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第一学期八年级期中考试试题数学
考试时间：8:00-10:00 试卷满分：150分
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 在第届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取金、银、铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
2. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点
5. 如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 4种 D. 7种
6. 如图，在中，，，，，则（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
7. 如图，点B在上，，，时，的度数为（　　）
A. B. C. D.
8. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程）
9. 如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________．
10. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为1.6km，则M，C两点间的距离为______km．
11. 如图，点A，E，C在同一直线上，，，则的长为________．
12. 如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在的位置，若，则的度数为_________________．
13. 如图，已知，，的垂直平分线交于点D，则的周长为______．
14. 如图，和均为等腰三角形，且．当三点共线时，的度数为__________________．
15. 定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 __．
16. 小明家有一块如图所示地，其中阴影部分是两个正方形，其他的是两个直角三角形和一个正方形，米，米，小明家打算在阴影部分的土地上种花生，则种花生的面积为___________米2．
17. 如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为______．
18. 如图，，交于点，于点，若，______．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：．
20. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
21. 如图，中，，，是边上的中线，且，计算的度数．
22. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步=10尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度．
23. 如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上．连接．
（1）求证：；
（2）若，，，则求长（用含，的代数式表示）．
24. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
25. 如图，已知，边的垂直平分线与相交于点D，与相交于点E，且．
（1）若，直接写出的度数为__________；
（2）写出与的数量关系，并证明．
26. 直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ；
（2）若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数；
（3）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少 写出你的计算过程．
27. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：
①延长到使得；
②再连接，把、、集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是　 　．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请写出图1中与的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
28. 【问题引领】
问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立 请说明理由．
拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．
第一学期八年级期中考试试题数学
考试时间：8:00-10:00 试卷满分：150分
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 在第届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取金、银、铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：、是轴对称图形，故正确，符合题意；
、不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
、不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
、不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形识别，掌握轴对称图形的定义，图形结合分析是解题的关键．
2. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称的性质处理：对应点的连线互相平行，对应点的连线垂直于对称轴，到对称轴的距离相等；
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，，
故选项A，C，D正确，不符合题意，B错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，同时结合勾股数必须是三个正整数，从而得到答案．
【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，此选项不符合题意；
、不是正整数，故不是勾股数，此选项不符合题意；
、，三边是正整数，同时能构成直角三角形，故正确，此选项符合题意；
、，故不是勾股数，此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
5. 如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 4种 D. 7种
【答案】A
【解析】
【分析】正方形网格中，对称轴的位置有三种情况：水平的，竖直的，沿对角线的．按此分类逐个尝试即可．
【详解】解：对称轴水平时，涂法如图（1）；对称轴竖直时，涂法如图（2）；对称轴沿对角线时，涂法如图（3）（4）（5）．
答案：A．
【点睛】本题考查了的是利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，，则（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
7. 如图，点B在上，，，时，的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等边对等角求出，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
8. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当值最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程）
9. 如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题．
【详解】解：根据镜面对称的特征可知，
1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称，
且“+”和“=”的对称图形仍然是本身．
所以真正的火柴算式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键．
10. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为1.6km，则M，C两点间的距离为______km．
【答案】
【解析】
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论．
【详解】解：∵公路互相垂直，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查斜边上的中线．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
11. 如图，点A，E，C在同一直线上，，，则的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，得到，利用，即可求得的长．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3．
12. 如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在的位置，若，则的度数为_________________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质．根据长方形的对边平行，得到，折叠得到，利用平角的定义，求出即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 如图，已知，，的垂直平分线交于点D，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴.
