资源简介

第1节 椭圆及其标准方程
撰写：刘一博 审核：胡海欧
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 掌握二元一次不等式表示的平面区域
2. 理解线性规划的意义和线性约束条件,线性目标函数,可行解,可行域,最优解等基本概念
3. 掌握线性规划问题的图解法,并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
二、重点与难点
1．重点是理解二元一次不等式表示的平面区域；
2．把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点
三、本节知识理解
本节主要学习内容是二元一次不等式（组）表示的平面区域以及线性规划的问题。
关于表示的区域，常用特殊点带入检验，若，常把原点带入；若，则另选一些容易计算的特殊点带入检验。线性规划主要解决物资调运，劳力（或产品）安排，合理配方（或下料）等问题。主要步骤是(1)审题；（2）设相关元，列出目标函数和线性约束条件（不等式组）；（3）作出可行域；（4）找最优解，确定目标函数的最值；（5）回答实际问题。
求线性规划的最优解，有时是整数解要根据实际问题取不足近似值或过剩近似值，一般方法有：（1）平移直线法，由网格观察最优解；（2）检验优值法，当可行域内整数点个数比较少时，可逐一带入检验；（3）调整优值法，先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的只是调整最优值，最后筛选最优解。
精题精讲
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）
解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
　　　　
所以所求椭圆标准方程为
因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，
＋
　
　又
所以所求标准方程为
另法：∵
∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查关系掌握情况.
解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

∵，2c=6.
∴
∴
∴所求椭圆的方程为：.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
.
∴
∴所求椭圆方程为：
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.
解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：
∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)
∴
故所求椭圆的标准方程为
（２）∵椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：
∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴＝１０.
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴－c－（－１０）＝２，故c=8.
∴.
∴所求椭圆的标准方程是.
说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.
(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.
例4 已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程
解：设椭圆的标准方程
则有 ，解得
所以，所求椭圆的标准方程为
例5 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
（≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件
例6 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
例7 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为
因为点为椭圆上的点，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例8 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为
因为，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例9 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
解 已知圆可化为：
圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：
基础达标
1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是 （ ）
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
答案：D
2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
答案：B
3.设α∈(0,)，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈ （）
A.(0, B.(,)
C.(0,) D.［,)
答案：B
1.已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
答案：D
2.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ）
A.6 B.3 C.3 D.
答案：A
3.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是 .
答案：
4.过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是 .
答案：
5.过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是 .
答案：
综合发展
第2节 椭圆的简单几何性质
撰写：刘一博 审核：冬焱
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；
能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；
2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题
二、重点与难点
教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
三、本节知识理解
1.学法点拨
椭圆
定义
1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0图形
方
程
标准方程
(>0)
(>0)
参数方程
范围
─a(x(a，─b(y(b
─a(x(a，─b(y(b
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
对称轴
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
离心率
准线
x=
x=
焦半径
通径
精题精讲
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程

所以，，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，
将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：
0
1
2
3
4
5
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：
例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。
（1）（2）
答：简图如下：
例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。
（1）（2）
答：简图如下：
例4写出下列椭圆的准线方程：（1） (2)
解：⑴方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
⑵方程是焦点在轴上且，的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）椭圆过(3，0)点，离心率e=。
（2）过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点。
（3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为。
（4）中心在原点，离心率为，准线方程为。
（5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是。
【解】 当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3,=,∴c=.从而b2=a2－c2=9－6=3,
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,=,
∴=,∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为=1或=1.
例6求满足下列条件的椭圆的离心率.
（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍.
（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
（3）设为椭圆的两个焦点，以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M，若直线与圆相切.
（4）若分别为椭圆的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且.
例7已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
例8椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离
解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为
再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12
例9设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，求证：
例10椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程
解：由椭圆的焦半径公式，得
，解得，从而有
所求椭圆方程为
例11已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程.
例12已知是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点.
若，求的面积；
若为钝角，求点P横坐标的取值范围.
例13已知椭圆内一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，（1）求点M坐标，使最小；（2）求点M坐标，使最大.
解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MA⊥MO得
化简得
所以
例14把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程
(1) (2).
解：(1)
(2)
例15已知椭圆上的点P(),求的取值范围.
解：＝
例16已知直线l与椭圆相交于A、B两点，弦AB中点坐标（1，1），求及直线l的方程。
例17已知椭圆
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；
求过点，且被平分的弦所在的直线方程.
例18已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程.
例19已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线被椭圆截得的弦AB的长为，且AB的中点C与椭圆中心的连线的斜率为，求这个椭圆的方程.
例20已知椭圆上有两个不同点关于直线对称，求m的取值范围.
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（ ）
A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0)
C.(－，0)、(,0) D.(0,－)、(0,)
【答案】 D
2.已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）
A.[4-2,4+2] B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2] D.[4-,4+]
【解析】由8x2+3y2=24得=1.∴-≤m≤,4-2≤2m+4≤4+2.
【答案】 A
3.椭圆25x2+9y2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）
A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6
【解析】把椭圆的方程写成标准方程：=1，知a=5，b=3，c=4.∴2a=10，2b=6，=0.8.
【答案】B
4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，∴a=2c，=.
【答案】D
5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等，则（ ）
A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9
【解析】 ∵椭圆+=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆+=1的短轴长为6，∴a2=25,b2=9.
【答案】 D
6.已知椭圆C：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
【解析】 把方程+=m2写成+=1,则a2=8m2,b2=4m2,
∴c2=4m2,∴==,e==,而椭圆+=1的离心率为.
【答案】 A
7.椭圆＝1（a＞b＞0）的准线方程是（ ）
A.y＝± Ｂ.y＝±
Ｃ.y＝± Ｄ.x＝±
【解析】 ∵椭圆焦点在y轴上，且c=
∴椭圆的准线方程为y=±.
【答案】 Ｂ
8.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是（ ）
A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的端点 D.以上都不对
【答案】B
9.已知椭圆=1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 由=,=，得a2=16,b4=4.
【答案】 D
10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是（ ）
A.=1或=1
B.=1或=1
C.+=1
D.=1
【解】 设所求椭圆的方程为
=1(a＞b＞0)
或=1(a＞b＞0).
由题意，得
解这个方程组，得.
∴所求椭圆的方程为：=1或=1.
【答案】 A
11.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为,中心到准线的距离为，则椭圆的方程为（ ）
A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
【解析】 由－(－c)=,=得a2=4,b2=1.
【答案】 A
12.椭圆=的离心率为（ ）
A. B. C. D.无法确定
【解析】 由=知e=.
【答案】 B
∴椭圆上一点的坐标可设为(acos,bsin).
【答案】 A
13.设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于=的点，那么直线OP的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】 当=时，
∴kOP=.
【答案】 D
14.点（2，3）对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为（ ）
A.kπ+(k∈Z) B.kπ+(k∈Z) C.2kπ+(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
【解析】 由得，
∴θ=2kπ+ (k∈Z).
【答案】 D
15.曲线(θ为参数)的准线方程为（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
【答案】 A
综合发展
1.椭圆＋＝1与＋＝1（0＜k＜９）的关系为（ ）
A.有相等的长、短轴 Ｂ.有相等的焦距
Ｃ.有相同的焦点 Ｄ.有相同的准线
【解析】 ∵25－k－（９－k）＝16，∴焦距相等.
【答案】 Ｂ
2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.椭圆的方程无法确定
【解析】 由题意，a=5,c=3,∴b2=a2－c2=25－9=16,
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋=1.
【答案】 C
3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A.＋=1 B.＋=1
C.＋=1 D. ＋=1
【解析】 ∵2a=18,2c=×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81－9=72.
【答案】 A
4.已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
【解析】 ∵点（3，2）在椭圆＋=1上，
∴＋=1,∴=1.
即点(±3,±2)在椭圆＋=1上.
【答案】 C
5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
【解析】由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
【答案】D
6.曲线=xy（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对
【解析】同时以-x代x，以-y代y，方程不变，所以曲线关于原点对称.
【答案】C
7.求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.
【解】 把已知方程化成标准方程：+x2=1，这里a=5,b=1,所以c==2.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，－2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，－5)、A2(0，5)、B1(－1，0)和B2(1，0).椭圆的离心率是
8.AA′是椭圆=1(a＞b＞0)的长轴，CD是垂直于长轴的弦，求直线A′C和AD的交点P的轨迹方程.
【解】 设P（x,y）,C(x0,y0),D(x0,－y0)
由A′、C、P共线得：= ①
由D、A、P共线得：= ②
由①②联立求出代入=1中得+=1,
整理得=1.
9.椭圆=1(a>b>0)的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. 或 D.
【解析】焦点到准线的距离为-c或+c，即或.
【答案】C
10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】 椭圆的两准线之间的距离为－(－)=.
∴由题意，得=4×2c,∴=.
【答案】 D
11.椭圆=1上点P到右焦点的最值为（ ）
A.最大值为5，最小值为4 B.最大值为10，最小值为8
C.最大值为10，最小值为6 D.最大值为9，最小值为1
【解析】 e=,由焦半径公式得|PF2|=5－x0,∵－5≤x0≤5,∴当x0=5时|PF2|min=1,当x0=－5时，|PF2|max=9.
【答案】 D
12.椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）
A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8]
【解析】由2a=10，2b=8，得a=5，b=4.
【答案】B
13.若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是（ ）
A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100]
【解析】由题知2a=200，2b=160，∴a=100，b=80，c=60.∴椭圆上的点到焦点的距离范围是[100-60,100+60]，即[40,160].
【答案】A
14.P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是 .
【解析】设P（x，y），则|PF1|·|PF2|=4-x2.∴|PF1|·|PF2|的最大值为4，最小值为3.
【答案】1
15.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
【解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
16.已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是x+y－4=0,离心率为，求椭圆的方程.
【解】设P（x,y）为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F（1，1）与它相对应的准线是x+y－4=0,离心率为,
∴,
∴4(x－1)2+4(y－1)2=(x+y－4)2.
即3x2+3y2－2xy－8=0为所求.
17.已知点P在椭圆=1上（a＞b＞0),F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|·|PF2|的取值范围.
【解】 设P（x0,y0）,椭圆的准线方程为y=±,不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则
∴|PF1|=y0+a,|PF2|=a－y0,
∴|PF1|·|PF2|=(a+y0)(a－y0)=a2－y02
∵－a≤y0≤a
∴当y0=0时，|PF1|·|PF2|最大，最大值为a2.当y0=±a时，|PF1|·|PF2|最小，最小值为a2－c2=b2.因此，|PF1|·|PF2|的取值范围是［b2,a2］.
18.已知点P在椭圆x2+8y2=8上，并且P到直线l：x－y+4=0的距离最小，求P点的坐标
【解析】 ∵P点在椭圆上，∴设P（2cosθ,sinθ）则有P到l的距离为
d=,
其中tan=2,当θ－=时d最小，
此时cosθ=sin=,sinθ=cos=.
∴P(,)
19.已知P(x,y)是椭圆=1上的点，求u=x+y的取值范围.
【解】 ∵椭圆的参数方程可写为,
∴可设P点的坐标为(12cos,5sin).
从而u=12cos+5sin=13sin（+arctan）.
∵－13≤13sin（+arctan）≤13，
∴u的取值范围是－13≤u≤13.
20.已知点A（0，-1）及椭圆=1，在椭圆上求一点P使|PA|的值最大.
【解】∵点P在椭圆上，∴设P的坐标为（13cosθ，12sinθ）.
∴|PA|2=(13cosθ)2+(12sinθ+1)2=170-25sin2θ+24sinθ.
∴当sinθ=-时，|PA|2最大，此时cosθ=±.
∴点P的坐标为（±，）.
第2节 椭圆的简单几何性质
撰写：刘一博 审核：冬焱
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
4．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；
5. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；
6. 能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题
二、重点与难点
教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
三、本节知识理解
1.学法点拨
椭圆
定义
1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0图形
方
程
标准方程
(>0)
(>0)
参数方程
范围
─a(x(a，─b(y(b
─a(x(a，─b(y(b
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
对称轴
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
离心率
准线
x=
x=
焦半径
通径
说明：1.表示椭圆的充要条件为：
2.离心率表示椭圆的扁平程度
3.椭圆的参数方程常用于求最值。
4.直线与椭圆有三种位置关系：相交（割线）相切（切线）相离
5.椭圆上一点处的切线方程为：
6. a.弦长公式
b.弦的中点（点差法）
精题精讲
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。
（1）（2）
例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。
（1）（2）
例4写出下列椭圆的准线方程：（1） (2)
例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）椭圆过(3，0)点，离心率e=。
（2）过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点。
（3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为。
（4）中心在原点，离心率为，准线方程为。
（5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是。
例6求满足下列条件的椭圆的离心率.
（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍.
（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
（3）设为椭圆的两个焦点，以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M，若直线与圆相切.
（4）若分别为椭圆的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且.
例7已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
例8椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离
例9设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，求证：
例10椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程
例11已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程.
例12已知是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点.
若，求的面积；
若为钝角，求点P横坐标的取值范围.
例13已知椭圆内一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，（1）求点M坐标，使最小；（2）求点M坐标，使最大.
例14把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程
(1) (2).
例15已知椭圆上的点P(),求的取值范围.
例16已知直线l与椭圆相交于A、B两点，弦AB中点坐标（1，1），求及直线l的方程。
例17已知椭圆
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；
求过点，且被平分的弦所在的直线方程.
例18已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程.
例19已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线被椭圆截得的弦AB的长为，且AB的中点C与椭圆中心的连线的斜率为，求这个椭圆的方程.
例20已知椭圆上有两个不同点关于直线对称，求m的取值范围.
