：；；
（2）解：，
，，∴当时，的最小值为．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴， ，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
2．（2023·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），
，而，，
，；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，，故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，∴,∴与最接近的整数为，故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，，解得：，
，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
5．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.，故错误；B.，故正确；
C.，故错误；D.，故错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：中，，，
故在数轴上表示为： 故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．
7．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则．
②选择和，
则．
③选择和，
则．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
9．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．
∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
10．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．
【详解】解：∵∴ ∵为正整数∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数∴为4或7或8故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
11．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【答案】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：，，，；，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
12．（2022·山东济宁·统考中考真题）已知，，求代数式的值．
【答案】－4
【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．
【详解】故代数式的值为．
【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
13．（2022·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案．
【详解】解：==
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
1.（2023·山东·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【详解】，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；
，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意； 故选C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题关键．
2．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知；，且，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先根据m和n的值得出和的值，从而得出和的值，然后利用整体代入求出a的值．
【详解】解：由，得，
两边平方，得，即，故，
同理，得，代入，
得解得，故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，运算比较冗繁，解题关键是求出部分代数式的值再整体代入．
3．（2023上·四川内江·九年级校考期中）小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④．做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
【详解】解：①，正确；
②由式子可判断，∴，正确；
在③中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，错误；
④由式子可判断，∴，正确；
综上分析可知，做错的题是③．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次根式的性质：．同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
4．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将各选项二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义做判断，本题主要考查同类二次根式的定义，解题过程中注意化简．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、和是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．
5．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的运算法则，逐个进行计算可得结论．
【详解】解：当时，，其结果是有理数；
当时，，其结果是有理数；
当时，，其结果是有理数；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，故x不能为，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题关键．
6．（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意计算与，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7．（2023上·四川内江·九年级校考期中）当时，多项式的值为
【答案】
【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴
．故答案为：.
8．（2023上·河南开封·九年级统考期中）请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】题目主要考查二次根式的比较大小，解题的关键是根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
9．（2023上·四川内江·九年级校考期中）（1）计算：
（2）计算：；（3）计算：
【答案】（1）0；（2）；（3）；
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式．
（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可计算求值；
（2）先化简二次根式和绝对值，再进行加减运算，即可计算求值；（3）先根据二次根式的乘法法则以及完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算，即可计算求值．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）
．
10．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知，，试求下列各式的值：
(1)(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查二次根式化简求值，根据二次根式的混合运算法则求得，和的值，
（1）利用完全平方公式把原式变形后求解即可；（2）根据分式的混合运算先通分再利用平方差公式计算即可；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
，，
，，
（2），
11．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小．
∵又∵则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是________；(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】(1)5，(2)(3)
【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
（1）首先估算出，据此问题即可求解；（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：，
的整数部分是5；小数部分为，故答案为：5；；
（2）解：，；
（3）解：
，，．
12．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）观察下列算式：
①由，得；
②由，得；
③由，得；……
(1)根据以上算式，______；(2)计算：；
(3)利用以上规律，计算：．
【答案】(1)(2)(3)208
【分析】（1）根据题干中运算规律求解即可；（2）根据题干中运算规律求解即可；
（3）先运用（2）中所得规律，将中各项化简计算，最后运用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）根据题干中的规律可得，；
（2）根据题干中的规律可得，；
（3）
．
【点睛】本题考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解．
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）若，则a的值所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，，由，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：
，
∵，∴，∴，即，故选：D．
【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化简．
2．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解：，是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若是完美方根数对，则即解得或
是正整数则故③正确；
若是完美方根数对，则,即故④正确故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
3．（2023上·湖北·九年级校考周测） ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，利用算术平方根、立方根的性质以及二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：
，故答案为：5．
4．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出
，，则答案可得．
【详解】解：，
变形为，
∴，∴，∴，
∵x，y均为整数，，∴最小值时，，
∴最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
5．（2023下·浙江湖州·九年级统考期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：，则需计算，
而
，
所以
(1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(3)利用②中的结论，计算：
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，且分母不能为0，列出不等式组，求解即可；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（3）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，由①得，由②得， ∴；
（2）解：由题意得，∴，
∴，∴；
（3）解：原式．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
6．（2023上·山西长治·九年级长治市第六中学校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．(2)根据上面的思路，化简：．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
【答案】(1)完全平方公式；(2)(3)或
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
【详解】（1）解：的根据是完全平方公式；
∵，∴，．故答案为：完全平方公式；．
（2）解：．
（3）解：由题意得，∴，，
∵x，y为正整数，∴，或，，∴或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
7．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“＝”成立．
证明：∵ ∴ ∴，当且仅当时，“＝”成立．
(1)已知，求的最小值．(2)求代数式：的最小值．
(3)问题解决：如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4m和10m，则要使公园占地面积最小，休闲区的长和宽应如何设计？

【答案】(1)2(2)4(3)长为100m，宽为40m
【分析】对于（1），根据，可得答案；
对于（2），先化简，得，再根据（1）讨论即可；
对于（3），设休闲区的长为xm，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案．
【详解】（1）根据题意，得，
当时，解得时，所以，当时，原式的最小值为2；
（2）由，可知，
当时，解的，所以当时，原式的最小值为4；
（3）设休闲区的长为xm，则宽为，根据题意，得
公园的面积，
．
当时，解得，所以当时，面积最小为5760．
则，所以休闲区的长为m，宽为m．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程，求最小值等，解题的关键是弄清题意，求出最小值．
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