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微专题　借助垂线段最短解决线段最值问题
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，P为BC边上一点，连接DP，BD，若BD⊥CD，且∠ADB＝∠C，则DP的最小值为________．
第1题图　　
2. (2022毕节)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为________．
第2题图
3. (2022铜仁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为________．
第3题图　　
4. (2019威海18题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝(k≠0)的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM.则线段OM长度的最小值是________(用含k的代数式表示)．
第4题图
5. 如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，P是直线BC上一动点，Q是x轴上一动点，连接AP，PQ，求AP＋PQ的最小值．
第5题图
6. (2022连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC.
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值．
第6题图
微专题　借助垂线段最短解决线段最值问题
1. 4　【解析】如解图，过点D作DP′⊥BC于点P′，根据垂线段最短可知，当点P与点P′重合时，DP的长度最小，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠A＝∠BDC.∵∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∴AD＝DP′.∵AD＝4，∴DP′＝4，∴DP的最小值为4.
第1题解图
2. 　【解析】如解图，设AC，PQ交于点O，∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过点O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴＝，∴＝，∴OP′＝，则PQ的最小值为2OP′＝.
第2题解图
3. 　【解析】如解图，作点P关于CE的对称点P′， 由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于点F，交CE于点G，∵MN＋NP＝MN＋NP′≥MF，∴MN＋NP的最小值为MF的长，如解图，连接DG，DM，设DM与CE交于点O，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，∵AD＝CD＝2，DE＝1，∴CE＝＝，∵CE·DO＝CD·DE，∴DO＝，∴EO＝，∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，∴DE∥MF，∴∠EDO＝∠GMO，∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE＝GM，∴四边形DEMG为平行四边形，∵∠MOG＝90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG＝2OE＝，GM＝ DE＝1，∴CG＝，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴＝，即＝，∴FG＝，∴MF＝1＋＝，∴MN＋NP的最小值为.
第3题解图
4. 　【解析】如解图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A(m，)，则B(m＋4，－4)，∴(m＋4)(－4)＝k，整理得k＝m2＋4m，∴A(m，m＋4)，B(m＋4，m)，∴M(m＋2，m＋2)，∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为.
第4题解图
5. 解：如解图，连接AC，
当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)．
当y＝0，即－x2＋x＋2＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，
∵点A在点B左侧，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5，
∴AC＝＝，
BC＝＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
如解图，作点A关于直线BC的对称点A′，
过点A′作x轴的垂线，交BC于点P′，交x轴于点Q′，
连接AP′，要使AP＋PQ的值最小，
则A′，P，Q三点共线，
且A′Q⊥x轴，
即当点P位于点P′，
点Q位于点Q′时，
AP＋PQ的值最小，
最小值为A′Q′的长．
∵点A与点A′关于直线BC对称，
∴AP′＝A′P′，点C在AA′的垂直平分线上，
∵A(－1，0)，
∴A′(1，4)，Q′(1，0)，
∴A′Q′＝4，
∴AP＋PQ的最小值为4.
第5题解图
6. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵DE＝AD，∴DE＝BC.
又∵点E在AD的延长线上，
∴DE∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE为菱形；
(2)解：如解图，由菱形对称性得，点N关于BE的对称点N′在DE上，
∴PM＋PN＝PM＋PN′.
当P，M，N′三点共线时，PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′.
过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵DE∥BC，∴MN′的最小值即为平行线间的距离DH的长．
∵△DBC是边长为2的等边三角形，
∴在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，
sin∠DBC＝.
∴DH＝DB·sin ∠DBC＝2×＝.
∴PM＋PN的最小值为.
第6题解图微专题　遇到角平分线如何添加辅助线
1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，则△CDE的面积为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 20
第1题图　
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，BC＝4，则CD的长为________．
　
第2题图
3. 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE⊥BE，若AE＝3，则BC的长为________．
第3题图
4. 如图，在正方形ABCD中，连接对角线AC，AE平分∠BAC交BC于点E，过点C作CF⊥AE的延长线于点F.
(1)求证：AE＝2CF；
(2)若CE＝2，求BE的长．
第4题图
5. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接EC，EB.
