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专题四十 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识归纳
一、离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
典例分析
题型一、离散型随机变量
【例1-1】下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【例1-2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
题型二、求离散型随机变量的分布列
【例2-1】随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【例2-2】设随机变量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
【例2-4】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
【例2-5】假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是 ．
【例2-6】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是 ．
【例2-7】甲 乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
题型三、离散型随机变量的分布列的性质
【例3-1】已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
1 2 3
若，则 .
【例3-2】随机变量X的分布列为
X
P
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
【例3-3】随机变量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
则___________.
【例3-4】设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是 .
题型四、离散型随机变量的均值
【例4-1】已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则___________.
【例4-2】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【例4-3】已知随机变量的分布列为：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【例4-4】从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】2022年10月16日至22日中共二十大在北京召开，二十大报告指出，必须坚持科技是第一生产力，人才是第一资源，创新是第一动力，这其实是我党的一贯政策．某材料学博士毕业时恰逢国家大力倡导“开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势”，于是同一帮志同道合的博士同学，在老家创办新材料公司，专注于二氧化硅、碳纤维增强陶瓷基、树脂基三大类复合材料的研发与生产，预计到今年年底这三大类复合材料盈利100万元的概率分别为0.8，0.5，0.4，若三大类复合材料到今年年底是否盈利100万元相互独立，记三大类复合材料有X类到今年年底盈利100万元，则的数学期望 ．
【例4-7】一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-8】如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件．记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件．
(1)求；
(2)判断事件是否独立，并说明理由；
(3)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望．
【例4-9】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．
（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中．
（ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；
（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求．
【例4-10】甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值．（参考公式）
【例4-11】有一种双人游戏，游戏规则如下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次游戏双方从袋中轮流摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小胡先摸球．
(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；
(2)记3次游戏中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【例4-12】某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
题型五、离散型随机变量的方差
【例5-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】设，若随机变量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关 B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关 D．都与m无关
【例5-4】从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-5】如图，在数轴上，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则X的方差为（ ）
A．0 B． C．3 D．5
【例5-6】已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为表1：
表2：
(1)若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2)若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【例5-7】一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.
(1)若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.
【例5-8】某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时按每小时10元进行补贴，记加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则，已知完成各工序所需时长(小时)如下表：
原料工序 原料1 原料2 原料3 原料4 原料5 原料6
工序1 1 1 2 3 2 4
工序2 6 4 3 1 4 1
工序3 5 3 4 6 3 2
由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：.
（1）从6件原料中任选一件，求的概率；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，求的分布列及数学期望；
（3）记数据的方差为，数据的方差为，试比较，的大小.（只需写出结果）
题型六、决策问题
【例6-1】为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【例6-2】从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名学生独立解题.
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
【例6-3】统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【例6-4】为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同 编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号 2号 3号箱分别可得3分 4分 5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩.
(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；
(2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中1号 2号 3号箱的概率依次为.已知选手每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.
（i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱？
（ii）假设选手得了23分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率.
【例6-5】据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【例6-6】2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
商品日销售量（单位：件） 6 7 8 9 10
甲平台的天数 14 26 26 24 10
乙平台的天数 10 25 35 20 10
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【例6-7】某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有个号码分别为、、、、的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除个积分，乙增加个积分；若号码之差为偶数，则甲增加个积分，乙被扣除个积分．游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．
(1)设游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；
(2)以（1）中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数的最小值为．
①求的值，并说明理由；
②当时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．
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专题四十 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识归纳
一、离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
典例分析
题型一、离散型随机变量
【例1-1】下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
【例1-2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
题型二、求离散型随机变量的分布列
【例2-1】随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【答案】1024
【解析】由题意.
【例2-2】设随机变量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
【例2-3】设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
【答案】
ξ 0 1
P
【解析】正方体的12条棱中任取两条共有种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，ξ的可能取值为0，1，，分别求出其概率即可.ξ的可能取值为0，1，.
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，则P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P
【例2-4】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】的可能取值是0、1、2、4，
，，，.
的分布列为：
0 1 2 4
P
【例2-5】假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是 ．
【答案】
1 3 5 7 9 11
P
【解析】据题意，的可能取值为1，3，5，7，9，11，
＝1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有种不同的走法；
同理，＝3时，有种；＝5时，有种；＝7时，有种；
＝9时，有种；＝11时，有1种，
所以，走完这段楼梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144种不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
【例2-6】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是 ．
【答案】
2 3 4 5 6
P
【解析】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则.