∵，，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14. 如图，和均为等腰三角形，且．当三点共线时，的度数为__________________．
【答案】##56度
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可求，，由“”可证，可得，即可求解．本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明是本题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 __．
【答案】3或6
【解析】
【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵等腰是倍长三角形，
∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或，
∵，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
∵，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是，
∴的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
16. 小明家有一块如图所示的地，其中阴影部分是两个正方形，其他的是两个直角三角形和一个正方形，米，米，小明家打算在阴影部分的土地上种花生，则种花生的面积为___________米2．
【答案】25
【解析】
【分析】两个阴影正方形面积和等于．利用勾股定理即可求出．
【详解】两个阴影正方形面积和为（米2）．
故种花生的面积为米2．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据勾股定理求阴影部分的边长是解题的关键．
17. 如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】延长交于点D，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积．
【详解】解：延长交于点D，如图所示，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴ 的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18. 如图，，交于点，于点，若，______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用平行线的性质推出，，过点E作于点H，根据直角三角形30度角的性质得到，利用角平分线的性质定理得到，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点H，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了平行线的性质，等角对等边证明边相等，直角三角形30度角的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由条件证得，由全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）是解题关键．
20. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
21. 如图，中，，，是边上的中线，且，计算的度数．
【答案】
【解析】
【分析】利用等边对等角和三角形的内角和定理可求，的度数，利用等腰三角形三线合一的性质可求的度数，再利用角的和差关系即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质是解题的关键．
22. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步=10尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度．
【答案】秋千绳索的长度是尺．
【解析】
【分析】设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
尺，尺，
尺，尺，
在Rt中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得，，
解得：，
答：秋千绳索的长度是尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
23. 如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上．连接．
（1）求证：；
（2）若，，，则求的长（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由于，可得，则有，结合，，利用即可证明，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）证明，由全等三角形的性质可得，根据，，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用证明及利用判定是解此题的关键．
24. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
答：居民从点A到点C将少走路程．
【小问2详解】
∵，．，
∴，
∴是直角三角形，，
∴， ，
∴，
答：这片绿地的面积是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
25. 如图，已知，边的垂直平分线与相交于点D，与相交于点E，且．
（1）若，直接写出的度数为__________；
（2）写出与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质求得，求得，再利用等边对等角求得，据此求解即可；
（2）同（1）的理由证明即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
26. 直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ；
（2）若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数；
（3）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少 写出你的计算过程．
【答案】（1）55° （2）∠CDF=45°；
（3）∠B=30°或45°
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠CFD=70°，再根据折叠的性质可得∠AFE=∠DFE，据此即可求解；
（2）连接AD，由等腰三角形的性质可得∠CFD=∠CDF=45°，由等腰三角形的性质可求∠FDA=22.5°=∠FAD，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【小问1详解】
解：∵∠C=90°，∠CDF=20°，
∴∠CFD=90°-20°=70°，
∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，
∴∠AFE=∠DFE==55°，
故答案为：55°；
【小问2详解】
解：连接AD，
∵△CDF为等腰三角形，∠FCD=90°，
∴∠CDF=∠CFD=45°；
【小问3详解】
解：∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，
∴AF=DF，AE=DE，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠CFD=∠FAD+∠FDA，
∴∠FDA=22.5°=∠FAD，
∴∠ADC=67.5°，
∵∠ADC=∠B+∠DAB，
∴∠DAB=67.5°-∠B，
∵AE=DE，
∴∠DAB=∠ADE=67.5°-∠B，
∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B，
若∠DEB=∠B时，
∴135°-2∠B=∠B，
∴∠B=45°；
若∠DEB=∠EDB时，
∴∠DEB=∠EDB=135°-2∠B，
∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°，
∴135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°，
∴∠B=30°；
若∠EDB=∠B，
∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°，
∴135°-2∠B+∠B+∠B=135°≠180°（不合题意舍去），
综上所述：∠B=30°或45°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
27. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：
①延长到使得；
②再连接，把、、集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是　 　．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请写出图1中与的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】（1）
（2），见解析
（3），，见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而得出)，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，)，得出，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出，，，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．
【小问1详解】
解：延长到使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
，
理由：由（1）知，，
，
；
【小问3详解】
，，
理由：如图2，延长到使得，连接，
由（1）知，，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形三边关系，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．
28. 【问题引领】
问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立 请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．
【答案】问题1：；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：．
【解析】
【分析】问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到；
问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论；
问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论．
【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长到点G．使．连接，
∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．结论：，理由如下：
如图3，在上取一点G．使．连接，
∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．

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