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专题三十八 概率的基本性质与古典概型
知识归纳
一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
二、古典概型
（1）定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
三、概率的基本性质
（1）对于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
方法技巧与总结
1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
(1)本试验是否具有等可能性；
(2)本试验的基本事件有多少个；
(3)事件是什么．
2、解题实现步骤：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解题方法技巧：
(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
典例分析
题型一、概率的基本性质
【例1-1】已知，，，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】B
【解析】因为，，
则，所以事件与事件不相互独立，
．
【例1-2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【答案】B
【解析】由随机事件概率的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
【例1-3】下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；
对于②：若为两个事件，则；故②不正确；
对于③：若事件两两互斥，若，则，故③不正确；
对于④：对于几何概型而言，若事件满足，，则不一定 是对立事件，
故④错误.
所以错误的命题有个.
【例1-4】甲 乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲 乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
则甲 乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
【答案】D
【解析】由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，
所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为.
【例1-5】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，解得，即．
【例1-6】已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，
由题意可得，网上购买的合格率为，
则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，
所以，解得.
【例1-7】有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．
【答案】
【解析】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，
则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，
所以，.
题型二、简单的古典概型问题
【例2-1】一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】20组随机数恰好有两个是的有191，271，932，393，812，184共6个，因此概率为．
【例2-2】甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10，4张3，乙手里有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两张牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5，综上.
【例2-3】从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】区间的整数共有7个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有3个；
设事件：从属于区间的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，
由.
【例2-4】从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】两数之和为有两种情况，故，故，解得.
【例2-5】在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】每个位置可排0或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为，恰好有2个1的排列的个数共有，故概率为：.
【例2-6】我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类情况；
第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为.
【例2-7】甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有种，
当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有种，
故满足回答者的所有情况共种.
其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，
当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有种；
当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有种，
所以，最终丙和丁获得前两名的情况有种，
所以，最终丙和丁获得前两名的概率为
题型三、古典概型与向量的交汇问题
【例3-1】从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，
可以组成向量的个数是（个；
其中与向量垂直的向量是和，共2个；
故所求的概率为．
【例3-2】已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】向量与所成的角为锐角等价于，且与的方向不同，
即，
则满足条件的向量有，
其中或时，与同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，
又的取法共有种，则向量与所成的角为锐角的概率是．
【例3-3】如图，在平面直角坐标系中，为正十边形的中心，在轴正半轴上，任取不同的两点、（其中，，且，），点满足，则点落在第二象限的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：任取不同的两点的方法有；
其中满足题意的有如下种：.
故满足题意的概率.
【例3-4】已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为.
题型四、古典概型与几何的交汇问题
【例4-1】河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从点沿单位正方形的边以最短路径运动到点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过点的概率为______.
【答案】
【解析】一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，
共有n＝＝20种不同的路线，
则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，
该质点经过p点的概率为P＝.
【例4-2】连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
【答案】
【解析】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线与圆相交，
则，即满足．符合题意的有
，
共21种，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．
【例4-3】平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】从个点中任取3个点，共有种，
三个点要构成直角三角形，则有两个点为直径的端点，共有条直径，
还剩个点，从个点中取一个点即可，则可构成直角三角形有，
所以可构成直角三角形的概率为，解得，
所以共有个等分点，所以正多边形的边数为12.
【例4-4】对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得条直线，
如图所示：
设正方体的边长为2，则，
，,
,
由正方体性质可得平面,平面,平面,
四边形,四边形，四边形均为正方形，
故当甲选时,乙选或或或或或时，
甲，乙所选的点的连线垂直，
甲选时，乙选或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有种选法，
所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，
所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率.
【例4-5】在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积等于的平行四边形的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则以、为邻边的平行四边形的面积为
，
其中以原点为起点的向量有、、、、、，共个，
其中满足的向量、可以为、、，
则满足面积为的平行四边形的个数为，即，
其中能构成平行四边形的向量组有：、、
、、、、、
、、、、、
、、，共种，即，
因此，.
【例4-6】如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有对异面直线，
当两条直线都位于上下底面时，有对异面直线，
当两条直线都不在上下底面时，有对异面直线，
所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为
【例4-7】《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从正方体的8个顶点中任选4个顶点，共有（种）情况，
其中4点在同一平面的情况共有两种，
第一种是当取正方体的一个面上的4个点时，共有6种情况；
第二种是当取上下 左右 前后斜切面的4个点时，共有6种情况，
所以从正方体的8个顶点选4个顶点得到三棱锥共有（种）.