由已知，可取.
表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，
所以
.
所以，的分布列是
2 3 4 5 6
P
【例2-7】甲 乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为
0 1
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以．
题型三、离散型随机变量的分布列的性质
【例3-1】已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
1 2 3
若，则 .
【答案】
【解析】因为,① 且,②，
所以①②可得，.
【例3-2】随机变量X的分布列为
X
P
若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
【例3-3】随机变量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
则___________.
【答案】64
【解析】根据概率分布列的概率性质可知，
所以，即，解得.
【例3-4】设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】由题意可得：，且,，，2，，10，
对①：当为等差数列时，则，
可得，故，①正确；
对②：当为等差数列时,由①知，所以，
由于,，所以，解得：，故②错误；
对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，
则，可得,，③正确；
对④：当数列满足，2，时，则，
可得，,3，时,
所以，
由于，所以，
因此，
由于，所以，因此，
当也符合，故，④正确．
题型四、离散型随机变量的均值
【例4-1】已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则___________.
【答案】
【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得，
∴.
由，得，即.
【例4-2】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【答案】0
【解析】根据概率的性质可得解得，
所以，
所以.
【例4-3】已知随机变量的分布列为：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】由随机变量的分布列，可得期望，
所以.
【例4-4】从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，
于是得，解得，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为，解得，则，
所以取出一红一黄的概率为.
【例4-5】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以，，，
所以期望为．
【例4-6】2022年10月16日至22日中共二十大在北京召开，二十大报告指出，必须坚持科技是第一生产力，人才是第一资源，创新是第一动力，这其实是我党的一贯政策．某材料学博士毕业时恰逢国家大力倡导“开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势”，于是同一帮志同道合的博士同学，在老家创办新材料公司，专注于二氧化硅、碳纤维增强陶瓷基、树脂基三大类复合材料的研发与生产，预计到今年年底这三大类复合材料盈利100万元的概率分别为0.8，0.5，0.4，若三大类复合材料到今年年底是否盈利100万元相互独立，记三大类复合材料有X类到今年年底盈利100万元，则的数学期望 ．
【答案】
【解析】记三大类复合材料有X类到今年年底盈利100万元，则，
，
，
，
，
则的分布列为：
故答案为：1.7
【例4-7】一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则
②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则
③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则
故由全概率公式，，
同理，
【例4-8】如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件．记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件．
(1)求；
(2)判断事件是否独立，并说明理由；
(3)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，因为飞机每前移一格的概率为，故；
（2）由题意，事件抛掷骰子一次后，飞机到达1号格，只能是前移了1格；事件抛掷骰子两次后，飞机到达2号格可能前移了两次一格，或一次前移两格一次原地不动.
故，，
因此，所以事件，相互独立．
（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以．
【例4-9】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．
（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中．
（ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；
（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求．
【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．
所以．
（2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．
由题意可得；；；；
所以M的分布列为：
M 1 2 3 4 5 6 7
P
因为，所以X的可能取值为：0，40，80，120．
其中，，，．
所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为：
X 0 40 80 120
P
所以数学期望为．
（ii）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为．
因为，所以．
【例4-10】甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值．（参考公式）
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
．
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，．
故的分布列如下图所示：
0 1 2 3 4 6
②，，
，，
∴，．
【例4-11】有一种双人游戏，游戏规则如下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次游戏双方从袋中轮流摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小胡先摸球．
(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；
(2)记3次游戏中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）记小胡“第一轮摸到白球”为事件A，“小胡获胜”为事件B，
则，，
故；
（2）记一次游戏中“先摸球者获胜”为事件C，
则，
则X的可能取值为，
则，，
,
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故.
【例4-12】某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
【解析】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，
则
（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6
的分布列为
0 3 6
题型五、离散型随机变量的方差
【例5-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据方差和期望的性质可得：,.
【例5-2】设，若随机变量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大.
【例5-3】已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关 B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关 D．都与m无关
【答案】C
【解析】由题可知：
，
，
故，
==．
【例5-4】从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，.