基础达标
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（ ）
A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0)
C.(－，0)、(,0) D.(0,－)、(0,)
2.已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）
A.[4-2,4+2] B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2] D.[4-,4+]
3.椭圆25x2+9y2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）
A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6
4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等，则（ ）
A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9
6.已知椭圆C：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
7.椭圆＝1（a＞b＞0）的准线方程是（ ）
A.y＝± Ｂ.y＝±
Ｃ.y＝± Ｄ.x＝±
8.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是（ ）
A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点
C.不是椭圆的端点 D.以上都不对
9.已知椭圆=1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是（ ）
A.=1或=1 B.=1或=1
C.+=1 D.=1
11.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为,中心到准线的距离为，则椭圆的方程为（ ）
A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
12.椭圆=的离心率为（ ）
A. B. C. D.无法确定
13.设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于=的点，那么直线OP的斜率为（ ）
A. B. C. D.
14.点（2，3）对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为（ ）
A.kπ+(k∈Z) B.kπ+(k∈Z) C.2kπ+(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
15.曲线(θ为参数)的准线方程为（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
综合发展
1.椭圆＋＝1与＋＝1（0＜k＜９）的关系为（ ）
A.有相等的长、短轴 Ｂ.有相等的焦距
Ｃ.有相同的焦点 Ｄ.有相同的准线
2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.椭圆的方程无法确定
3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A.＋=1 B.＋=1
C.＋=1 D. ＋=1
4.已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
6.曲线=xy（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对
7.求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.
8.AA′是椭圆=1(a＞b＞0)的长轴，CD是垂直于长轴的弦，求直线A′C和AD的交点P的轨迹方程.
9.椭圆=1(a>b>0)的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. 或 D.
10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.椭圆=1上点P到右焦点的最值为（ ）
A.最大值为5，最小值为4 B.最大值为10，最小值为8
C.最大值为10，最小值为6 D.最大值为9，最小值为1
12.椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）
A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8]
13.若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是（ ）
A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100]
14.P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是 .
15.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
16.已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是x+y－4=0,离心率为，求椭圆的方程.
17.已知点P在椭圆=1上（a＞b＞0),F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|·|PF2|的取值范围.
18.已知点P在椭圆x2+8y2=8上，并且P到直线l：x－y+4=0的距离最小，求P点的坐标
19.已知P(x,y)是椭圆=1上的点，求u=x+y的取值范围.
20.已知点A（0，-1）及椭圆=1，在椭圆上求一点P使|PA|的值最大.
第3节 双曲线及其标准方程
撰写：刘文文 审核：胡海欧
三点剖析：
教学大纲及考试大纲要求：
1．掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；
2．通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力；
3．初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；
二．重点与难点
教学重点：标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组
三. 本节知识理解.
1.知识框图
名 称
椭 圆
双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
常数的关 系
（符合勾股定理的结构）
，
最大，
（符合勾股定理的结构）
最大，可以
2.要点诠释
（1）．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
（2）．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
（3）.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
精题精讲
【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值
① ②
③ ④ （）
【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
【例3】 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
【例4】 点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程
【例5】 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹
【例6】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
【例7】求下列动圆圆心M的轨迹方程:
(1)与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点A（2，0）
（2）与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.
（3）与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2:(x-3)2+y2=1内切.
【例8】已知双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
【例9】已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2
=90°，求△F1PF2的面积.
基础达标：
1.选择题
（1）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（ ）
A.3＜k＜9 B.k＞3
C.k＞9 D.k＜3
（2）方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 （ ）
A.k＜-1 B.k＞1
C.-1＜k＜1 D.k＜-1或k＞1
（3）方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（ ）
A.二 B.四 C.二或四? D.一或三
（4）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）
A B C 5 D 9
（5）设是双曲线的焦点，点P在双曲线上,且,则点P到轴的距离为( )
A 1 B C 2 D
（6）P为双曲线上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（）
A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 无公共点或相交
（7）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）
A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（8）方程=1表示双曲线，则k∈（ ）
A.(5，10) B.(－∞，5)
C.(10，+∞) D.(－∞，5)∪(10，+∞)
（9）在双曲线中，,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A.－x2=1 B.－y2=1 C.x2－=1 D.y2－=1
（10）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点A（2，-）及点B（-，4），则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
2.填空题
（1）已知双曲线的焦点F1（-4，0），F2（4，0），且经过点M（2，2）的双曲线标准方程是______.
（2）双曲线的焦点在x轴上，且经过点M（3，2）、N（-2，-1），则双曲线标准方程是______.
（3）已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为600，那么的值为
（4）焦点在x轴上，中心在原点且经过点P（2，3）和Q（－7，－6）的双曲线方程是______.
（5）P是双曲线x2－y2=16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|=______.
3．解答题
（1）判断方程所表示的曲线。
（2）求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
（3）求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程
（4）根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（a）过点P（3，），Q（-，5）且焦点在坐标轴上.
（b）c=,经过点（-5，2），焦点在x轴上.
（c）与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2）
综合发展：
1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对
2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
3.已知点P（x，y）的坐标满足=±4，则动点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对
4.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（ ）
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
5.已知双曲线的焦距为26，=,则双曲线的标准方程是（ ）
A.=1 B.=1 C. =1 D.=1或=1
6.F1、F2为双曲线－y2=－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
7.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y+20=0上，两焦点关于原点对称，，则此双曲线的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=－1 D.=－1
8.已知ΔABC中，B、C是两个定点，并且sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
9.双曲线2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.
10.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.
11.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（-2，-3）、（7，6），求双曲线的方程.
12.已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y=kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.
13.已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积.
14.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
15.求与⊙C1:x2+(y-1)2=1和⊙C2：x2+(y+1)2=r2（r＞0）都外切的动圆圆心M的轨迹方程.
第3节 双曲线及其标准方程
撰写：刘文文 审核：胡海欧
三点剖析：
教学大纲及考试大纲要求：
1．掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；
2．通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力；
3．初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；
二．重点与难点
教学重点：标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组
三.本节知识理解.
1.知识框图
名 称
椭 圆
双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
常数的关 系
（符合勾股定理的结构）
，
最大，
（符合勾股定理的结构）
最大，可以
2.要点诠释
（1）．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
（2）．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
（3）.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
精题精讲
【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值
① ②
③ ④ （）
分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是
解：①是双曲线， ；
② 是双曲线， ；
③是双曲线， ；
④是双曲线，
【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
(,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
【例3】 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组
解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
（）
则有 ，即
解关于的二元一次方程组，得
所以，所求双曲线的标准方程为
【例4】 点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件
解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为
因为点A位于双曲线上，从而有
，即
所以，的重心G的轨迹方程为
点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质
【例5】 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹
分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时
，由得
,即
所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：
点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的
【例6】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值
解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴　 2c=800，c=400，＝44400
∵　 |PA|－|PB|＝680＞0，
∴　 ＞0
所求双曲线的方程为
（＞0）
例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用
想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）
点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
【例7】求下列动圆圆心M的轨迹方程:
(1)与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点A（2，0）
（2）与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.
（3）与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2:(x-3)2+y2=1内切.
分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1＞r2，则当它们外切时，|O1O2|=r1+r2;当它们内切时，|O1O2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.
解：设动圆M的半径为r
(1)∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外
∴|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|=
∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：
a=,c=2,b2=c2-a2=
∴双曲线方程为2x2-=1(x≤-)
(2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切
∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,
|MC2|-|MC1|=1
∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：
a=,c=1,b2=c2-a2=
∴所求的双曲线方程为：
4y2-=1(y≥)
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切
∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4
∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：
a=2,c=3,b2=c2-a2=5
∴所求双曲线方程为：
(x≥2)
评述：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.
（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.
【例8】已知双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.
解：∵点P在双曲线的左支上
∴|PF1|-|PF2|=6
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36
∴|PF1|2+|PF2|2=100
∵|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100
∴∠F1PF2=90°
评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.
（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.
【例9】已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2
=90°，求△F1PF2的面积.
分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.
解：∵P为双曲线上的一个点且F1、F2为焦点.
∴||PF1|-|PF2||=2a=4
|F1F2|=2c=2
∵∠F1PF2=90°
∴在Rt△PF1F2中
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20
∵（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16
∴20-2|PF1||PF2|=16
∴|PF1|·|PF2|=2
∴S|PF1|·|PF2|=1
由此题可归纳出S△F1PF2=b2cot∠
评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
基础达标：
1.选择题
（1）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（ ）
A.3＜k＜9 B.k＞3
C.k＞9 D.k＜3
答案：C
（2）方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 （ ）
A.k＜-1 B.k＞1
C.-1＜k＜1 D.k＜-1或k＞1
答案：C
（3）方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（ ）
A.二 B.四 C.二或四? D.一或三
答案：C
（4）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）
A B C 5 D 9
答案：B
（5）设是双曲线的焦点，点P在双曲线上,且,则点P到轴的距离为( )
A 1 B C 2 D
答案：B 的面积为，从而有
（6）P为双曲线上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（）
A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 无公共点或相交
答案：C
（7）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）
A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 若ax2+by2=c表示双曲线，即=1表示双曲线，则＜0,这就是说“ab＜0”是必要条件，然而若ab＜0,c可以等于0，即“ab＜0”不是充分条件.
【答案】 A
（8）方程=1表示双曲线，则k∈（ ）
A.(5，10) B.(－∞，5)
C.(10，+∞) D.(－∞，5)∪(10，+∞)
【解析】 ∵方程=1表示双曲线，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10.
【答案】 A
（9）在双曲线中，,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A.－x2=1 B.－y2=1 C.x2－=1 D.y2－=1
【解析】 把椭圆的方程写成标准方程=1，
∴椭圆的焦点坐标是(±，0).
∵双曲线与椭圆有相同的焦点，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c=,
∵,∴a=2,
∴b2=c2－a2=1,
∴双曲线的方程为－y2=1.
【答案】 B
（10）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点A（2，-）及点B（-，4），则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】∵双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为my2-nx2=1(m>0,n>0).把A、B两点的坐标代入得解之得
【答案】D
2.填空题
（1）已知双曲线的焦点F1（-4，0），F2（4，0），且经过点M（2，2）的双曲线标准方程是______.
答案：
（2）双曲线的焦点在x轴上，且经过点M（3，2）、N（-2，-1），则双曲线标准方程是______.
答案：
（3）已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为600，那么的值为（答案： 4＝16）
（4）焦点在x轴上，中心在原点且经过点P（2，3）和Q（－7，－6）的双曲线方程是______.
【解析】 依题意可设双曲线方程为：=1(a>0,b>0)
∴，即，解得
∴双曲线的方程为=1
【答案】 =1
（5）P是双曲线x2－y2=16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|=______.
【解析】 由x2－y2=16知a=4
又∵P在双曲线x2－y2=16的左支上
∴|PF1|－|PF2|=－2a=－8
即|PF1|－|PF2|=－8.
【答案】 －8
3．解答题
（1）判断方程所表示的曲线。
解：①当时，即当时，是椭圆；
②当时，即当时，是双曲线；
（2）求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
答案：
（3）求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程答案：
（4）根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（a）过点P（3，），Q（-，5）且焦点在坐标轴上.
（b）c=,经过点（-5，2），焦点在x轴上.
（c）与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2）
解：（1）设双曲线方程为
∵P、Q两点在双曲线上
∴
解得
∴所求双曲线方程为
评述：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.
注意：此种设法在本书教案§8.1.2备课资料例1的（1）小题已经用过，我们不难发现对于椭圆与双曲线，这种设法都可以用.
（2）∵焦点在x轴上，c=
∴设所求双曲线方程为
(其中0＜λ＜6)
∵双曲线经过点（-5，2）
∴
∴λ=5或λ=30（舍去）
∴所求双曲线方程是
评述：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.
（3）设所求双曲线方程为：
(0＜λ＜16)
∵双曲线过点（3，2）
∴
∴λ=4或λ=-14（舍）
∴所求双曲线方程为
评述：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法.
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.
综合发展：
1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对
【解析】∵||PF1|-|PF2||=|F1F2|，∴P点的轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线.
【答案】C
2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
【解析】 把方程mx2－my2=n写成标准方程=1
∵mn＜0,∴＜0,－＞0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
【答案】 D
3.已知点P（x，y）的坐标满足=±4，则动点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对
【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为4>4，∴P的轨迹是双曲线.
【答案】B
4.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（ ）
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
【解析】 ∵A、B在双曲线的右支上，
∴|BF1|－|BF2|=2a,|AF1|－|AF2|=2a,
∴|BF1|+|AF1|－(|BF2|+|AF2|)=4a
∴|BF1|+|AF1|=4a+m
∴△ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.
【答案】 B
5.已知双曲线的焦距为26，=,则双曲线的标准方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1 D.=1或=1
【解析】 ∵2c=26,=,
∴c＝13，a2＝25.
∴b2=132－25=144.
∴双曲线的标准方程为=1或=1.
【答案】 D
6.F1、F2为双曲线－y2=－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】 双曲线－y2=－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2=90°,∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2.
即｜PF1｜2+｜PF2｜2=20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜=±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜+｜PF2｜2=4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜=16，∴=｜PF1｜·｜PF2｜=4.
【答案】 B
7.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y+20=0上，两焦点关于原点对称，，则此双曲线的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=－1 D.=－1
【解析】 在方程5x－2y+20=0中，令x=0得：y=10，
∵双曲线的一个焦点在直线5x－2y+20=0上又在y轴上，且两焦点关于原点对称，
∴c=10,
∵,∴a=6,∴b2=c2－a2=100－36=64.
∴双曲线的方程为=1，即=－1.
【答案】 D
8.已知ΔABC中，B、C是两个定点，并且sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|.∵B、C为定点，∴|BC|为常数.
∴点A的轨迹是双曲线的一部分.
【答案】C
9.双曲线2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.
【解】 把双曲线的方程写成标准形式，=1.
当k＞0时，a2=,b2=k，由题知+k=9即k=6.
当k＜0时，a2=－k,b2=－,－k－=9即k=－6
综上所述k=±6为所求.
10.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.
【解】 ∵双曲线方程为=1
∴c==13,于是焦点F1（－13，0）、F2（13，0），设过点F1的垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13,y)(y>0).
∴,∴y=,即|AF1|=
又∵|AF2|－|AF1|=2a=24,∴|AF2|=24+|AF1|=24+=
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或.
11.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（-2，-3）、（7，6），求双曲线的方程.