(1)如图①，若∠ABE＝60°，判断AB，AC，CE之间的数量关系并证明；
(2)如图②，若AB＋AC＝AE，求∠BAC的度数．
第5题图
微专题　遇到角平分线如何添加辅助线
1. B　【解析】如解图，过点D作DG⊥AC于点G，∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴∠BCD＝∠ACD，DG＝DF＝4，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝5，∴S△CDE＝CE·DG＝×5×4＝10.
第1题解图
2. 4－4　【解析】∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴∠C＝60°，AC＝2BC＝8，AB＝BC＝4，∵BD是∠ABC的平分线，如解图，作点C关于BD的对称点E，连接DE，(已知∠A＝30°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，考虑作点C关于BD的对称点构造特殊三角形)∴点E在AB上，∵点C，E关于BD对称，∴∠C＝∠BED＝60°，BE＝BC＝4，CD＝ED，∴AE＝AB－BE＝4－4，∵∠EDA＝∠BED－∠A＝30°＝∠A，∴AE＝DE，∴CD＝AE＝4－4.
第2题解图
3. 6　【解析】如解图，延长CE交BA的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝3.∵CE⊥BE，∴△BCF为等腰三角形，∴BC＝BF，E为CF的中点，∵AD∥BC，∴AE为△BCF的中位线，∴A为BF的中点，∴BC＝BF＝2AB＝6.
第3题解图
4. (1)证明：∵AE平分∠BAC交BC于点E，且CF⊥AE交AE延长线于点F，
如解图①，分别延长AB和CF交于点G，
∴∠GAF＝∠CAF，
∠AFG＝∠AFC＝90°，
∴CF＝FG＝GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠CBG＝90°，AB＝BC，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠BCG＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠BCG，
在△BAE和△BCG中，
，
∴△BAE≌△BCG(ASA)，
∴AE＝CG，
∵CF＝CG，
∴AE＝2CF；
第4题解图
(2)解：∵AE平分∠BAC，正方形ABCD中∠ABC＝90°，
如解图②，过点E作EH⊥AC于点H，(已知AE平分∠BAC，∠ABC＝90°，考虑过点E向角的另一边作垂线)
∴BE＝EH，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠EHC＝90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴EH＝＝＝，
∴BE＝EH＝.
5. 解：(1)AB＝AC＋CE，证明如下：
如解图①，在线段AB上截取AH＝AC，连接EH.
第5题解图①
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE.
在△ACE和△AHE中，
∴△ACE≌△AHE(SAS)，
∴CE＝HE.
∵EF垂直平分BC，
∴CE＝BE＝HE.
又∵∠ABE＝60°，
∴△EHB是等边三角形，
∴BH＝HE，
∴CE＝BH，
∴AB＝AH＋HB＝AC＋CE；
(2)如解图②，在线段AB上截取AH＝AC，连接EH，过E作EM⊥AB于点M，
同(1)得△ACE≌△AHE，
∴CE＝HE，
∴△EHB是等腰三角形，
∵EM⊥AB，
∴HM＝BM，
∴AC＋AB＝AH＋AB＝AM－HM＋AM＋MB＝2AM，
∵AC＋AB＝AE，
∴AM＝AE，
在Rt△AEM中，cos ∠EAM＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∴∠BAC＝2∠EAB＝60°.
第5题解图②微专题　半角模型
1. (2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(　　)
A. 2α B. 90°－2α
C. 45°－α D. 90°－α
第1题图
2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，CE＝4，则DE的长为______．
第2题图
3. 如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于点M，N，连接MN.若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
第3题图
4. (2023赤峰)数学兴趣小组探究了以下几何图形，如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN.
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．
求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F.
求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．
第4题图
微专题　半角模型
1. A　【解析】如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠ABG＝∠D＝90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，∴点G在CB的延长线上．∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝90°－45°＝45°，∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE，又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴∠GEA＝∠FEA＝90°－α，∴∠FEC＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α.
第1题解图
2. 2　【解析】如解图，将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，则AB与AC重合，连接EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠BAD＝∠CAF，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ADE(SAS)，∴EF＝DE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝45°＋45°＝90°，在Rt△ECF中，由勾股定理得EF＝＝＝2，∴DE＝2.
第2题解图
3. 解：如解图，延长AC至点E，使得CE＝BM，连接DE，
∵△BDC为等腰三角形，∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB＝60°＋30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°.