因为鳖臑是四个面都是直角三角形的三棱锥，
所以以为例，与下底面组成的鳖臑有和，
与上底面构成的鳖臑也有两个，鳖臑共有（个）.
又与侧面组成的4个鳖臑有两个与前面得到的重复，有2个不重合，
故有（个），所以一共有24个鳖臑，
所以得到的三棱锥是鳖臑的概率为.
题型五、古典概型与函数的交汇问题
【例5-1】一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
【答案】【解析】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
，，
所以．
【例5-2】对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．
【答案】【解析】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,
则总共有种，
求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，
函数是“不严格单调增函数”的概率是.
【例5-3】已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，当，得，若，则，即切点为的切线为；若，则，即切点为的切线为，当，得，若，则切点为，切线方程为：，若，则切点为，切线方程为：，故直线与的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有三种情况，与的图象相切只有，故概率为．
【例5-4】已知函数．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数有两个极值点的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得有两个根,则有，解得，
a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，表示为，
有如下，共种情况，
其中满足的有，共6种情况，
则函数有两个极值点的概率为，即．
【例5-5】首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【答案】D
【解析】因此存款金额用十进制计算，故，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
，故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，
存款金额的首位数字是7的概率为，
因为，故，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，存款金额的首位数字是9的概率为，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为，故D正确.
【例5-5】已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知,又因为，
所以数形成的数组有，共36种情况，
其中，
，
共17种情况满足，所以所求概率
【例5-6】设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，
当且仅当时，取“＝”，∴，于是恒成立就转化为成立；
当时， ，
设事件A：“恒成立”，则基本事件总数为15个，即（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（0,5），（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）；
事件A包含事件:（0,1），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）共9个
所以.
题型六、古典概型与数列的交汇问题
【例6-1】我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，令冬至影长为，公差为，则，故.
∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次为，
∴随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率.
【例6-2】意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而，
∴前2021项中有个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为.
【例6-3】在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式通项为，
由题意．
所以当时为整数，相应的项为有理项，
因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，
所求恰有两项有理项相邻的概率为．
【例6-4】记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为.在这些不同数列中随机抽取一个数列，则是递增数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，当时，，
当时，，
因为数列为单调递增数列，则，即，即，
所有样本点有：、、、、、、、、，共个，
其中，满足是递增数列的样本点有：、，共个，
故所求概率为.
【例6-5】某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，
所以，即，
设，则，所以，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，
所以.
【例6-6】已知某抽奖活动的中奖率为，每次抽奖互不影响．构造数列，使得，记，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖，
故的概率为．
【例6-7】已知数列的前n项和为，且，若数列满足，从中任取两个数，则至少一个数满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于①，当时，得，解得；
当时，②，①-②化简可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
因为，所以，
令得，解得或，
从中任取两个数共有，，，，，，
，，，，，，，，15种，
其中至少一个6或7的有9种，所以至少一个数满足的概率为.
题型七、古典概率与统计的综合
【例7-1】下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；
2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为，故②正确；
从这12个增速中随机抽取2个，都超过10的概率，故③正确.
【例7-2】2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在”为事件，求．
【解析】（1）由题意得,解得，
由频率分布直方图可知,观看时长在分钟以下的样本所占比例为，
所以样本数据的中位数为160；
（2）由题意，观看时长在，对应的频率分别为和，
所以采用分层随机抽样的方式在这两个区间中应分别抽取4人和2人，
设观看时长在的4人为观看时长在的2人为，
从中抽取3人的基本事件有：共20个，
其中事件的基本事件有共12个，
所求概率为
【例7-3】某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
期中数学成绩（单位：分） 频数 频率
3 0.05
x p
9 0.15
15 0.25
18 0.30
y q
合计 60 1.00
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
【解析】（1）根据题意有，解得，
．
（2）用分层抽样的方法选取5人，则数学成绩“特别优秀”的有人，“优秀”的有人．
设抽到3名数学成绩“特别优秀”的学生为，抽到2名数学成绩“优秀”的学生为，从5人中选取3人的所有情况为，，共10种情况，
至少抽到2人数学成绩”特别优秀”的为，有7种情况，
∴至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
【例7-4】致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．
(1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；
(2)若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图得，解得，
成绩不及格的频率为，
∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，∵21％＞20％，
∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．
（2）方法一：由（1）可知样本中成绩优秀有20人，其中男生5人，故女生15人，
记事件A＝“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生”，
则，∴所求概率为．
方法二：由（1）可知样本中成绩优秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，
记事件A＝“从优秀答卷中随机选取3份，其中至少有1份是男生”，
则“从优秀答卷中随机选取3份，全是女生”，
则，∴，∴所求概率为．
题型八、有放回与无放回问题的概率
【例8-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
【答案】
【解析】由题意，从6个小球，任取3个小球，可得基本事件总数为种，
若编号为4的球有且只有一个且为白球，有种取法；
若编号为4的球有且只有一个且为红球，有种取法；
若编号为4的球红球白球都取到，有种取法，
小球编号最大值为4的基本事件个数为种，
所以小球编号最大值为4的概率力.