【解】当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0)，则由题知
解之得
∴双曲线的方程为=1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为py2-qx2=1(p>0,q>0)，则
此方程组的解使p、q都为负值，故应舍去.
综上所述，所求双曲线的方程为=1.
12.已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y=kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.
【解】 (1)由消y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0
由
得k的取值范围为（－，－1）∪（－1，1）∪（1，）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）得x1＋x2＝－，x1x2＝－
又l过点D(0，－1)
∴Ｓ△OAB＝Ｓ△OAD＋Ｓ△OBD＝｜x1｜＋｜x2｜＝｜x1－x2｜＝
∴（x1－x2）2＝（2）2
即（）2＋＝８
∴k＝0或k=±.
13.已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积.
【解】|F1F2|2=4c2=4×(24+16)=160.在ΔF1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=160.
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=160. ①
又∵|PF1|-|PF2|=±2，∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=96. ②
①-②得|PF1|·|PF2|=64.
∴=|PF1|·|PF2|·sin60°=×64×=16.
【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：=b2cot=16×cot=16.
14.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
【解】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），C（-5，2）.∵|PB|-|PA|=4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是(x≥2). ①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为
x-y+7=0. ②
将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-（舍）.于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=，∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
15.求与⊙C1:x2+(y-1)2=1和⊙C2：x2+(y+1)2=r2（r＞0）都外切的动圆圆心M的轨迹方程.
解：设动圆圆心M（x,y），半径为R，则有以下关系：
|MC1|-|MC2|=（R+1）-（R+r）=1-r
|C1C2|=2
①当0＜r＜1时，⊙C1、C2相离，又有：
|MC1|-|MC2|=1-r＜|C1C2|=2且|MC1|＞|MC2|,则点M的轨迹为双曲线下支
设其方程为(y＜0)，得
a=,c=1,
b2=c2-a2=
∴所求点的轨迹方程为：
(y＜0)
②当1＜r＜3时，⊙C1、⊙C2相交，有
|MC1|-|MC2|＜|C1C2|,且|MC1|＜|MC2|
∴点M的轨迹为双曲线
的上支位于圆C1、C2之外的部分，且过圆C1、C2的交点
解
得
或
∴所求点的轨迹方程为：
(y≥)
③当r=1时，⊙C1、C2外切，这时有|MC1|=|MC2|
∴所求点M的轨迹为线段C1C2的垂直平分线，即y=0
④当r=3时，⊙C1、⊙C2内切，这时有：
|MC2|-|MC1|=2=|C1C2|
∴所求点M的轨迹为一条射线
即x=0(y≥2)
⑤当r＞3时，⊙C2内含⊙C1
∴此时点M无轨迹
第4节 双曲线的简单几何性质
撰写：刘文文 审核：胡海欧
三点剖析：
教学大纲及考试大纲要求：
1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义
3．能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题
二．重点与难点
教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程
教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程
三.（1）本节知识理解
椭圆
双曲线
方程
图形
顶点坐标
（±a,0）
(0,±b)
(0,±a)
(±b,0)
(±a,0)
(0,±a)
对称轴
x=0,y=0
焦点坐标
(±c,0)
(0,±c)
(±c,0)
(0,±c)
对称中心
（0，0）
离心率
准线方程
渐近线方程
（2）要点诠释
1．范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
2．顶点
顶点：
特殊点：
实轴：长为2a, a叫做实半轴长
虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
3．渐近线
过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线
4．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
5．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
6．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线
7．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
8．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
9． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．
10．准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
11.双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线
，
是其左右焦点
则由第二定义：，
同理
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中分别是双曲线的下上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）
12．焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：
设两交点
当双曲线焦点在x轴上时，
焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
13．通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
直接应用焦点弦公式，得到
14.直线与双曲线的位置关系:相交，相切，相离
（1）相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）
（2）相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线
（3）相离：直线与双曲线无公共点。
15.a.弦长公式
b.弦的中点（点差法或韦达定理）
精题精讲
【例1】(1)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图
(2)求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【例2】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程
【例3】已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角.
【例4】双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．

【例5】点p(x,y)与定点F2(c,0)的距离与到的距离之比为常数，求P的轨迹方程
【例6】已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.
【例7】】在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.
【例8】双曲线右支上一点到左准线的距离为8，求它到右焦点的距离。
【例9】双曲线上有任意一点是双曲线的焦点，，则的面积是多少？
【例10】直线与双曲线有两个不同的交点，
（1）求取值范围
（2）设交点为，若以为直径的圆恰好过原点，求的值
【例11】（1）若直线与双曲线只有一个交点，求的取值范围。
（2）若直线与双曲线的左支有两个不同的交点，求的取值范围。
【例12】双曲线的中心在原点，焦点在轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点，若，,求双曲线的方程。
【例13】已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系（k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：
【例14】过点的直线与双曲线相交于两点，且是线段的中点，求直线的方程。
【例15】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别为，左准线为，能否在双曲线的左支上找一点P，使得是P到的距离与的等比中项？
【例16】己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2.
（1）求L1的斜率k1的取值范围；
（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值.
【例17】如图8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.
基础达标：
1.(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
3.以y=±x为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）
A.4x2-9y2=1 B.4y2-4x2=1 C.4x2-9y2=λ(λ∈R且λ≠0) D.9x2-4y2=1
4.焦点为(0，6)且与双曲线－y2=1有相同渐近线的方程是（ ）
A. B. C. D.
5.双曲线=1与=λ（λ≠0）有相同的（ ）
A.实轴 B.焦点 C.渐近线 D.以上都不对
6.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
7.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ）
A.x2－y2=96 B.y2－x2=160 C.x2－y2=80 D.y2－x2=24
8.实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
9.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是（ ）
A.45° B.30° C.60° D.90°
10.双曲线=1的准线方程为（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
11.双曲线=1的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C.或 D.或
12.准线方程为y=±1，离心率为的双曲线的方程是（ ）
A.2x2－2y2=11 B.x2－y2=2 C.y2－x2=2 D.y2－x2=－2
13.如果双曲线=1上一点P到它的右焦点的距离为8，那么P到它的右准线距离是（ ）
A.10 B. C.2 D.
14.双曲线2mx2－my2=2的一条准线是y=1,则m的值为________.
15.已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是______.
16.双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________.
17.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为 .
18.若点P在双曲线x2-=1上，则P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 .
19.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线的离心率为 .
20.双曲线=1与直线y=kx－1只有一个公共点，求k的值.
21.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
综合发展：
1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
2.一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为 （ ）
A.或 B.或 C.或 D.
3.双曲线的两个焦点分别是(0，－5)、(0，5)，离心率为1.5，则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
4.平面内动点P到两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a,则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线或两条射线 C.两条射线 D.椭圆
5.如果双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线方程是x±3y=0，那么该双曲线的方程是（ ）
A.y2-=1 B.y2-=1 C.-y2=1 D.-=1
6.设双曲线＝1（0＜a＜b）的半焦距为c，设直线l过（a,0）和(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，一条准线方程为5y-9=0，则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
8.如果双曲线=1上一点阵字库P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离为（ ）
A. B.9 C. D.
9.双曲线的焦点是（±,0）,渐近线方程是y=±x,则它的两条准线间的距离是（ ）
A. B. C. D.
10.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
11.已知点P在双曲线=1上，则（ ）
A.P到双曲线中心的距离的最小值为9
B.P到双曲线的准线的最小距离为3
C.P到双曲线的焦点的最小距离为2
D.P到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值
12.对于双曲线=1(a＞0，b＞0,c=)填充下列各题：
(1)它的准线与渐近线交点到中心的距离等于______；
(2)它的焦点到渐近线的距离等于______；
(3)它的虚轴的端点到顶点的距离等于______；
(4)它的焦点到相应准线的距离等于______；
(5)当离心率e≠时，用e表示两渐近线的夹角的正切的表达式是______.
13.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是________.
14.双曲线=1的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于________.
15.双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积是______.
16.已知双曲线x2－3y2=3上一点P到左右焦点的距离之比为1∶2,求P点到右准线的距离.
17.过双曲线=1的焦点F(c,0)作渐近线y=x的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x=上.
18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
（1）求此双曲线方程；
（2）若直线系kx－y－3k+m=0(其中k为参数)所过定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M.
19.已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点F且与x轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q.若∠APB=arctan,b=1，求双曲线方程.
20.如图，直线l交双曲线＝1及其渐近线于A、D、B、C四点，求证：｜AB｜＝｜CD｜.
21.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.
22..双曲线x2－y2=a2的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上的任意一点，求证：｜PF1｜、
｜PO｜、｜PF2｜成等比数列.
23.经过双曲线x2－=1的右焦点F2作倾斜角为30°的直线，与双曲线交于A、B两点，求：
(1)｜AB｜；（2）△F1AB的周长(F1是双曲线的左焦点).
24.已知双曲线=1(a>0,b>0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
25.已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线FF2的夹角为?，tan?=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1，求双曲线C的方程.
第4节 双曲线的简单几何性质
撰写：刘文文 审核：胡海欧
三点剖析：
教学大纲及考试大纲要求：
1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义
3．能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题
二．重点与难点
教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程
教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程
三.（1）本节知识理解
椭圆
双曲线
方程
图形
顶点坐标
（±a,0）
(0,±b)
(0,±a)
(±b,0)
(±a,0)
(0,±a)
对称轴
x=0,y=0
焦点坐标
(±c,0)
(0,±c)
(±c,0)
(0,±c)
对称中心
（0，0）
离心率
准线方程
渐近线方程

（2）要点诠释
1．范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
2．顶点
顶点：
特殊点：
实轴：长为2a, a叫做实半轴长
虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
3．渐近线
过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线
4．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
5．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
6．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线
7．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
8．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
9． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．
10．准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
11.双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线
，
是其左右焦点
则由第二定义：，
同理
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中分别是双曲线的下上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）
12．焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：
设两交点
当双曲线焦点在x轴上时，
焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
13．通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
直接应用焦点弦公式，得到
14.直线与双曲线的位置关系
精题精讲
【例1】求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图
分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答
解：把方程化为标准方程
由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2．
顶点坐标是（－1，0），（1，0）
焦点的坐标是(－，0)，(，0)．
渐近线方程为，即
【例2】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程
分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可
解：设与共渐近线且过的
双曲线的方程为
则 ，从而有
所求双曲线的方程为
【例3】求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把方程化为标准方程
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3．
焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)．
离心率
渐近线方程为，即
【例4】 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。
解：如图所示，建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．
设双曲线的方程为
令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．因为点B、C在双曲线上，所以
① 且 ②
解方程组，得
（负值舍去）
代入方程①，得
化简得
19b2＋275b－18150＝0　　　 ③
解方程③(使用计算器计算)，得
b≈25(m)．
所以所求双曲线方程为
点评： 这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．
【例5】点p(x,y)与定点F2(c,0)的距离与到的距离之比为常数，求P的轨迹方程
解：设d是点P到直线的距离．根据题意得
化简，得 （）
这是双曲线的标准方程
【例6】已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角.
【解】 设实轴与渐近线的夹角为α,则secα=2,即cosα=
∴α=,∴2α=π
∴两渐近线的夹角为π－π=.
【点评】 （1）离心率e与α的关系即cosα=.
（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为π.
【例7】设点P到点M（-1，0）、N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围.
【解】设点P的坐标为（x，y），由题意得=2，即y=±2x(x≠0).
∴P、M、N三点不共线.∴||PM|-|PN|<|MN|=2.
∵||PM|-|PN|=2|m|>0，∴0<|m|<1.
∴点P在以M、N为焦点、实轴长为2|m|的双贡线上.∴=1.
把y=±2x代入并整理得x2=.
∵x≠0,x2>0,∴>0.∴0<|m|<，
即m的取值范围是（-，0）∪（0，），
【点评】审清题意，列出y=±2x(x≠0)及=1的解题的关键.
【例8】如图8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.
【解】 建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为＝1. 图8—8
∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.
依题意，记A（－c，0），C（，ｈ），Ｅ（x0，y0），
其中c=|AB|，h是梯形的高.
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝
∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得：
＝1 ①
=1 ②
由①得：代入②并整理得：λ＝
又,得：
解得≤e≤
∴双曲线离心率的取值范围为［，］
.【点评】 λ＝也可整理为e2＝＝
观察知≤e≤.
【例9】等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点.求证：
（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；
（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.
【证明】 （1）不妨设等轴双曲线的方程为＝1
设直线MN的方程为x=b(b>a)
如图8—7易求得
N(b,) 图8—7
∴tanNA1x＝=
tanNA2x＝=
∴tanNA1x＝＝cotNA2x
＝tan（－∠NA2x）
又∠NA1x，∠NA2x均为锐角
∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90°
根据对称性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°
（2）仿(1)可求得M(b，－)
∴＝－1
∴MA1⊥A2N同理可证MA2⊥A1N.
【点评】 利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识.
【例10】已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.
【证明】 双曲线=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，
相应的准线方程分别是x=－和x=.
∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.
∴
化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.
【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.
【例11】在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.
【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.
∵双曲线的准线方程为x=±.
∴.
∵｜PF1｜=2｜PF2｜,
∴P在双曲线的右支上，
∴，∴x=.
把x=代入方程=1得：
y=±.
所以，P点的坐标为(，±)
【点评】 此题也可用焦半径解答.
【例12】己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2.
（1）求L1的斜率k1的取值范围；
（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值.
分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）.前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一 元二次方程有两个不等的实根判别式△>0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即
|AB|=
=
（其中k为直线的斜率）.
解：（1）据题意，L1、L2的斜率都存在，
因为L1过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组
①
有两个不同的解.
在方程组①中，消去y，整理得
（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0. ②
若k12-1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故k12-1≠0，即|k1|≠1.
方程②的判别式为
△1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1)
=4(3k12-1).
设L2的斜率为k2，因为L2过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组
③
有两个不同的解.
在方程组③中消去y，整理得
（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0. ④
同理有k22-1≠0，△2=4（3k22-1）.