在△MBD与△ECD中，
∴△MBD≌△ECD(SAS)，
∴MD＝ED，∠BDM＝∠CDE，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠BDM＋∠CDN＝60°，
∴∠CDE＋∠CDN＝60°，即∠EDN＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.
在△DEN和△DMN中，
∴△DEN≌△DMN(SAS)，
∴MN＝EN＝NC＋CE＝BM＋NC，
∵等边△ABC的边长为2，
∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝(AM＋BM)＋(NC＋AN)＝AB＋AC＝2＋2＝4.
第3题解图
4. 【探究一 】证明：如解图①，连接MH，交CN于点G，
由旋转的性质可得，CM＝CH，∠MCD＝∠HCB且∠HCM＝90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
又∵∠MCN＝45°，
∴∠MCD＋∠NCB＝45°，
即∠HCB＋∠NCB＝∠NCH＝45°，
∴∠MCN＝∠NCH，
在△MCN和△HCN中
，
∴ △MCN≌△HCN (SAS)，
∴∠CNM＝∠CNH；
第4题解图①
【探究二】 证明：如解图②，由【探究一】得，∠CNM＝∠CNH，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBN＝∠MCN＝45°，
∴△FBN∽△MCN，
∴∠BFN＝∠CMN，
又∵∠BFN＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CMN，
又∵∠FCE＝∠MCN，
∴△CEF∽△CNM；
第4题解图②
【探究三】 解：由【探究二】得，△CEF∽△CNM，
∴＝＝，
∵∠MCN＝∠MCD＋∠DCN＝45°，
∠ACD＝∠DCN＋∠OCF＝45°，
∴∠MCD＝∠FCO，
又∵∠MDC＝∠FOC＝90°，
∴△MCD∽△FCO，
∴＝＝＝，＝＝.微专题　遇到中点如何添加辅助线
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC，连接DM，DN，MN.若AB＝8，则DN＝__________________.
第1题图　
2. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，则CE的长为________．
第2题图
3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则DF的长为__________．
第3题图
4. (2023广西)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________．
第4题图
5. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，则BC的长为________．
第5题图
6. (2023沈阳改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，AD＝1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为________．
第6题图
7. 如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为________．
第7题图
8. 如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是AD，CE的中点，若AB＝6，则线段MN的最小值为________．
第8题图
9. 如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，连接AF，EF，求证：AF＝EF.(请用两种方法解答)
第9题图
微专题　遇到中点如何添加辅助线
1. 4　【解析】如解图，连接CM，∵M，N分别是AB，AC的中点，∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝4，∴DN＝4.
第1题解图
2. 　【解析】如解图①，延长BC至点F，使得CF＝BC，连接DF，∵AB＝2BC，∴BF＝BA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，又∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDA(SAS)，∴DF＝DA＝5，∵E为BD的中点，BC＝CF，∴CE＝DF＝.
第2题解图
【一题多解】如解图②，在AB上取一点G，使得BG＝BC，连接GE，易证△BCE≌△BGE，结合AB＝2BC，E为BD中点，得到G为AB中点，利用三角形中位线的性质求得EG的长，进而求得CE的长．
3. 　【解析】如解图，连接DE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∵∠CAB＝90°，AB＝AC＝6，∴BC＝＝6，∴AD＝BC＝3，∵E为AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴DF＝AD＝.
第3题解图
4. 　【解析】如解图，连接AE，AC，∵M，N分别为EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN＝AE，当点E与点C重合时，AE最大，此时MN最大，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，则AC＝2，∴AE的最大值为2，∴MN的最大值为.
第4题解图
5. 6　【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝AE，∠DBC＝∠AED＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠AED＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.
第5题解图
6. 　【解析】当点D在线段AC上时，如解图，过点 O 作 AC 的平行线， 交 BC 于点 F，∵AC＝BC＝3，AD＝1，DE∥AB，∴CD＝2，BE＝1，∵∠ACB＝90° ，OF∥AC，点O 是线段 BD 的中点，∴∠OFB＝90°，OF＝CD＝1，BF＝BC＝，EF＝BF－BE＝－1＝，在Rt△EFO中，OE＝＝＝.
第6题解图
7. 3　【解析】如解图，延长GE至点H，使得EH＝GE，连接BH，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE，在△GEA和△HEB中，
∴△GEA≌△HEB(SAS)，∴AG＝BH＝1，∠EBH＝∠A＝90°，∴F，B，H三点共线，∴HF＝FB＋BH＝3，又∵EF⊥GE，EH＝GE，∴GF＝FH＝3.