【例5-5】如图，在数轴上，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则X的方差为（ ）
A．0 B． C．3 D．5
【答案】C
【解析】X可能取值为1，，3，
，
则，
．
【例5-6】已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为表1：
表2：
(1)若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2)若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【解析】（1）由题意，得，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
【例5-7】一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.
(1)若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.
【解析】(1)由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，
又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，
∴，，，
，，
∴X的分布列如下：
2 3 4 5 6
(2)由题设，当时，，
当时，， 当时，，
∴，
，
，
∴，则，，，
∴.
【例5-8】某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时按每小时10元进行补贴，记加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则，已知完成各工序所需时长(小时)如下表：
原料工序 原料1 原料2 原料3 原料4 原料5 原料6
工序1 1 1 2 3 2 4
工序2 6 4 3 1 4 1
工序3 5 3 4 6 3 2
由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：.
（1）从6件原料中任选一件，求的概率；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，求的分布列及数学期望；
（3）记数据的方差为，数据的方差为，试比较，的大小.（只需写出结果）
【解析】（1）由题意得，，，，，，
，，，，，，
所以从6件原料中任选一件，有，，，，
所以从6件原料中任选一件，的概率为；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，则，
则；；，
X的分布列为
X
P
所以X的数学期望为；
（3）>．
题型六、决策问题
【例6-1】为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【解析】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，则，
由题意可知,则;
.
（2）设A班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为，
当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为，
故；
当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为，则小组没有出线的概率为，
故；
故，
令，
则
，
因为，所以，故，
则，即，故为单调增函数，
因为，
由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即，
此时
故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.
【例6-2】从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名学生独立解题.
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
【解析】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：
：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.
：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.
：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.
.
.
.
.
（2）若为甲出方案.
则甲可能的选项个数为：1，2，3.
记表示选1个选项的得分，则期望为.
记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
，，，
此时期望为.
记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5
，，
此时期望为.
∵，.
∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.
若为乙出方案，则乙可能的选项个数为：1，2，3.
记表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则
记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
此时.
记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时.
∵，
∴当时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩.
当时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩，
当时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩.
【例6-3】统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【解析】（1）,
故分布列为：
0 1 2
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，当时，当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
【例6-4】为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同 编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号 2号 3号箱分别可得3分 4分 5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩.
(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；
(2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中1号 2号 3号箱的概率依次为.已知选手每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.
（i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱？
（ii）假设选手得了23分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率.
【解析】（1）设5次投掷投中1号次，2号次，3号次，未投中次，
则，解得或或或
不同的方法数.
（2）（i）设选手选择1号 2号 3号箱作为目标箱，5次投中的次数依次为，
最终的得分分别为.则
建议选手选择1号箱.
（ii）方案一：连续5次选择投掷3号箱
最终获胜的概率为.
方案二：前4次均选择投掷3号箱，第5次投2号箱
最终获胜的概率为
【例6-5】据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
【例6-6】2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
商品日销售量（单位：件） 6 7 8 9 10
甲平台的天数 14 26 26 24 10
乙平台的天数 10 25 35 20 10
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【解析】（1）令事件“甲平台日销售量不低于8件”，则，
令事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，
则
（2）设甲平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为
所以，，
设乙平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，当时，选择甲平台；当时，甲乙平台均可；当时，选择乙平台.
【例6-7】某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有个号码分别为、、、、的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除个积分，乙增加个积分；若号码之差为偶数，则甲增加个积分，乙被扣除个积分．游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．
(1)设游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；
(2)以（1）中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数的最小值为．
①求的值，并说明理由；
②当时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．
【解析】(1)记“一局游戏后甲被扣除个积分”为事件，“一局游戏后乙被扣除个积分”为事件，
由题可知，则，
当三局均为甲被扣除个积分时，，
当两局为甲被扣除个积分，一局为乙被扣除个积分时，，
当一局为甲被扣除个积分，两局为乙被扣除个积分时，，
当三局均为乙被扣除个积分时，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
－6
P
(2)①由（1）易得，
显然甲、乙双方的积分之和恒为零，
当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需，
所以，，即正整数的最小值；
②当时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件，则，
由题设可知若甲获得“购书券”奖励则甲被扣除积分的局数至多为，
记“甲获得“购书券”奖励”为事件，易知事件为“甲恰好有一局被扣除积分”，
则，所以，，
即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为．
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