因为L1⊥L2，所以有k1·k2=-1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是
∴k1∈（-，-1）∪（-1，-）∪（，1）∪（1，）.
（2）双曲线y2-x2=1的顶点为（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）时，有
k1(0+)=1.
解得k1=.
∴k2=-,代入方程④得
x2+4x+3=0. ⑤
设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,
则x1+x2=-4,x1x2=3.
∴|A2B2|=
=3.
当取A1（0，-1）时，由双曲线y2-x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2.
∴L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2.
注意：直线方程与双曲线方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，绝对不能忽视对k12-1是否为零的讨论，仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论△和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-1≠0是非常必要的.
基础达标：
1.(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【解析】 ∵=,∴,∴.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
【答案】 D
3.以y=±x为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）
A.4x2-9y2=1 B.4y2-4x2=1 C.4x2-9y2=λ(λ∈R且λ≠0) D.9x2-4y2=1
【答案】B
4.焦点为(0，6)且与双曲线－y2=1有相同渐近线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【解析】 设所求双曲线的方程为=1.
∵双曲线的一个焦点为(0，6)在y轴上，
∴λ＜0,∴－λ－2λ=36,λ=－12.
∴所求双曲线方程是.
【答案】 B
5.双曲线=1与=λ（λ≠0）有相同的（ ）
A.实轴 B.焦点 C.渐近线 D.以上都不对
【答案】C
6.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 由方程组
得a=2,b=2.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为=1.
【答案】 B
7.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ）
A.x2－y2=96 B.y2－x2=160 C.x2－y2=80 D.y2－x2=24
【解析】 由椭圆=1得其焦点坐标为(0，－4)、(0，4).
∴双曲线的焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y=－x，
∴a=b，而c=4,
∴a2+b2=(4)2,2a2=48，
∴a2=24,b2=24,
∴双曲线的方程为y2－x2=24.
【答案】 D
8.实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵2a=4,∴a=2,
∵双曲线的焦点在x轴上时，则应有双曲线上的点的横坐标x应满足｜x｜≥2.
而A点的横坐标为2，不满足｜x｜≥2.
∴双曲线的焦点应在y轴上.
设双曲线的方程为=1.
∵点A(2，－5)在双曲线上，
∴=1，∴b2=16，
∴双曲线的方程为=1.
【答案】 B
9.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是（ ）
A.45° B.30° C.60° D.90°
【解析】 由特征三角形OA1B1知，cosOA1B1==，
∴∠OA1B1=45°,
∴两渐近线的夹角为90°.
【答案】 D
10.双曲线=1的准线方程为（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
【解析】 ∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的准线方程为y=±.
【答案】 B
11.双曲线=1的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C.或 D.或
【解析】 ∵a2=9,b2=7,∴c=4,
∴双曲线的焦点坐标是(±4，0)，准线方程是x=±.
∴双曲线的焦点到准线的距离为4－＝和4＋＝.
【答案】 C
12.准线方程为y=±1，离心率为的双曲线的方程是（ ）
A.2x2－2y2=11 B.x2－y2=2 C.y2－x2=2 D.y2－x2=－2
【解析】 ∵双曲线的准线方程为y=±1，离心率为，∴双曲线的焦点在y轴上，方程是标准方程，且=1,.
∴a=,c=2,∴b2=2.
∴双曲线的方程为－=1.
即y2－x2=2.
【答案】 C
13.如果双曲线=1上一点P到它的右焦点的距离为8，那么P到它的右准线距离是（ ）
A.10 B. C.2 D.
【解析】 双曲线的离心率e===,设所求距离为d,则,∴d=.
【答案】 D
14.双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ .
答案：2 4 F1（-3，0），F2（3，0） y=±x
15.双曲线2mx2－my2=2的一条准线是y=1,则m的值为________.
【解析】 可知双曲线的焦点在y轴上.∴m＜0
双曲线方程可化为=1,
因此a2=－,b2=－,c2=－
∵准线是y=1 ∴a2=c
即－=
解得m=－.
【答案】 －
16.已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是______.
答案：
17.双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________.
【解析】 ∵2c=4× ∴c2=4a2,
∴e2==4,e=2
【答案】 2
18.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为 .
【解析】∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴或.当时，e=；当时，e=.
【答案】或
19.若点P在双曲线x2-=1上，则P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 .
【解析】双曲线的一条渐近线的方程是3x-y=0，由渐近线的性质知，当P点是双曲线的一个顶点时，P到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是（±1，0），∴P到渐近线的距离的最大值为=.
【答案】[0，]
20.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线的离心率为 .
【解析】∵2a=2b，∴a=b.∴c==a.∴=.
【答案】
21.求与双曲线=1有共同的渐近线，并且经过点（－3，2）的双曲线方程.
【解】 ∵所求双曲线与双曲线=1有相同的渐近线，
∴可设所求双曲线的方程为=λ(λ≠0).
∵点(－3，2)在双曲线上，
∴λ=.
∴所求双曲线的方程为=1.
8.双曲线=1与直线y=kx－1只有一个公共点，求k的值.
【解】 直线y=kx－1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.
∴k=±.
当直线与双曲线相切时，（4－9k2）x2＋18kx－45＝0
∴Δ＝0即(18k）2＋4·（4－9k2)·45＝0
解之：k＝±
综上可知：k＝±或k＝±.
22.过双曲线＝1的右焦点作一条渐近线的平行线，它与此双曲线交于一点P，求P与双曲线的两个顶点A、A′所构成的三角形的面积.
【解】 双曲线的右焦点为(5，0)，渐近线方程为＝0.
由得y＝－.
∴
23.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
【解】∵点A与圆心O的连线的斜率为-，∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2-=λ.∵点A（4，-1）在双曲线上，∴16-=λ，λ=.
∴双曲线的标准方程为=1.
综合发展：
1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
解析：设这对共轭双曲线的方程为
和(a＞0,b＞0)
∴e1=,e2=
∴(e1+e2)2=
≥2+2+2×2=8
当且仅当a=b时，等号成立.
从而当a=b时，e1+e2取得最小值，
而且最小值为2.
答案：C
2.一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为 （ ）
A.或 B.或
C.或 D.
解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是θ，则θ=2arctan,从而tan
∵tan
∴=或
∴e=
即：e=或e=
答案：C
3.双曲线的两个焦点分别是(0，－5)、(0，5)，离心率为1.5，则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵c=5, =1.5,
∴c=5,a=,
∴b2=c2－a2=,
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的方程为=1.
【答案】 B
4.平面内动点P到两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a,则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线或两条射线
C.两条射线 D.椭圆
【解析】 2a=｜F1F2｜时为两条射线；2a＜｜F1F2｜时为双曲线.
【答案】 B
5.如果双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线方程是x±3y=0，那么该双曲线的方程是（ ）
A.y2-=1 B.y2-=1 C.-y2=1 D.-=1
【解析】设双曲的方程为-y2=λ，∵点（6，）在双曲线上，∴-()2=λ，λ=1.
【答案】C
6.设双曲线＝1（0＜a＜b）的半焦距为c，设直线l过（a,0）和(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
【解析】 由题意：ab=c2，∴a2（c2－a2）＝c4
整理得：3e4－16e2＋16＝0，解之得e2＝4或e2＝
又0＜a＜ba2＜c2－a2c2＞2a2e2＞2
故e2＝4，∴e＝2.
【答案】 A
7.已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，一条准线方程为5y-9=0，则双曲线的方程为（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】由及，得a=3，b=4，c=5，∴双曲线的方程为=1.
【答案】A
8.如果双曲线=1上一点阵字库P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离为（ ）
A. B.9 C. D.
【解析】双曲线的离心率为e=.设P点的横坐标为x0，则由焦半径公式得
9=|5+x0|=-5-x0，∴x0=-.
右准线的方程为x=，∴P到右准线的距离为+=.
【答案】D
9.双曲线的焦点是（±,0）,渐近线方程是y=±x,则它的两条准线间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ∵c=, ∴,a2=8,两准线间的距离为.
【答案】 A
10.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
【解析】 ∵2××2c,
∴.
【答案】 B
11.已知点P在双曲线=1上，则（ ）
A.P到双曲线中心的距离的最小值为9
B.P到双曲线的准线的最小距离为3
C.P到双曲线的焦点的最小距离为2
D.P到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值
【解析】∵a=3，b=4，∴c=5.∴双曲线的一个焦半径公式为|PF|=|3-x0|=|x0-3|.
∵x0≥3或x0≤-3，∴当x0=3时，|PF|min=2.
【答案】C
12.对于双曲线=1(a＞0，b＞0,c=)填充下列各题：
(1)它的准线与渐近线交点到中心的距离等于______；
(2)它的焦点到渐近线的距离等于______；
(3)它的虚轴的端点到顶点的距离等于______；
(4)它的焦点到相应准线的距离等于______；
(5)当离心率e≠时，用e表示两渐近线的夹角的正切的表达式是______.
【答案】 （1）a （2）b （3）c （4） （5）
13.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是________.
【解析】 等轴双曲线的离心率e=,由双曲线的第二定义，
得方程为,化简得xy=.
【答案】 xy=
14.双曲线=1的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于________.
【答案】 a
15.双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积是______.
【解析】 ∵2a=8,2c=10,
∴（｜PF1｜－｜PF2｜）2=64, ①
在△PF1F2中，由余弦定理得｜PF1｜2+｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos=100 ②
①－②并整理得｜PF1｜·｜PF2｜=36.
∴=｜PF1｜·｜PF2｜·sin
=9.
【答案】 9
16.已知双曲线x2－3y2=3上一点P到左右焦点的距离之比为1∶2,求P点到右准线的距离.
【解】 设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则有
解得
又设点P到右准线的距离为d，则
∴d=6
即点P到右准线的距离为6.
17.过双曲线=1的焦点F(c,0)作渐近线y=x的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x=上.
【证明】 过F与y=x垂直的直线的方程是y=－(x－c).
由方程组得
即H点的坐标是()，
∴H在直线x=上.
18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
（1）求此双曲线方程；
（2）若直线系kx－y－3k+m=0(其中k为参数)所过定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M.
【解】 (1)e2＝
∴＝1
可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵点(4，－)
在双曲线上，∴λ＝42－10＝6
因此所求双曲线方程为x2－y2＝6.
（2）直线系k(x－3)+(m－y)=0过定点M(3，m)在双曲线上，∴32－ｍ2＝6，
∴ｍ＝±.∴M(3,±)
又双曲线焦点F1（－2，0）、F2（2，0），
∴＝－1，∴F1M⊥F2M.
19.已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点F且与x轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q.若∠APB=arctan,b=1，求双曲线方程.
【解】 将x=c代入双曲线方程－y2=1,
得：y=±,设P（c,)
在Rt△PFA中，tanAPF==a(c+a)
在Rt△PFB中，tanBPF==a(c－a)
∴tanAPB=tan(∠APF－∠BPF)=
又∠APB=arctan
∴tanAPB=
∴=
∴a2=3
∴所求双曲线方程为－y2=1.
20.如图8—9，直线l交双曲线＝1及其渐近线于A、D、B、C四点，求证：｜AB｜＝｜CD｜.
【证明】 当直线l的斜率不存在时，
依据对称性知｜AB｜＝｜CD｜，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m.
由,得（b2－a2k2）x2－2a2kｍx－a2ｍ2－a2b2＝0
∴AD中点M横坐标为xM＝＝ 图8—9
由,得BC中点N横坐标为xN＝，
∴xM＝xN，而M、N均在直线l上，∴M、N重合，∴｜AB｜＝｜CD｜
综上｜AB｜＝｜CD｜.
21.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.
【解】 (1)由
消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0 ①
依题意,即－＜a＜且a≠± ②
设A(x1，y1)，B（x2，y2）则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB
∴x1x2＋y1y2＝0，
但y1y2＝a2x1x2＋a（x1＋x2）＋1
由③、④x1＋x2＝，x1x2＝
∴（a2＋1）·＋a·＋1＝0
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，
∴a·=－1,即a＝－2,直线l的方程为y＝－2x＋1
将a=－2代入③得x1＋x2＝4
∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上
即不存在实数a使A、B关于直线y＝x对称.
22..双曲线x2－y2=a2的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上的任意一点，求证：｜PF1｜、
｜PO｜、｜PF2｜成等比数列.
【证明】 设P点的坐标为(x,y)，则｜PO｜2=x2+y2.
∵双曲线的离心率e=,
准线方程是x=±,
∴
∴｜PF1｜=｜x+a｜,｜PF2｜=｜x－a｜,
∴｜PF1｜·｜PF2｜=｜2x2－a2｜=｜x2+y2｜=｜PO｜2,
∴｜PF1｜、｜PO｜、｜PF2｜成等比数列.
23.经过双曲线x2－=1的右焦点F2作倾斜角为30°的直线，与双曲线交于A、B两点，求：
(1)｜AB｜；（2）△F1AB的周长(F1是双曲线的左焦点).
【解】 (1)右焦点F2的坐标是(2，0)，
∴直线AB的方程是y=(x－2)，
把y=(x－2)代入x2－=1并整理得：8x2+4x－13=0.
∴｜AB｜=
(2)由方程8x2+4x－13=0得：
x1x2=－＜0,
∴A、B两点在双曲线的两支上，不妨设x1＜0,
∴｜AF1｜+｜BF1｜=｜a+ex1｜+｜a+ex2｜
=－（a+ex1）+（a+ex2）=e（x2－x1）
=2｜x2－x1｜=2×=3.
∴△ABF1的周长是｜AB｜+｜AF1｜+｜BF1｜=3+3.
24.已知双曲线=1(a>0,b>0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
【解】设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得
|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-x02|=x02-a2=x02-a2.
∵|x0|≥a，∴x02≥a2.∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
当|x0|=a时，上式“=”成立.∴|PF1|·|PF2|的最小值为b2.
25.已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线FF2的夹角为?，tan?=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1，求双曲线C的方程.
