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25.2第1课时　用列举法求概率（1）
2023—2024学年人教版数学九年级上册
　　与几何图形面积有关的概率的求法
　　对于受几何图形的面积影响（试验结果是__________）的随机事件，在一个平面区域上的每个点，事件发生的可能性都______，事件发生的概率等于__________________________除以_________
_______________________，即
无限多次
相等
所求事件 A 发生的区域面积
此事件
所有可能发生的区域面积
　　1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
　 （1）两枚硬币全部正面向上；
　 （2）两枚硬币全部反面向上；
　 （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上．
问题
　　1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
　 （1）两枚硬币全部正面向上；
问题
　　解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：
　　正正，正反，反正，反反．
　　所有可能的结果共有 4 种，并且这 4 种结果出现的可能性相等．
　 （1）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上（记为事件 A）的结果只有 1 种，即“正正”，所以 P(A)＝　．
　　1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
　 （2）两枚硬币全部反面向上；
　 （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上．
问题
　　解：（2）两枚硬币全部反面向上（记为事件 B）的结果也只有 1 种，即“反反”，所以 P(B)＝　．
　 （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件 C）的结果共有 2 种，即“反正”“正反”，所以 P(C)＝　＝　．
归纳
　　在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法（列举法），求出随机事件发生的概率．
　　当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举法．
思考
　　“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
　　因为“同时抛掷两枚硬币”和“先后两次抛掷一枚硬币”的试验所有可能的结果都是“正正”“正反”“反正”“反反”4 种，所以这两种试验的所有可能结果是一样的．
归纳
　　可以将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，再掷一枚，分步思考：在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况；同理，在第一枚为反面的情况下第二枚硬币也有正、反两种情况．所有的结果共有 4 种，并且这 4 种结果出现的可能性大小相等．
　　与“掷一枚硬币”不同，“掷两枚硬币”的结果涉及两个因素（第一枚硬币与第二枚硬币），可以采用“分步”的策略对两个因素逐一进行分析．
问题
　　2．同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
　 （1）两枚骰子的点数相同；
　 （2）两枚骰子点数的和是 9；
　 （3）至少有一枚骰子的点数为 2．
思考
　　问题 2 的试验涉及几个因素？能否运用直接列举法求出试验所有可能的结果？
　　与问题 1类似，问题 2 的试验也涉及两个因素（第一枚骰子和第二枚骰子），但这里每个因素的取值个数要比问题 1 多（抛一枚硬币有 2 种可能的结果，但掷一枚骰子有 6 种可能的结果），因此试验的结果数也就相应要多很多．因此，直接列举法会比较繁杂，容易重复和遗漏试验结果，不推荐使用直接列举法．
　　解：两枚骰子分别记为第 1 枚和第 2 枚，可以用表格列举出所有可能出现的结果．
　　第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表格可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有 36 种，并且它们出现的可能性相等．
　　解：（1）两枚骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 种（表中的红色部分），即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，所以 P(A)＝　 ＝　．
　　第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
　　解：（2）两枚骰子的点数和是 9（记为事件 B）的结果有 4 种（表中的黄色部分），即(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，所以 P(B)＝　 ＝　．
　　第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
　　解：（3）至少有一枚骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有11 种（表中的绿色部分），所以 P(C)＝　 ．
　　第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
归纳
　　当问题涉及两步试验或一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
思考
　　就问题 2 的 3 个问题而言，“把一枚骰子掷两次”也可以取与“同时掷两枚骰子”同样的试验结果，因此作此改动对所得结果没有影响．
　　如果把问题 2 中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？
　　例 1　有四张完全相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
　 （1）用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A，B，C，D 表示）；
A
B
C
D
　　解：（1）用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果．
　　第1次 第2次 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
　　例 1　有四张完全相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
　 （2）求摸出的两张纸牌正面上所画几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
A
B
C
D
　　第1次 第2次 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
　　解：（2）因为只有纸牌 B，C 上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，由表格可知，有 4 种结果符合要求，
　　所以 P＝　＝　．
归纳
有放回选取和无放回选取在列举法求概率中的区别
　　有放回选取和无放回选取是两种完全不同的选取方式．一般来说，有放回选取允许有重复的事件结果，无放回选取则不能有重复的事件结果，在列举时，要注意这两种选取方式的不同造成的结果的差异．
　　例 2　一个不透明的盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外其余都相同．甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏．规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里．充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．试判断这个游戏对甲、乙两人是否公平．
　　　甲 乙 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
　　解：由表可知，共有 36 种等可能的结果，其中“同为奇数或同为偶数”的结果有 18 种，“一奇一偶”的结果有 18 种．所以 P(甲赢)＝　＝　，P(乙赢)＝　＝　，所以游戏是公平的．
归纳
　　利用概率判断游戏的规则是否公平的方法
　　利用概率判断游戏的规则是否公平，其思路是确定各事件的概率，通过比较事件的概率确定其公平性．如果各事件的概率相等，则说明游戏规则公平；概率不相等，则游戏规则不公平．
用列举法求概率
列表法
直接列举法
两步问题
数据较少
谢谢

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