第7题解图
8. 　【解析】如解图，连接CM，∵△ACD和△BCE为等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝60°，∵M是AD的中点，∴CM⊥AD，∠DCM＝30°，∴∠MCN＝90°，设AC＝a，则CM＝，∵AB＝6，∴CN＝，∴在Rt△MCN中，由勾股定理得MN＝＝＝，∴当a＝时，MN的值最小为.
第8题解图
9. 证明：证法一(倍长中线)：
如解图①，延长AF至点G，使得FG＝AF，连接CG，
第9题解图①
∵点F是BC的中点，∴BF＝CF.
∵AF＝FG，∠AFB＝∠CFG，
∴△ABF≌△GCF，
∴∠B＝∠BCG.
∵∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠BCG＋∠BCD＝180°，
∴E，C，G三点共线．
∵AE⊥CD，F为AG的中点，
∴EF为Rt△AEG斜边上的中线，
∴AF＝EF；
证法二(倍长类中线)：
如解图②，延长EF交AB的延长线于点G，
第9题解图②
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠G＝∠CEF.
∵∠BFG＝∠CFE，BF＝CF，
∴△BGF≌△CEF.
∴GF＝EF＝EG.
∵AE⊥CD，
∴AE⊥AB.
∴在Rt△AGE中，AF＝EG.
∴AF＝EF.微专题　全等、相似三角形的简单模型
1. (2023徐州)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且＝，则AE的长为(　　)
A. 1 B. 2
C. 1或 D. 1或2
第1题图　
2. (2023陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　)
第2题图
A. B. 7 C. D. 8
3. (2020无锡改编)如图，已知△ABF≌△DCE，点B，F，E，C在同一直线上，若BC＝5，EF＝1，则BF的长为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第3题图　　
4. (2023成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为________．
第4题图
5. (2022安顺改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE.若∠BAD＝22.5°，则CE的长为______．
第5题图　
6. (2023湘潭改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若AB＝6，BC＝10，则BD的长为________．
第6题图
7. (2022黄石改编)如图，在△ABC和△ADE中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝
第7题图
∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连接CE，若∠EAC＝60°，则∠CED＝________°.
8. (2023温州)如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH.
(1)求证：BE＝CF；
(2)当＝，AD＝4时，求EF的长．
第8题图
微专题　全等、相似三角形的简单模型
1. D　【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F，∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝，∴＝＝，∵BC＝2，∴DE＝1，∵在Rt△ADF中，AD＝，∠A＝30°，∴DF＝，AF＝，∴在Rt△DFE中，EF＝＝，①当点E在AF上时，AE＝AF－EF＝1；②当点E在CF上时，AE＝AF＋EF＝2，综上所述，AE的长为1或2.
第1题解图
2. C　【解析】∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝3，DE∥BC，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝，∴MB＝ED＝，∴CM＝MB＋BC＝.
3. C　【解析】∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE，∵BC＝5，∴BC＝EF＋2BF，∴BF＝2.
4. 3　【解析】∵由三角形全等得：EF＝BC＝8，∴CF＝EF－CE＝8－5＝3.
5. －1　【解析】∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝－1.
6. 3.6　【解析】∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴BD＝3.6.
7. 30　【解析】∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°－∠ACE－∠EAC＝180°－45°－60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝75°－45°＝30°.
8. (1)证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴FG＝EH＝GE＝GH，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴BF＝CE，
∴BF－BC＝CE－BC，
即BE＝CF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x＋4，EF＝2x＋4，
∴＝，
解得x＝1，
∴EF＝6.微专题　手拉手模型
1. 如图，△ABC和△AED均为等腰三角形，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，连接BE，CD，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为(　　)
A. 56° B. 60° C. 62° D. 64°
第1题图　
2. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，将△ABC绕点A旋转后与△AB′C′重合，连接BB′，CC′，则的值为(　　)
第2题图
A. B. C. D.
3. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB′C′D′，此时B′C′恰好经过点D，连接BB′，则BB′的长为(　　)
A. B. 3 C. D.
第3题图　
4. 如图，△ACD和△ABE均为等边三角形，且点E在△ACD内部，连接CB，CE，DE，∠AED＝150°，若AE⊥CE，则的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
第4题图
5. 如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，O是BC的中点，连接EO并延长至点F，使得EO＝OF，连接BF，则的值为(　　)
第5题图
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，AC，∠BAE＝∠EBC＝∠CAD＝45°，BE＝2DE，CE⊥BD.