【解】如图8-11，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0).又设F1（-c，0），F2（c，0），其中c=，则P（0，-c）.由线段的定比分点坐标公式，得Q（c，-c）.将Q点坐标代入双曲线方程，得=1，即16()4-41()2-21=0，解之得()2=3或()2=-（舍去）.∴=，又由ab=，解得a=1，b=，∴所求双曲线方程为x2-=1.
第5节 抛物线及其标准方程
撰写：刘可嘉 审核：
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；
了解抛物线在实际问题中的初步应用；
进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。
二、重点与难点
重点： 抛物线的定义和标准方程
难点：求抛物线的标准方程
三、本节知识理解
1．知识框图
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.方程y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程，有四种形式.
（1）抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是,它的准线方程是,它的开口方向向右.
（2）抛物线y2=－2px(p>0)的焦点坐标是,它的准线方程是,它的开口方向向左.
（3）抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是,它的准线方程是,它的开口方向向上.
（4）抛物线x2=－2py(p>0)的焦点坐标是,它的准线方程是,它的开口方向向下.


顶点、对称轴、开口方向与方程形式的对应关系：

已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时，可以根据二次项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p的数值来“定量”，即求出的值.然后把两者结合起来即可.
3．抛物线上的点M(x0，y0)与焦点F的距离
（1）抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M(x0，y0)与焦点F的距离｜MF｜＝.
（2）抛物线y2＝－2px（p＞0）上的点M（x0，y0）与焦点F的距离｜MF｜＝.
（3）抛物线x2＝2py（p>0）上的点M（x0，y0）与焦点F的距离｜MF｜＝.
（4）抛物线x2=－2py(p>0)上的点M（x0,y0）与焦点F的距离|MF|=.
4.抛物线的标准方程中p具有一定的几何意义，它表示抛物线的焦点到其准线的距离，简称焦准距.因为焦点不在准线上，所以p＞0.
5.抛物线的焦点在一次项对应的轴上，开口方向由它的标准方程中2p前面正、负号决定.
精题精讲
【例1】指出抛物线的焦点坐标、准线方程.
(1) y2=6x （2）x2=4y (3)x=ay2(a≠0)
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程.
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程.
解：（1）∵p=2
∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y=-1
(2)原抛物线方程为：y2=x
∴2p=
①当a＞0时，=，抛物线开口向右
∴焦点坐标是（,0）,准线方程是：x=-.
②当a＜0时，=-,抛物线开口向左
∴焦点坐标是（,0），准线方程是：x=-.
综合上述，当a≠0时，抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.
【例2】斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线 y2=4x相交于两点A,B,求线段AB的长
[例1]分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点（3，-4）；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
【解】（1）∵点（3，-4）在第四象限，
∴抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把点（3，-4）的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y，
得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，即2p=，2p1=.
∴所求抛物线的方程为y2=x蔌x2=-y.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.
∴所求抛物线的标准方程为y2=-60x或x2=-20y.
【点评】求抛物线的标准方程需要；（1）求p；（2）判断焦点所在坐标轴的位置.
【例3】已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
【解】设M(x,y)为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义得=|y|，
平方整理，得y=x2－x+3为所求抛物线的方程.
【点评】当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.
【例4】点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l:y－3=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
【解】设点M的坐标为(x,y).
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线y－2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(0，－2)为焦点的抛物线.
∵=2,∴p=4.
∵焦点在y轴的负半轴上，
∴点M的轨迹方程x2=－8y.
【点评】若将条件化为｜MF｜＋1＝｜y－3｜，其中｜MF｜用两点间的距离公式表示，再化简得方程.过程将非常繁琐.
【例5】若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程.
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k.
解法一：设A（x1,y1）、B(x2,y2),则由
可得：
k2x2-(4k+8)x+4=0
∵直线与抛物线相交
∴k≠0且Δ＞0
则k＞-1
∵AB中点横坐标为
∴
解得:k=2或k=-1(舍去）
故所求直线方程为：y=2x-2
解法二：设A（x1,y1),B(x2,y2)
则有y12=8x1 y22=8x2
两式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)
即
∵x1+x2=4
∴y1+y2=kx1-2+kx2-2
=k(x1+x2)-4
=4k-4
∴k=
故k=2或k=-1(舍去)
则所求直线方程为:y=2x-2
【例6】若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上一动点，求｜PA｜+｜PF｜取得最小值时点P的坐标
【解析】∵｜PF｜等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，
∴｜PA｜+｜PF｜最小值是由A点向抛物线的准线x=－作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.
∴｜PA｜+｜PF｜最小时，P点的纵坐标为2，从而得P的横坐标为2.
∴P点的坐标为(2，2).
【点评】本题根据抛物线的定义，运用数形结合的思想简捷地得出了答案.
【例7】抛物线y2=2px(p＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长是5，求此抛物线方程.
【解】设△AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y=2x.
则OB边方程为y=－x.
由可得A点坐标为（，p）
由可得B点坐标为（8p,－4p）
∵｜AB｜＝5，∴.
∵p＞0解得p=,∴所求的抛物线方程为y2=x.
【点评】求抛物线的标准方程，即求p的值和确定开口方向，因而如何根据已知条件建立起关于p的方程是解决本题的关键.
【例8】已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
【解法一】设直线上任意一点坐标为（x，y），弦的两个端点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），∵P1、P2在抛物线上，∴y12=6x1，y22=6x2.两式相减得
(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ①
∵y1+y2=2，代入①得k==3.
∴直线的方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.
【解法二】设所求方程为y-1=k(x-4).
由方程组得ky2-6y-24k+6=0.
设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），则y1+y2=，
∵P1P2的中点为（4，1），∴=2.∴k=3.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.
【点评】解法一是求与中点有关问题常用的“作差法”，解法二没有求出P1、P2的坐标，而是运用韦达定理直接写出P1P2中点坐标，这也是解题中常用的方法.一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两解，有两解时求出的直线方程为所求直线方程，否则所求直线方程不存在，本例中的点P（4，1）在抛物线的张口内，不存在上述问题.
【例9】（1）设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3，求k值.
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.
分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.
解：（1）由得：4x2+(4k-4)x+k2=0
设直线与抛物线交于A（x1,y1)与B（x2,y2)两点.
则有：x1+x2=1-k，x1·x2=
∴|AB|=
∵|AB|=3
∴=3
即k=-4
(2)∵S△=9,底边长为3
∴三角形高h=
∵点P在x轴上
∴设P点坐标是（x0,0）
则点P到直线y=2x-4的距离就等于h，即
∴x0=-1或x0=5
即所求P点坐标是（-1，0）或（5，0）.
【例10】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.
分析：可设抛物线方程为y2=2px(p＞0).如图所示，只须证明=|MM1|，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.
证明：作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.M为AB中点，作MM1⊥l于M1，则由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|
在直角梯形BB1A1A中：
|MM1|=(|AA1|+|BB1|)
=（|AF|+|BF|）
=|AB|
∴|MM1|=|AB|，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.
说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.
【例11】已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线.
分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一是证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA=PN且PN⊥l即可.
证明：如图所示，连结PA、PN、NB.
由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P.
∴AN也垂直平分PB.
则四边形PABN为菱形.
即有PA=PN.
∵AB⊥l.
∴PN⊥l.
则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.
基础达标
选择题
1.已知抛物线过点（-11，13），则抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=x B.y2=-x C.y2=-x或x2=y D.x2=-y
【解析】∵点（-11，13）在第二象限，∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时，设抛物线的方程为y2=-2px，把点（-11，13）的坐标代入得132=-2p·(-11)，∴2p=..∴抛物线的标准方程为y2=-x.当抛物线的张口向上时，设抛线的方程为x2=2p1y，把点（-11，13）的坐标代入得(-11)2=2p·13，∴2p=.∴抛物线的方程为x2=y.
【答案】C
2.已知抛物线的准线方程是x=－7，则抛物线的标准方程是（ ）
A.x2=－28y B.y2=28x C.y2=－28x D.x2=28y
【解析】∵,∴p=14,∵抛物线的焦点在x轴上，∴抛物线的方程是y2=28x.
【答案】B
3.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是（ ）
A.x2=72y B.x2=144y C.y2=-48x D.x2=144y或y2=-48x
【解析】令x=0得y=36，令y=0得x=-12，∴抛物线的焦点为（0，36）或（-12，0）.
【答案】D
4.抛物线y2=－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示（ ）
A.F到l的距离 B.F到y轴的距离
C.F点的横坐标 D.F到l的距离的
【解析】在抛物线的标准方程y2=－2px(p＞0)中，p是焦点到准线的距离，是焦点到y轴的距离或y轴与准线间的距离，所以在抛物线方程y2=－4px(p＞0)中，p为焦点到y轴或y轴与准线间的距离.
【答案】B
5.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3,m)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x C.y2=4x D.y2=－4x
【解析】∵P到焦点距离为5，∴3+=5,∴p=4，
∵点P在y轴的左边，抛物线焦点在x轴上，
∴抛物线的标准方程为y2=－8x.
【答案】B
6.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（ ）
A.(±6，9) B.(9，±6) C.(9，6) D.(6，9)
【解析】设P点的坐标为(x,y).
∵｜PF｜=10,∴1+x=10，∴x=9.
把x=9代入方程y2=4x中，解得y=±6.
∴P点的坐标是(9，±6).
【答案】B
7.抛物线y2=9x与直线2x－3y－8=0交于M、N两点，线段MN中点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由方程组得2y2－27y－72=0,
∴y1+y2=
代入方程2x－3y－8=0中，得x=.
【答案】B
8.抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于（ ）
A. B.2 C. D.15
【解析】把y＝2x＋1代入y2＝12x，得４x2－８x＋1＝0，所求弦长d＝｜x1－x2｜＝.
【答案】A
9.求焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程______.
【解析】由抛物线的定义知p=2
因此所求抛物线的标准方程有以下四种形式：y2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y.
【答案】y2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y
10.已知点（－2，3）与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离是5，求p的值为______.
【解】抛物线的焦点为（,0)
由 =5得p=4.
【答案】4
11.抛物线y2＝８px（p＞0）上一点M到焦点的距离为a，则点M到y轴的距离为______.
【解析】由已知设点M到y轴的距离为d则=1,∴d=a－2p.
【答案】a－2p
12.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1＝ .
【解析】设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）.如图，由抛物线定义知
｜AF｜＝｜AA1｜，｜BF｜＝｜BB1｜，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BB1F＝∠BFB1，又AA1∥x轴∥BB1，
∴∠AA1F＝∠A1FF1，∠BB1F＝∠B1FF1，
∴∠A1FＢ1＝90°.
【答案】90°
13.已知抛物线的焦点坐标是()，准线方程是y=，求抛物线的方程.
【解】设M(x,y)为抛物线上任意一点，则M到焦点的距离为
,
点M到准线的距离为｜y－｜，
由抛物线的定义，得.
两边平方并整理，得y=ax2+bx+c为所求抛物线的方程.
13.抛物线的焦点F在x轴上，A（m,－3)在抛物线上，且|AF|=5，求抛物线的标准方程.
【解】设抛物线方程为y2=2px或y2=－2px,(p＞0)
∵A点在抛物线上
∴(－3)2=2pm或(－3)2=－2pm
∴m=± ①
又|AF|=+|m|=5 ②
把①代入②可得=5
即p2－10p+9=0 ∴p=1或p=9
∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
14.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
【证明】设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义得
｜P1F｜=｜P1Q1｜,
｜P2F｜=｜P2Q2｜.
∴｜P1P2｜=｜P1F｜+｜P2F｜=｜P1Q1｜+｜P2Q2｜.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,｜P1P0｜=｜P0P2｜,
∴｜P0Q0｜=（｜P1Q1｜+｜P2Q2｜）=｜P1P2｜.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切.
综合发展
1.经过点P(4，－2)的抛物线标准方程为（ ）
A.y2=x或x2=－8y B.y2=x或y2=8x
C.y2=－8x D.x2=－8y
【解析】设抛物线的方程为y2=2px或x2=2p1y.
∵点P(4，－2)在抛物线上，∴4=2p×4或16=2p1(－2),
∴p=或p1=－4，∴抛物线的方程为y2=x或x2=－8y.
【答案】A
2.抛物线x2=4ay的准线方程为（ ）
A.x=－a B.x=a C.y=－a D.y=a
【解析】∵抛物线的焦点在y轴上，∴抛物线的准线方程为y=－，即y=－a.
【答案】C
3.焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线标准方程为（ ）
A.x2=16y或y2=16x B.y2=16x或x2=12y
C.y2=16x或x2=－12y D.x2=16y或y2=－12x
【解析】直线3x－4y－12=0与x轴、y轴的交点分别是(4，0)和(0，－3)，所以抛物线的焦点为(4，0)或(0，－3).因此，所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=－12y.
【答案】C
4.动点到点(3，0)的距离比它到直线x=－2的距离大1，则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
【解析】由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x=－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线.
【答案】D
5.已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.25
【解析】抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l的方程为y= (x－2).
由得B点的坐标为(，－2).
∴｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=2+8+2+，
∴AB的中点到准线的距离为.
【答案】A
6.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则为
（ ）
A.4 B.－4 C.p2 D.－p2
【解析】特例法.当直线垂直于x轴时， =－4.
【答案】Ｂ
7.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶6米时，水面宽10米，抛物线的方程可能是（ ）
A.y2=x B.x2=-y C.x2=-y D.x2=-y
【解析】设抛物线的方程为y2=2px，由题知抛物线过点（6，±5），∴25=2p·6，2p=.
∴抛物线的方程为y2=x.
【答案】A
8.抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b(k≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x1、x2；而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标是x3,则x1、x2、x3之间的关系是（ ）
A.x3=x1+x2 B.x3=
C.x1x3=x1x2+x2x3 D.x1x2=x1x3+x2x3
【解法一】（特值法）取a=1,k=1,b=0,则x1=0,x2=1,x3=0, 可排除A、B.
再取a=1,k=1,b=1,可得x1+x2=1.
x1x2=－1,x3=－1,检验C、D可知D选项适合.
