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24.3 正多边形和圆第2课时　正多边形的画法
2023—2024学年人教版数学九年级上册
　　实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．要制造下图中的零件，也需要等分圆周．
　　正多边形在生产、生活中有着广泛的应用，会画正多边形是我们必备的能力之一．
　　想一想：如何画一个正六边形？
探究
　　分析：要作半径为 R 的正 n 边形，只要把半径为 R 的圆周 n 等分，然后顺次连接各分点即可．
　　因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角就可以等分圆周．
　　如何等分圆周？
　　（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ ＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点；
O
60°
60°
F
60°
E
60°
D
60°
C
60°
A
B
　　解：方法 1 （1）作一个⊙O ；
O
60°
60°
F
60°
E
60°
D
60°
C
60°
A
B
　　方法 1 （3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
　　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°，再用圆规依次截取 ，得到圆的 6 个等分点；
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 2 （1）作一个⊙O ；
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 2 （3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
还有其他方法吗？
　　对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．
　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．
A
B
O
C
D
E
F
A
C
B
D
O
　　如图，作⊙O 的内接正方形．
　　解：用直尺和圆规作两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出⊙O 的内接正方形，如图所示．
探究
归纳
　　用等分圆周画正多边形的方法：
　　1．只用量角器：在半径为 R 的圆中，用量角器把 360°圆心角 n 等分，即可把半径为 R 的圆周 n 等分，顺次连接各分点即可得到正 n 边形．
　　2．用量角器和圆规：在半径为 R 的圆中，先用量角器画出一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ；再用圆规在圆周上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的 n 等分点，顺次连接各分点即可得到正 n 边形．
归纳
　　3．用圆规和直尺：用尺规等分圆周，只能作正方形、正六边形等特殊正多边形．
思考
　　方法 1 可以将圆周任意等分，但当边数很多时，容易有较大的误差，而且操作比较麻烦；
　　这三种方法的优点和缺点各是什么？
　　方法 2 相对比较简单，但当边数很多时，容易有较大的误差；
　　方法1和方法2的限制条件少，可以作为画圆内接正多边形的通法．
　　方法 3 是一种比较准确的等分圆周的方法，但由于它不能将圆周任意等分，故有很大的局限性．
　　解：先画⊙O 的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，△DBF是⊙O 的内接正三角形．
A
B
O
D
E
F
　　例1　如图，画⊙O 的内接正三角形．
C
　　解：先画圆的内接正四边形，再在正四边形的基础上用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，即可作正八边形．如图，八边形 AHBFCGDE 是⊙O 的内接正八边形．
　　例2 如图，画⊙O 的内接正八边形．
A
C
B
D
O
E
F
G
H
　　按照此方法可以作出正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……也可以作出正十二边形、正二十四边形……
　　许多图案设计都和圆有关，下图就是一些利用等分圆周设计出的图案．
　　其中一个图案的设计过程如下：
　　利用某些正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽的图案，如图．
　　试一试：利用圆或正多边形设计一些图案．
练习
等分圆周
设计图案
量角器
尺规作图
画正多边形
谢谢

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