(1)求的值；
(2)求证：AE∥CD.
第6题图
微专题　手拉手模型
1. A　【解析】∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－62°－62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°.
2. C　【解析】∵△ABC绕着点A旋转后与△AB′C′重合，∴AB＝AB′＝5，AC＝AC′＝3，∠BAC＝∠B′AC′，∴＝＝，∠BAC＋∠BAC′＝∠B′AC′＋∠BAC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△ABB′∽△ACC′，∵＝，∴＝()2＝.
3. D　【解析】如解图，连接DD′.∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB＝6，BC＝10，∴AD′＝AD＝10，AB′＝AB＝6，∠C′＝∠AB′C′＝90°，∠BAB′＝∠DAD′，在Rt△AB′D中，B′D＝＝＝8，∴DC′＝2，在Rt△C′D′D中，D′D＝＝＝2，∵∠BAB′＝∠DAD′，AB＝AB′，AD＝AD′，∴△BAB′∽△DAD′，∴＝，∴＝，∴BB′＝.
第3题解图
4. B　【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴∠ABC＝∠AED＝150°，∴BC＝DE，∵∠ABE＝60°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝150°－60°＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE＝60°，∴∠CEB＝30°，∴＝，∴＝，∵AE＝BE，∴＝.
5. B　【解析】如解图，连接BE，EC，CF，∵∠DAE＝∠BAC＝30°，∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴＝＝，∴△ADB∽△AEC，∴＝＝＝.∵点O是BC的中点，OE＝OF，∴四边形BECF是平行四边形，∴BF＝EC，∴＝＝.
第5题解图
6. (1)解：∵∠BAE＝∠EBC＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
∵∠AED＝∠ABE＋∠BAE，∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，
∴∠AED＝∠ABC，∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
∵CE⊥BD，∠EBC＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BC＝BE，
∵BE＝2DE，
∴＝＝＝＝；
(2)证明：由(1)知，＝，
则＝，
∵∠CAD＝∠BAE＝45°，
∴△CAD∽△BAE，
∴∠ABD＝∠ACD，
如解图，取BE的中点F，连接CF，∴BF＝EF＝DE，
第6题解图
∴＝＝＝，
∵＝，∴＝，即＝，
∵∠FBC＝∠DAC＝45°，
∴△FBC∽△DAC，
∵CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，
∴CF＝CD，易得△FBC≌△DAC，
∴CB＝CA，∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CBF＋∠ABF＝∠BAE＋∠CAE，
∴∠ABE＝∠CAE＝∠ACD，
∴AE∥CD.微专题　一线三等角模型
1. (2023重庆A卷)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．
第1题图
2. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，若AD＝1，AF＝2，则CE的长为________．
第2题图
3. (2023聊城19题8分)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠ C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED面积．
第3题图
4. (2020苏州改编)问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.已知AB＝1，CD＝3，则BC长为多少？
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．
第4题图
微专题　一线三等角模型
1. 3　【解析】∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFA＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AE＝CF＝1，AF＝BE＝4，∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.
2. 3　【解析】如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，则∠EHD＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°.∵∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF.∵∠ADF＋∠HDE＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠HDE.∵∠A＝∠EHD＝90°，FD＝DE，∴△ADF≌△HED(AAS)，∴AD＝HE＝1，AF＝DH＝2.∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD＋DH＋BH＝4，∴BC＝AB＝4，∴CE＝BC－BE＝3.
第2题解图
3. (1)证明：∵∠B＝∠AED，
∴∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△BAE和△CED中，
，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
(2)解：过点E作EF⊥AD于点F，
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°，
∵DE＝4，
∴DF＝DE＝2，
∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2，
∴S△AED＝AD·EF＝×4×2＝4.
第3题解图
4. 解：问题1：∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD(AAS)，
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP＋PC＝AB＋CD，
∵AB＝1，CD＝3
∴BC＝AB＋CD＝4；
问题2：如解图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
第4题解图
由(1)可知，EF＝AE＋DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE＋EF＋CF＝2(AE＋DF)，
∴＝＝.

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