【解法二】（直接法）
把y=kx+b代入y=ax2，得ax2－kx－b=0,x1+x2=,x1x2=－
又x3=－,∴x1x2=(x1+x2)x3
【答案】D
9.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标是 .
【解析】把方程y=x2写成x2=ay,∴抛物线的焦点坐标是(0，).
【答案】(0，)
10.圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 .
【解析】由题设可知圆与x轴的切点为抛物线的焦点，所以圆心为（，±1），半径为1.
∴圆的方程为(x－)2+(y±1)2=1.
【答案】(x－)2+(y±1)2=1
11.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值是 .
【解析】把y=ax2写成x2=y，∴2p=，=，由题知，-=2,∴a=-.
【答案】-
12.直线y=kx－2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为______.
【解析】∵直线y=kx－2与抛物线y2=8x交于两点，∴k≠0，由
得k2x2－4kx－8x+4=0，∴x1+x2=,
∵AB中点的横坐标为2，∴=4,∴k=－1或k=2.
∵当k=－1时方程k2x2－4kx－8x+4=0只有一个解，即A、B两点重合.∴k≠－1.
【答案】2
13.动圆M经过点A(3，0)且与直线l：x=－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______.
【解析】设圆M与直线l相切于点N，∵｜MA｜=｜MN｜,
∴圆心M到定点A(3，0)和定直线x=－3的距离相等.
根据抛物线的定义，M在以A为焦点，l为准线的抛物线上.
∵=3,∴p=6.
∴圆心M的轨迹方程为y2=12x.
【答案】y2=12x
14.已知抛物线的焦点在x轴上，直线y=2x+1被抛物线截得的线段长为，求抛物线的标准方程.
【解】∵抛物线的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为y2=2px.
由方程组
得4x2+(4－2p)x+1=0，
∴｜x1－x2｜=,
∴,
∴,∴p=6或p=－2，
∴抛物线的方程为y2=12x或y2=－4x.
15.一直线与抛物线x2=y交于A、B两点，它们的横坐标分别为x1和x2，此直线在x轴上的截距为a，求证：.
【证明】∵直线过(a,0)点且与抛物线交于A、B两点，
∴设直线的方程为y=k(x－a)且k≠0，
由方程组得x2－kx+ka=0.
由韦达定理，得x1+x2=k,x1x2=ka.
∴.
即.
16求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.
【解】设点P（x，y），则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d==|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=[(x-1)2+3].
∴当x=1时，d最小，此时y=1.∴P（1，1）为所求.
10.已知P、Q为抛物线y2=8x与直线2x+y-8=0的两个交点，O为原点，求|tanPOQ|的值.
【解】由得(8-2x)2=8x，即x2-10x+16=0.
∴x1=2或x2=8，
代入x=8-2x得P（2，4）、Q（8，-8），kOP=2，kOQ=-1，
∴|tanPOQ|=||=3.
第6节 抛物线的几何性质
撰写：刘可嘉 审核：
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；
了解抛物线在实际问题中的初步应用；
进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。
二、重点与难点
重点： 抛物线的定义和标准方程
难点：求抛物线的标准方程
三、本节知识理解
设抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)，则
（1）.范围：则抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.
（5）.在抛物线y2＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.
（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线.
2．抛物线和椭圆、双曲线的比较
（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.
（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.

精题精讲
【例1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求它的标准方程.
【例2】已知双曲线的方程是=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.
【例3】A为抛物线y2=－x上一点，F为焦点，｜AF｜=14，求过点F且与OA垂直的直线l的方程.
【例4】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.
【例5】.已知抛物线y2=2px上有三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若线段AB、BC在x轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列.
【例6】设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.
证明：直线AC经过原点O,
【例7】A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
【例8】给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d,试求d的最小值.
. 【例9】过抛物线y2=6x的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程.
【例10】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l，设l交抛物线于A、B两点，求|AB|.
【例11】过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：｜AB｜=2｜NF｜.
【例12】已知过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
【例13】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，-）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求·；
（3）求ΔF1MF2的面积.
【例14】直线l1过点M（-1，0），与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k.
(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);
（2）求出f(k)的定义域及单调区间.
【例15】设过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
【例16】如图8—14，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
基础达标
选择题
1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则它的方程是（ ）
A.x2=－y或y2=x B.y2=－x或x2=y
C.x2=y D.y2=－x
2.以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x
C.y2=8x或y2=－8x D.x2=8y或x2=－8y
3.抛物线x2=－4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则（ ）
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为－4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
4.已知直线y=kx－k及抛物线y2=2px(p＞0)，则（ ）
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
6.边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（ ）
A.y2=x B.y2=－x C.y2=±x D.y2=±x
7.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
8.过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（ ）
A.共圆 B.共线
C.在另一抛物线上 D.分布无规律
二、填空题
9.若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P的横坐标为______，p的值为______.
10.过(0，－2)的直线与抛物线y2＝８x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则
｜AB｜=______.
11.过抛物线y2=8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为 .
12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m，－2）到焦点的距离等于4，则m的值为______.
13.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4，则焦点到AB的距离为 .
三、解答题
14.抛物线x2=2y上距离点A（0，a)(a＞0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求a的取值范围.
15.过抛物线y2＝４x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
综合发展
一、选择题
1.动点P到点A(0，2)的距离比到直线l：y=－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y
2.已知抛物线的轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y+11=0上，则此抛物线的方程是（ ）
A.y2=－11x B.y2=11x C.y2=－22x D.y2=22x
3.抛物线y=8mx2(m＜0)的焦点坐标是（ ）
A.(,0) B.(0,) C.(0,－) D.(,0)
4.抛物线y2=8x的焦点为F，P在抛物线上，若｜PF｜=5，则P点的坐标为（ ）
A.(3，2) B.(3，－2)
C.(3，2)或(3，－2) D.(－3，2)或(－3，－2)
5.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为（ ）
A.48 B.24 C. D.
6.已知点A(－2，1)，y2=－4x的焦点是F，P是y2=－4x上的点，为使｜PA｜+｜PF｜取得最小值，P点的坐标是（ ）
A.(－,1) B.(－2,2) C.(－,－1) D.(－2,－2)
7.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A.m+n=mn B.m+n=4 C.mn=4 D.无法确定
8.θ是任意实数，则方程x2+y2sinθ=4的曲线不可能是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
9.已知椭圆=1的一条准线方程为y=8，则实数t的值为（ ）
A.7或－7 B.4或12 C.1或15 D.0
10.双曲线=1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞,0） B.(－12,0) C.(－3,0) D.(－60,－12)
11.以=－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A.=1 B. =1
C.=1 D. =1
5.过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）
A.2a B. C.4a D.
12.抛物线y=x2到直线 2x－y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A. B.（1，1） C. D.（2，4）
13.与=1（a＞b＞0）的渐近线（ ）
A.重合 B.不重合，但关于x轴对称
C.不重合，但关于y轴对称 D.不重合，但关于直线y=x对称
14.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－2）
15.设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是（ ）
A.－ B.－1 C. D.
二、填空题
16.已知点A（0，1）是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________.
17.已知F1、F2是双曲线=1(a＞0,b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率是_________.
18.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=72x上，这个正三角形的边长是 .
19.点P（8，1）平分双曲线x2－4y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______.
三、解答题
20.抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）.
第5节 抛物线及其标准方程
撰写：刘可嘉 审核：
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；
了解抛物线在实际问题中的初步应用；
进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。
二、重点与难点
重点： 抛物线的定义和标准方程
难点：求抛物线的标准方程
三、本节知识理解
设抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)，则
（1）.范围：则抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.
（5）.在抛物线y2＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.
（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线.
2．抛物线和椭圆、双曲线的比较
（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.
（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.

精题精讲
【例1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求它的标准方程.
【解】∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，
∴可设它的标准方程为x2=－2py(p＞0).
又∵点M在抛物线上，∴()2=－2p(－2)，
即p=.
因此所求方程是x2=－y.
【点评】本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程.
【例2】已知双曲线的方程是=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.
【解】∵双曲线=1的右顶点坐标是(2，0).
∴,且抛物线的焦点在x轴的正半轴上.
∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y2=8x,x=－2.
【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识.
【例3】A为抛物线y2=－x上一点，F为焦点，｜AF｜=14，求过点F且与OA垂直的直线l的方程.
【解】设A（x1,y1）,
∵2p=,∴F的坐标是(－，0).
∵｜FA｜=14,∴,
∴x1=－14,代入抛物线方程y2=－x,得y1=±7.
∴A点的坐标是(－14，7)或(－14，－7).
∵或且OA⊥l
∵kl=2或kl=－2.
∵l过焦点F(－，0).
∴l的方程是y=2(x+)或y=－2(x+)，
即8x－4y+7=0或8x+4y+7=0.
【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.
【例4】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.
【解】抛物线的焦点坐标是(3，0)，
设焦点弦所在的直线方程是y=k(x－3).
由方程组
得y2－y－36=0.
∴直线被抛物线截得的弦长为
.
∵焦点弦长为16，∴由12(1+)=16得，k=±.
∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.
【例5】.已知抛物线y2=2px上有三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若线段AB、BC在x轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列.
【证明】根据题意，得x2－x1=x3－x2，
即x1、x2、x3成等差数列，
又由抛物线的定义得：.
∵2｜BF｜=2x2＋()=2x2+p,
｜AF｜+｜BF｜=x1+x3+p=2x2＋p=2｜BF｜.
∴｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列.
【例6】设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.
证明：直线AC经过原点O,
【证明】∵抛物线的焦点为F（，0），
∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，∴点C的坐标为（-，y2）.
∴直线OC的斜率为k=，即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
【点评】本题若设直线AB的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k不存在的情况，另外，证明直线AC过原点O，这里是利用了直线OC与直线AC的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.
【例7】A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
【证明】（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=2px1、y22=2px2.
∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).
∴y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2也为定值.
（2）∵y12-y22=2p(x1-x2)，∴.∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-·+y1，y=x+，
亦即y=(x-2p).∴直线AB经过定点（2p，0）.
【点评】本例的证明还可以设OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-x，由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标，利用A、B的坐标证明.
【例8】给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d,试求d的最小值.
【解】设P(x0,y0),（x0≥0），
则y02=2x0，
∴d=|PA|=.
∵a＞0,x0≥0，
∴(1)当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时当x0=0时，d最小==a.
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时当x0=a－1时，d最小=.
【点评】虽然d的目标函数f(x0)是根号下关于x0的二次函数，但由于x0和a都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.
. 【例9】过抛物线y2=6x的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程.
【解】设线段AB中点P（x，y），OA的斜率为k，则直线OA的方程为y=kx，由
得或依题意得A点的坐标为A（，）.
∵OA⊥OB，∴OB的斜率为-，直线OB的方程为y=-x.
由得或
∴B点的坐标为（6k2，-6k）.线段AB中点P（x，y）满足
②式平方后减去①×3，得
y2=3x-18为所求.
【例10】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l，设l交抛物线于A、B两点，求|AB|.
【解】当θ=90°时，直线AB的方程为x=，由得A(,-p)、B(，p).
∴|AB|=2p.
当θ=90°时，直线AB的方程为y=(x-)tanθ.由得
tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+·tan2θ=0.
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=.
【点评】求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径得用焦半径公式结合韦达定理来求.
【例11】过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：｜AB｜=2｜NF｜.
【证明】设抛物线方程为y2=2px(p＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为
M（x0,y0）.则y12=2px1,y22=2px2.
两式相减并整理得.
∵M是AB的中点，
∴.
∵MN⊥AB，∴kMN=－.
∴直线MN的方程为y－y0=－ (x－x0),
令y=0得N点的横坐标xN=x0+p.
∴.
又｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+p=2(x0+).
∴｜AB｜=2｜NF｜.
【点评】当A、B两点都在曲线上时，求直线AB的斜率，可把A、B两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减.
【例12】已知过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以|AB|为三角形的底，只要确定高的最大值即可.
解：设AB所在的直线方程为y=x-.
将其代入抛物线y2=2px,得y2-2py-p2=0
∴|AB|=|y1-y2|
=·
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为y=x+b.
代入抛物线方程得y2-2py+2pb=0
由Δ=4p2-8pb=0，得b=
这时R（,p）.它到AB的距离为h=p
∴△RAB的最大面积为|AB|·h=p2.
.
【例13】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，-）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求·；
（3）求ΔF1MF2的面积.
【解】（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程.
∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2-y2=λ.
把点（4，-）代入双曲线方程得42-(-)2=λ,λ=6.
∴所求双曲线方程为x2-y2=6.
（2）由（1）知双曲线方程为x2-y2=6，∴双曲线的焦点为F1(-2,0)、F2(2,0).
∵M点在双曲线上，∴32-m2=6，m2=3.
∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.
（3）∵·=0，∴MF1⊥MF2.∴ΔF1MF2为直角三角形.
∵||==，
||==
∴=||·||=·=6.
【点评】本例（1）的解法中利用了“如果双曲线的渐近线为y=±x时，那么双曲线的方程可设为=λ（λ≠0）”这一结论.
【例14】直线l1过点M（-1，0），与抛物线y2=4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k.
(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);
（2）求出f(k)的定义域及单调区间.
分析：l2过点P及F，利用两点的斜率公式，可将l2的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间.
解：（1）设l1的方程为：y=k(x+1).将它代入方程y2=4x,得
k2x2+(2k2-4)x+k2=0
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)
则x1+x2=
将x=代入y=k(x+1)，
得：y=，即P点坐标为（,).
由y2=4x,知焦点F（1，0）
∴直线l2的斜率k2=
∴函数f(k)= .
(2)∵l1与抛物线有两个交点，
∴k≠0且Δ=(2k2-4)2-4k4＞0
解得-1＜k＜0或0＜k＜1
∴函数f(k)的定义域为
{k|-1＜k＜0或0＜k＜1}
当k∈(-1,0)及k∈(0,1)时，f(k)为增函数.
【例15】设过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点（x0,y0)；待求得x0、y0的关系后再用动点坐标（x,y)来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.