【例8-2】一个袋子中放大小相同的9个小球，其中5个红色球，4个白色球，若从中摸出1个球后放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，从中摸出1个球后不放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】9个小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），
其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；
9个小球不放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），
其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；
所以，即.
【例8-3】一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
【答案】C
【解析】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，
则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：，，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是：，，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足,
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
，，，
，，，，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6 7
P
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
，，
，，，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布.
【例8-4】纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.
【例8-5】每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
【答案】B
【解析】有放回地排列个数字，得个基本事件，其中不含0的基本事件为．
由题意得，即，∴, ∴最小取22．
【例8-6】一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
【答案】
【解析】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为，则，，，
所以.
【例8-7】甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
【解析】(1)两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为；
(2)依题意X=2，3，4，5，
，
X=3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球， ，
X=4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，或前四个全是白球，
，
X=5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球，
第5个是白球 ，
分布列为：
X 2 3 4 5
P
数学期望；
【例8-8】袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
(1)若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；
(2)若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；
(3)若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．
【解析】(1)摸出的2个小球为异色球的种数为++ =19，从8个球中摸出2个小球的种数为，故所求概率；
(2)从袋中一次摸出3个小球，黑球与白球的个数都没有超过红球个数有三种情况：
①摸出1个红球，1个黑球，1个白球，共有种；
②摸出2个红球，1个其他颜色球，共有种；
③摸出3个球均为红球， 共有种；
因为从8个球中摸出3个小球的种数为，
所以所求概率；
(3)由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个黑球或1个白球2个红球，
所以所求概率.
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专题三十八 概率的基本性质与古典概型
知识归纳
一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
二、古典概型
（1）定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
三、概率的基本性质
（1）对于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
方法技巧与总结
1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
(1)本试验是否具有等可能性；
(2)本试验的基本事件有多少个；
(3)事件是什么．
2、解题实现步骤：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解题方法技巧：
(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
典例分析
题型一、概率的基本性质
【例1-1】已知，，，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
【例1-2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【例1-3】下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-4】甲 乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲 乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
则甲 乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
【例1-5】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【例1-6】已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
【例1-7】有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．
题型二、简单的古典概型问题
【例2-1】一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10，4张3，乙手里有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【例2-5】在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例2-6】我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2-7】甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型三、古典概型与向量的交汇问题
【例3-1】从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】如图，在平面直角坐标系中，为正十边形的中心，在轴正半轴上，任取不同的两点、（其中，，且，），点满足，则点落在第二象限的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-4】已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型四、古典概型与几何的交汇问题
【例4-1】河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从点沿单位正方形的边以最短路径运动到点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过点的概率为______.
【例4-2】连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
【例4-3】平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【例4-4】对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积等于的平行四边形的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型五、古典概型与函数的交汇问题
【例5-1】一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
【例5-2】对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．
【例5-3】已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】已知函数．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数有两个极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【例5-5】已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-6】设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型六、古典概型与数列的交汇问题
【例6-1】我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为.在这些不同数列中随机抽取一个数列，则是递增数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】已知某抽奖活动的中奖率为，每次抽奖互不影响．构造数列，使得，记，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-7】已知数列的前n项和为，且，若数列满足，从中任取两个数，则至少一个数满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型七、古典概率与统计的综合
【例7-1】下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例7-2】2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在”为事件，求．
【例7-3】某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
期中数学成绩（单位：分） 频数 频率
3 0.05
x p
9 0.15
15 0.25
18 0.30
y q
合计 60 1.00
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
【例7-4】致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．
(1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；
(2)若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
题型八、有放回与无放回问题的概率
【例8-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
【例8-2】一个袋子中放大小相同的9个小球，其中5个红色球，4个白色球，若从中摸出1个球后放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，从中摸出1个球后不放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
【例8-4】纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例8-5】每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
【例8-6】一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
【例8-7】甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
【例8-8】袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
(1)若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；
(2)若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；
(3)若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．
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