解法一：设A（x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0)，则
y12=2px1,y22=2px2
∴x1x2=
∵OA⊥OB
∴kOA·kOB=-1即x1x2+y1y2=0
∴+y1y2=0
∵y1y2≠0
∴y1y2=-4p2 ①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：
y-y0=-(x-x0),显然x0≠0
∴x=代入y2=2px，化简整理得：
x0y2+2py0y-2p(x02+y02)=0
∴x0≠0
∴y1y2= ②
由①、②得：-4p2=.化简得x02+y02-2px0=0(x0≠0)
用x、y分别表示x0、y0得
x2+y2-2px=0(x≠0)
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设A（2pt2,2pt)，则以OA为直径的圆方程为：
(x-pt2)2+(y-pt)2=p2(t4+t2)即
x2+y2-2pt2-2pty=0 ①
设B（2pt12,2pt1）,OA⊥OB，则t1t=-1t1=-
在求以OB为直径的圆方程时以-代t1，可得
t2(x2+y2)-2px+2pty=0 ②
由①+②得：(1+t2)(x2+y2-2px)=0
∵1+t2≠0
∴x2+y2-2px=0(x≠0)
【例16】如图8—14，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
【解法一】以l1为x轴，MN的中点O为原点建立如图的平面坐标系.由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，l2是准线.所以可令抛物线的方程为y2=2px(p＞0).过点A作AQ⊥l2，AE⊥l1，垂足分别为Q和E，由于△AMN是锐角三角形，则点E必在线段MN上.所以，｜AQ｜=｜AN｜=3，
∵｜AM｜=,
∴｜QM｜=,
｜AE｜=｜QM｜=2,｜EN｜==1.
∴p=｜MN｜=｜ME｜+｜EN｜=｜AQ｜+｜EN｜=4.
∴抛物线方程为y2=8x.
由上述可知｜OE｜=1，点B到准线l2的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在x轴上方，故曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y＞0).
【解法二】以l1为x轴，l2为y轴建立如图8—15的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在x轴上，顶点O′应是线段MN的中点.令曲线段C所在的抛物线方程为：
y2=2p(x－xo′)(p＞0).
设A,
B,则
由①－②得y12=8,
代入①得（）2=9,
∴8+p2=6p.
∵p＞3,∴p=4.
∵y1＞0,∴y1=2,
代入③得y2=4.
∴曲线段C的方程为y2=8(x－2)(2≤y≤4).
【点评】该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C是一段抛物线弦.因此，入手不难.关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单.此例还应注意方程中x或y的取值范围.
基础达标
选择题
1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则它的方程是（ ）
A.x2=－y或y2=x B.y2=－x或x2=y
C.x2=y D.y2=－x
【解析】∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，
∴抛物线的方程为标准形式.
当抛物线的焦点在x轴上时，
∵抛物线过点(－2，3)，
∴设抛物线的方程为y2=－2px(p＞0)，
∴32=－2p(－2),∴p=.
∴抛物线的方程为y2=－x.
当抛物线的焦点在y轴上时，
∵抛物线过点(－2，3)，
∴设抛物线的方程为x2=2py(p＞0).
∴(－2)2=2p·3,∴p=.
∴抛物线的方程为x2=y.
【答案】B
2.以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x
C.y2=8x或y2=－8x D.x2=8y或x2=－8y
【解析】∵通径长为8，∴2p=8.
∵抛物线的轴为x轴，∴抛物线的方程为y2=±8x.
【答案】C
3.抛物线x2=－4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则（ ）
A.通径长为8，△AOB的面积为4
B.通径长为－4，△AOB的面积为2
C.通径长为4，△AOB的面积为4
D.通径长为4，△AOB的面积为2
【解析】在抛物线x2=－4y，∴2p=4即通径的长为4.
△AOB的面积为.
【答案】D
4.已知直线y=kx－k及抛物线y2=2px(p＞0)，则（ ）
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
【解析】∵直线y=kx－k过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2=2px的内部.
∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
【答案】C
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
【解析】∵抛物线的轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或.
∴A、B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,－2p).
∴｜AＢ｜=4p,∴S△AOB=×4p×2p=4p2.
【答案】B
6.边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（ ）
A.y2=x B.y2=－x C.y2=±x D.y2=±x
【解析】∵△AOB为边长等于1的正三角形，∴O到AB的距离为，A或B到x轴的距离为.
当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，
设抛物线的方程为y2=2px(p＞0).
∵抛物线过点()，
∴∴
.
∴抛物线的方程为y2=x.
当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，
设抛物线的方程为y2=－2px(p＞0).
∵抛物线过点(－)，
∴,∴2p=.
∴抛物线的方程为y2=－x.
【答案】C
7.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
【解析】∵点(x,y)在抛物线y2=4x上，∴x≥0，
∵z=x2+y2+3＝x2+2x＋3＝（x+1）2＋2
∴当x=0时，z最小，其值为3.
【答案】B
8.过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（ ）
A.共圆 B.共线
C.在另一抛物线上 D.分布无规律
【解析】设M(x1，y1)，Ｎ（x2，y2），设抛物线方程为y2＝2px.
则F（，0），准线x=－,
∴P（－，y1），Ｑ（－，y2）
由PF⊥QF得＝－1，∴y1y2＝－p2
∴kMF＝kNF ∴M、N、F共线.
【答案】B
二、填空题
9.若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P的横坐标为______，p的值为______.
【解析】∵点P到对称轴的距离为6，∴设点P的坐标为(x,6).(或(x,－6))
∵点P到准线的距离为10，∴,∴.或
∴点P的横坐标为9，p的值为2.（或P的横坐标为1，p值为18.）
【答案】9 2 1 18
10.过(0，－2)的直线与抛物线y2＝８x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则
｜AB｜=______.
【解析】设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B（x2，y2）
由 得k2x2－４（k＋2）x＋４＝0
∵直线与抛物线交于A、B两点
∴Δ＝16（k＋2）2－16k2＞0
即k＞－1
又＝2
∴k＝2或k＝－1（舍）
∴
.
【答案】2
11.过抛物线y2=8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为 .
【解析】由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2，代入y2=8x得(x-2)2=8x即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12，弦长=x1+x2+p=12+4=16.
【答案】16
【点评】本题用例3的结论：弦长==16.
12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m，－2）到焦点的距离等于4，则m的值为______.
【解析】由于点(m，－2)在抛物线上，所以抛物线开口向下，设其方程为x2＝－2py，则2＋＝４，∴p＝４.抛物线方程为x2＝－８y，把点（m，－2）代入得m＝±4.
【答案】±4
13.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4，则焦点到AB的距离为 .
【解析】不妨设A（x，2），则（2）2=4x.∴x=3.∴AB的方程为x=3，抛物线的焦点为（1，0），∴焦点到准线的距离为2.
【答案】2
三、解答题
14.抛物线x2=2y上距离点A（0，a)(a＞0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求a的取值范围.
【解】设P（x,y）为抛物线上任意一点，则
|PA|=
∵a＞0,∴a－1＞－1
由于y≥0,且|PA|最小时，y=0
∴－1＜a－1≤0 ∴0＜a≤1.
15.过定点A(－2,－1)，倾斜角为４5°的直线与抛物线y=ax2交于B、C，且｜BC｜是
｜AB｜、｜AC｜的等比中项，求抛物线方程.
【解】设A（－2，－1）、B（x1，y1）、B（x2，y2）在x轴上的射影分别为A′（－2，0）、B′（x1，0）、C′（x2，0）
∵｜BC｜2＝｜AB｜·｜AC｜，∴｜B′C′｜2＝｜A′B′｜·｜A′C′｜于是有
｜x1－x2｜2＝（x1＋2）（x2＋2） ①
直线AC的方程为y=x+1.
代入y=ax2并整理得ax2－x－1＝0
∴x1＋x2＝，x1x2＝－ ②
把②代入①得，a＝1或a=－.
当a=1时，方程ax2－x－1＝0根的判别式Δ＞0；
当a=－时，Δ＝0，B、C重合，不合题意，舍去.
∴抛物线方程为y=x2.
16.过抛物线y2＝４x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
【解】抛物线y2＝４x的准线与对称轴的交点为（－1，0）.设直线MN的方程为y＝k（x＋1）
由得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0
∵直线与抛物线交于M、N两点.
∴Δ＝４（k2－2）2－４k４＞0
即k2＜｜k2－2｜，k2＜1，－1＜k＜1
设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F(1，0).
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点.
∴MF⊥NF
∴＝－1
即y1y2＋x1x2－（x1＋x2）＋1＝0
又x1＋x2＝－，x1x2＝1
y12y22＝16x1x2＝16且y1、y2同号
∴＝－6
解得k2＝，∴k＝±
即直线的倾斜角为arctan或π－arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
综合发展
一、选择题
1.动点P到点A(0，2)的距离比到直线l：y=－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y
【解析】由已知条件可知，点P与点A的距离等于它到直线y=－2的距离.根据抛物线的定义，点P的轨迹是以A(0，2)为焦点的抛物线.
∵=2,∴p=4.
因为焦点在y轴的正半轴上，所以点P的轨迹方程为x2=8y.
【答案】D
2.已知抛物线的轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y+11=0上，则此抛物线的方程是（ ）
A.y2=－11x B.y2=11x C.y2=－22x D.y2=22x
【解析】在方程2x－4y+11=0中，令y=0
得x=－.
∵抛物线的焦点为直线2x－4y+11=0与x轴交点，
∴,∴2p=22.
∴抛物线的方程为y2=－22x.
【答案】C
3.抛物线y=8mx2(m＜0)的焦点坐标是（ ）
A.(,0) B.(0,) C.(0,－) D.(,0)
【解析】把抛物线的方程写成x2=y
则2p=－.
∴抛物线的焦点坐标是(0, ).
【答案】B
4.抛物线y2=8x的焦点为F，P在抛物线上，若｜PF｜=5，则P点的坐标为（ ）
A.(3，2) B.(3，－2)
C.(3，2)或(3，－2) D.(－3，2)或(－3，－2)
【解析】设P点的坐标为(x,y)
∵｜PF｜=5,∴2+x=5,∴x=3,
把x=3代入方程y2=8x，
得y2=24，∴y=±2，
∴点P的坐标为(3，±2) .
【答案】C
5.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为（ ）
A.48 B.24 C. D.
【解析】由抛物线的对称性可知，正三角形的另两个顶点关于x轴对称，且分别在直线y=x与y=－x上，由得x=12,y=4,即三角形的另两顶点分别为（12，4）与（12，－4）.因此三角形的面积S=12×4=48.
【答案】A
6.已知点A(－2，1)，y2=－4x的焦点是F，P是y2=－4x上的点，为使｜PA｜+｜PF｜取得最小值，P点的坐标是（ ）
A.(－,1) B.(－2,2) C.(－,－1) D.(－2,－2)
【解析】过P作PK⊥l(l为抛物线的准线)于K，则｜PF｜=｜PK｜,
∴｜PA｜+｜PF｜=｜PA｜+｜PK｜,
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，｜PA｜+｜PK｜最小.此时P点的纵坐标为1，把y=1代入y2=－4x得x=－.
即当P点的坐标为(－，1)时，｜PA｜+｜PB｜最小.
【答案】A
7.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A.m+n=mn B.m+n=4 C.mn=4 D.无法确定
【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，
当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,∴m+n=mn.
当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，
设焦点弦所在直线方程为y=k(x－1)(k≠0).
把y=k(x－1)代入y2=4x并整理得k2x2－2（k2+2）x+k2=0.
∴x1·x2=1,∵m=x1+1,n=x2+1,
∴x1=m－1,x2=n－1代入x1x2=1得(m－1)(n－1)=1即m+n=mn.
【答案】A
8.θ是任意实数，则方程x2+y2sinθ=4的曲线不可能是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
【解析】当sinθ∈［－1,0)时，方程x2+y2sinθ=4的曲线是双曲线；sinθ=0时，方程的曲线是两条平行直线；sinθ∈(0,1)时，方程的曲线是椭圆；sinθ=1时，方程的曲线是圆.
【答案】C
9.已知椭圆=1的一条准线方程为y=8，则实数t的值为（ ）
A.7或－7 B.4或12 C.1或15 D.0
【解析】由题设y－t=±7，∴y=t±7=8,∴t=1或15.
【答案】C
10.双曲线=1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞,0） B.(－12,0) C.(－3,0) D.(－60,－12)
【解析】∵a2=4,b2=－k,∴c2=4－k.
∵e∈(1,2),∴∈(1,4),∴k∈(－12,0).
【答案】B
11.以=－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A.=1 B. =1
C.=1 D. =1
【解析】双曲线=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±）.∴椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±）.∴在椭圆中a=4,c=,∴b2=4.∴椭圆的方程为=1.
【答案】D
5.过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）
A.2a B. C.4a D.
【解析】当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为,因此xP=－,xQ=,
∴=4a.
【答案】C
12.抛物线y=x2到直线 2x－y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A. B.（1，1） C. D.（2，4）
【解析】设P（x,y）为抛物线y=x2上任一点，则P到直线的距离
d=,
∴x=1时，d取最小值，此时P（1，1）.
【答案】B
13.与=1（a＞b＞0）的渐近线（ ）
A.重合 B.不重合，但关于x轴对称
C.不重合，但关于y轴对称 D.不重合，但关于直线y=x对称
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±=1的渐近线方程y=±x、y=x与y=x关于直线y=x对称，y=－x与y=－x关于直线y=x对称.
【答案】D
14.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－2）
【解析】直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.
【答案】B
15.设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是（ ）
A.－ B.－1 C. D.
【解析】设P（x0,y0）,则－3≤x0≤3.
cosF1PF2=
∴当x0=0时，cosF1PF2最小，最小值为－.
【答案】A
二、填空题
16.已知点A（0，1）是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________.
【解析】∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为(2cosθ,sinθ)，
则｜AP｜=.∴当sinθ=－时，
｜AP｜最大，此时P的坐标为(±).
【答案】(±)
17.已知F1、F2是双曲线=1(a＞0,b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率是_________.
【解析】由｜PF2｜=｜QF2｜,∠PF2Q=90°,知｜PF1｜=｜F1F2｜即
,
∴e2－2e－1=0,e=1+或e=1－（舍）.
【答案】1+
18.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=72x上，这个正三角形的边长是 .
【解析】设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=72x1、y22=72x2.由|OA|=|OB|，得x12+y12=x22+y22，x12+2px1-x22-2px2=0.
∴x1=x2.∴线段AB关于x轴对称.∴∠AOx=30°，=tan30°=.
∵x1=，∴y1=72.∴|AB|=144.
【答案】144
19.点P（8，1）平分双曲线x2－4y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______.
【解析】设弦的两端点分别为A(x1,y1)、B（x2,y2），则x12－4y12=4,x22－4y22=4，两式相减得(x1+x2)(x1－x2)－4(y1+y2)·(y1－y2)=0.∵AB的中点为P（8，1），
∴x1+x2=16,y1+y2=2,∴=2.
∴直线AB的方程为y－1=2(x－8),即2x－y－15=0.
【答案】2x－y－15=0
三、解答题
20.抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）.
【证明】（1）设A（x1,y1）、B(x2,y2)、中点M（x0,y0），焦点F的坐标是（,0）.
由得ky2－2py－kp2=0.
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C(－,y1)、D(－,y2)、N(－,y0).
∵,
由ky2－2py－kp2=0
得y1y2==－p2,
∴kOA=kOD,∴A、O、D三点共线.同理可证B、O、C三点共线.
（2）kFN=,当x1=x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，kAB=
,∴kFN·kAB=－1.∴FN⊥AB.综上所述知FN⊥AB成立.
第1节 椭圆及其标准方程
撰写：刘一博 审核：冬焱
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念
2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程
4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；
5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题
二、重点与难点
1．重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹
2．椭圆标准方程的推导; 待定系数法 运用中间变量法求动点的轨迹
三、本节知识理解
1.学法点拨
1．认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题．
2．认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法．即：1°点关于点的对称问题；2°直线关于点的对称问题；3°点关于直线的对称问题；4°直线关于直线的对称问题．
3．在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想．
4．平面解析几何的核心是坐标法。它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显．
5．两条直线的位置关系是解析几何的基础。同时本部分内容所涉及的“数形结合”对称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法．因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活．
6．在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。多以选择题、填空题形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和难题
3.要点诠释
精题精讲
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(4)与椭圆有相同焦点，且过点（,）
解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
　　　　
所以所求椭圆标准方程为
选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查关系掌握情况.
解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

∵，2c=6.
∴
∴
∴所求椭圆的方程为：.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
.
∴
∴所求椭圆方程为：
因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，
＋
　
　又
所以所求标准方程为
另法：∵
∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
(3)已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程
选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.
解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：
∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)
∴
故所求椭圆的标准方程为
（２）∵椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：
∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴＝１０.
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴－c－（－１０）＝２，故c=8.
∴.
∴所求椭圆的标准方程是.
(3)解：设椭圆的标准方程
则有 ，解得
所以，所求椭圆的标准方程为
说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点
横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.
(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远
或最近.
例3已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的
周长等于16，求顶点A的轨迹方程
解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
（≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件
例4如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
例5已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为
因为点为椭圆上的点，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例6长度为5的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为
因为，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例7（1）已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程
（2）已知两圆，动圆在圆的内部且和圆内切，和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

解 已知圆可化为：
圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：
例8.点P是椭圆=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8，求点P的坐标.
【解】 设点P的坐标为(x,y),
∵c2=a2－b2=25－9=16,∴2c=8.
∵S=8,∴×8×|y|=8,∴y=±2，
把y=±2代入方程：=1，
并解出x得：x=±.
∴点P的坐标为(，2)、(，－2)、(－，2)、(－，－2).
例9.已知椭圆的焦点是F1（－1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2.
【解】 (1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又2c=2,∴b＝
∴椭圆的方程为＝1.
（2）设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
∴,整理得：5sinθ＝（1＋cosθ）
∴故,tanF1PF2＝tanθ＝.
例10.若一个动点P(x,y)到两个定点A（－1，0），A′（1，0）的距离的和为定值m，试求P点的轨迹方程.
【解】 ∵｜PA｜+｜PA′｜=m,｜AA′｜=2,｜PA｜+｜PA′｜≥｜AA′｜，
∴m≥2.
（1）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA′.
∴其方程为y=0(－1≤x≤1).
(2)当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆.
∵2c=2,2a=m,
∴a=,c=1,b2=a2－c2=－1
∴点P的轨迹方程为+=1.
基础达标
1.椭圆2x2+3y2=12的两焦点之间的距离是（ ）
A.2 B. C. D.2
【解析】 把椭圆的方程写成标准形式=1,则c2=6－4=2,∴2c=2.
【答案】 D
2.椭圆=1的焦距等于2，则m的值为（ ）
A.5或3 B.8 C.5 D.16
【解析】 当焦点在x轴上时，c2=m－4，即1=m－4,∴m=5.当焦点在y轴上时，c2=4－m，即1=4－m,∴m=3.
【答案】 A
3.若△ABC的两个顶点坐标A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A.=1 B.=1(y≠0)
C. =1(y≠0) D. =1(y≠0)
【解析】 ∵｜AB｜=8,∴｜CA｜+｜CB｜=10,∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆去掉与焦点所在直线的交点（∵C与A、B不共线），并且2a=10,2c=8,∴b=3.∴顶点C的轨迹方程为=1(y≠0).
【答案】 D
4.过点（－3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵c2=9－4=5,∴设椭圆的方程为=1,
∵点（－3,2）在椭圆上，∴=1,a2=15,
∴所求椭圆的方程为：=1.
【答案】 A
5.若α∈(0,)，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是（ ）
A.(0,) B.(0,) C.(,) D.［,)
【解析】 ∵椭圆的焦点在y轴上，∴sinα＞cosα,
∵α∈(0, ),∴＜α＜.
【答案】 C
6.若方程ax2＋by2＝c（ab≠0，c＞0）表示焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A.a＞b＞0 B.a＞0,b＞0 C.b＞a＞0 D.＞
【解析】 将原方程整理成标准形式=1
则应满足＞＞0，又c＞0，
∴b＞a＞0.
【答案】 C
7.已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是（ ）
A.4x2+y2=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1
【解析】 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=,y=y0.
∵P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，
∴x02+y02=1. ①
将x0=2x,y0=y代入方程①得：4x2+y2=1,即+y2=1.
∴点M的轨迹是一个椭圆４x2＋y2＝1.
【答案】 A
8.△ABC两个顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是－，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A.+=1(y≠±6) B.+=1(y≠±6)
C.+=1(x≠±6) D.+=1(x≠±6)
【解析】 设顶点A（x,y),则,
∴顶点A的轨迹方程为+=1(x≠±6).
【答案】 D
9.已知A（0，－1）、B（0，1）两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A.+=1(x≠±2) B.+=1(y≠±2)
C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0)
【解析】 ∵2a+2c=6,c=1,∴a=2,b2=3.
∵C点不在y轴上，∴C点的轨迹方程为+=1(y≠±2).
【答案】 B
10.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
【解析】 圆横坐标不变，纵坐标缩短为原来的后，所得曲线为椭圆，且a=3,b=,焦点在x轴上，∴所得曲线的方程为+y2=1.
【答案】 C
11.已知椭圆上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|= .
【解析】两焦点的坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1⊥PF2得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，∴(|PF1|+|PF2|)2=196，100+2|PF1|·|PF2|=196，|PF1|·|PF2|=48.
【答案】48
12.若线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=60，点M是AB上一点，且|AM|=36，则点M的轨迹方程是 .
【解析】设A（x0，0）、B（0，y0）、M（x，y），则x02+y02=3600，x0=x，y0=y.
∴x2+y2=3600，即.
【答案】
13.已知动圆C和定圆C1：x2+(y-4)2=64内切而和定圆C2：x2+(y+4)2=4外切，设C（x，y），则25x2+9y2= .
【解析】∵圆C与圆C1内切，圆C与圆C2外切，∴|CC1|=8-r，|CC2|=2+r.
∴|CC1|+|CC2|=10(>|C1C2|=8).∴动点C的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆.
∵C1（0，4）、C2（0，-4），a=5，∴b2=25-16=9.
∴动圆圆心C（x，y）满足.∴25x2+9y2=225.
【答案】225
14.已知F1、F2是平面α内的定点，并且｜F1F2｜=2c（c＞0）,M是α内的动点，且｜MF1｜+｜MF2｜=2a，判断动点M的轨迹.
【解】 ①当2a＞2c，即a＞c时，动点M到两定点的距离之和大于两定点之间的距离，由椭圆的定义知动点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆.
②当2a=2c即a=c时，动点M到两定点F1、F2的距离之和等于线段F1F2的长，所以点M是线段F1F2上的点，所以动点M的轨迹是线段F1F2.
综上所述，当a>c时，动点的轨迹是椭圆，当a=c时，动点的轨迹是线段.
15.设椭圆=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，求四边形ABCD的面积.
【解】 在方程=1中分别令x=0,y=0,
得椭圆与坐标轴的交点分别是(5,0)、(－5,0)、（0，4）、（0，－4）.
∴四边形ABCD的面积为：4××5×4=40.
16.已知圆A：x2+(y+6)2=400，圆A内一定点B（0，6），圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程.
【解】设|CB|=r.∵圆C与圆A内切，圆A的半径为20，∴两圆的圆心距|CA|=20-r，|CA|+|CB|=20.∴点C的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆，2a=20，2c=|AB|=12.∴a=10，c=6.∴b=8.∵AB两点的坐标分别为A（0，-6）、B（0，6），∴C点的轨迹方程为.
综合发展
第1节 椭圆及其标准方程
撰写：刘一博 审核：冬焱
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念
2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程
4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；
5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题
二、重点与难点
1．重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹
2．椭圆标准方程的推导; 待定系数法 运用中间变量法求动点的轨迹
三、本节知识理解
1.平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点；两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2.方程(a＞b＞0)和(a＞b＞0)叫做椭圆的标准方程.
3.椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系是a2=b2+c2.
4.平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数2a，当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹为椭圆；（反过来，椭圆上的点到两定点的距离和为常数）当2a=｜F1F2｜时，动点的轨迹为线段F1F2（反过来，线段上的点到线段两端的距离和为线段F1F2的长）.椭圆的标准方程是=1和=1（a＞b＞0）.求椭圆的标准方程，就是求a2、b2的值.焦点所在的坐标轴由x2、y2分母的大小确定.
精题精讲
【例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(4)与椭圆有相同焦点，且过点（,）
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
(3)已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程
【例3】已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的
周长等于16，求顶点A的轨迹方程
【例4】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
【例5】已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
【例6】长度为5的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程
【例7】（1）已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程
（2）已知两圆，动圆在圆的内部且和圆内切，和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。
【例8】.点P是椭圆=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8，求点P的坐标.
【例9】已知椭圆的焦点是F1（－1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2.
【例10】若一个动点P(x,y)到两个定点A（－1，0），A′（1，0）的距离的和为定值m，试求P点的轨迹方程.
基础达标
1.椭圆=1上一点P到两个焦点的距离的和为（ ）
A.26 B.24 C.2 D.2
2.椭圆=1的焦点坐标是（ ）
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
3.已知椭圆的方程为=1，焦点在x轴上，则m的范围是（ ）
A.－4≤m≤4 B.－4＜m＜4 C.m＞4或m＜－4 D.0＜m＜4
4.a=6,c=1的椭圆的标准方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.以上都不对
5.椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.4 D.10
6.方程=1表示椭圆，则α的取值范围是（ ）
A.－＜α＜0 B.π＜α＜2π
C.2kπ－＜α＜2kπ(k∈Z) D.2kπ+π＜α＜2kπ+2π(k∈Z)
7.已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是（ ）
A.+x2=1 B.+y2=1
C.+y2=1或x2+=1 D.以上都不对
8.已知椭圆的方程是+=1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1、F2，且｜F1F2｜=8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为（ ）
A.10 B.20 C.2 D.4
9.椭圆的两焦点为(－2，0)和(2，0)，且椭圆过点()，则椭圆方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
10.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′中点M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.可能是圆也可能是椭圆 D.以上都有可能
11.点P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于4，则P点的坐标是 .
12.若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M是AB的中点，则点M的轨迹方程是 .
综合发展
1.椭圆2x2+3y2=12的两焦点之间的距离是（ ）
A.2 B. C. D.2
2.椭圆=1的焦距等于2，则m的值为（ ）
A.5或3 B.8 C.5 D.16
3.若△ABC的两个顶点坐标A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A.=1 B.=1(y≠0)
C. =1(y≠0) D. =1(y≠0)
4.过点（－3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
5.若α∈(0,)，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是（ ）
A.(0,) B.(0,) C.(,) D.［,)
6.若方程ax2＋by2＝c（ab≠0，c＞0）表示焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A.a＞b＞0 B.a＞0,b＞0 C.b＞a＞0 D.＞
7.已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是（ ）
A.4x2+y2=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1
8.△ABC两个顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是－，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A.+=1(y≠±6) B.+=1(y≠±6)
C.+=1(x≠±6) D.+=1(x≠±6)
9.已知A（0，－1）、B（0，1）两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A.+=1(x≠±2) B.+=1(y≠±2)
C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0)
10.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）
A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1
11.已知椭圆上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|= .
12.若线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=60，点M是AB上一点，且|AM|=36，则点M的轨迹方程是 .
13.已知动圆C和定圆C1：x2+(y-4)2=64内切而和定圆C2：x2+(y+4)2=4外切，设C（x，y），则25x2+9y2= .
14.已知F1、F2是平面α内的定点，并且｜F1F2｜=2c（c＞0）,M是α内的动点，且｜MF1｜+｜MF2｜=2a，判断动点M的轨迹.
15.设椭圆=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，求四边形ABCD的面积.
16.已知圆A：x2+(y+6)2=400，圆A内一定点B（0，6），圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程.

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