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专题4.8 十字相乘法（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．多项式因式分解的结果是（　　）
A． B．
C． D．
2．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（　　）
A． B． C． D．
3．如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）
5．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
6．因式分解m2-m-6正确的是（ ）
A．(m+2)(m-3) B．(m-2)(m+3) C．(m-2)(m-3) D．(m+2)(m+3)
7．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
8．若是的因式，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．－4 D．－6
9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．因式分解： ．
12．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝ ．
13．分解因式： ．
14．因式分解： ．
15．如果因式分解的结果为，则 ．
16．已知，，，则代数式的值是 ．
17．若，且、为整数，则常数的所有可能值有 个．
18．观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式 ．
三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
21．将下列各式分解因式：
（1）；（2）
22．分解因式：
（1）；（2）；（3）；
23．先阅读下面的内容，再解决问题．
对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变．于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式a2﹣8a+15；
（2）若；
①当a，b，m满足条件：2a×4b＝8m时，直接写出m的值为　 　；
②若△ABC的三边长是a、b、c，且c为奇数，求△ABC的周长．
24．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】将原式利用十字相乘法分解因式即可．
【分析】解：用十字相乘法可得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
2．A
【分析】首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．
【详解】解：利用十字交乘法将因式分解，
可得：．
，，
．
故选A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．
3．C
【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；
D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
故选C
【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．
4．D
【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．
【详解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
5．A
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．
6．A
【分析】先把分解 再利用十字相乘法分解因式，再逐一分析各选项，从而可得答案.
【详解】解： m2-m-6
故选A
【点睛】本题考查的是利用十字相乘法分解因式，掌握“利用十字相乘法分解因式”是解题的关键.
7．A
【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．
【详解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，
则k=-3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
8．D
【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．
【详解】∵多项式因式分解后有一个因式为，
∴设另一个因式是，即＝＝，
则，
解得：，
故答案为：D．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．A
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案．
【详解】解：∵
∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2，
∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，
故选A．
【点睛】本题主要考查的就是因式分解的应用，属于基础题型．
10．C
【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，
∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，
∴整数m的值有4个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键．
11．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】解：因为，且是的一次项的系数，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
12．
【分析】根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】x2﹣7xy﹣18y2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．
【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
；
故答案为：；
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如的二次三项式，若能找到两数a、b，使且，那么．
14．
【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
15．-13
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后确定A，B的值，从而求解．
【详解】解：
∴A=2，B=-15
∴A+B=-13
故答案为：-13．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
16．24
【分析】用提公因式法和十字相乘法把代数式进行因式分解后，把，，，整体代入即可求值．
【详解】∵，，，
∴
＝xy（x2－2xy－3y2）
＝xy（x－3y）（x＋y）
＝2×3×4
＝24
故答案为：24
【点睛】此题考查了代数式的求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17．
【分析】由可得再结合为整数，从而可得答案．
【详解】解：
、为整数，
或
或
或
或或
故符合题意的的值有：个，
故答案为：
【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，掌握十字乘法分解因式是解题的关键．
18．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；
（2）利用十字相乘法即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；
（2）用十字相乘法，分解因式即可；
（3）用十字相乘法，分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴；
（2）解：∵，即，
∴；
（3）解：，
∵，即，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
21．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：（1）因为即，
所以：原式＝；
（2）因为即，
所以：原式＝．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．
23．（1）（a﹣3）（a﹣5）；（2）①5；②16或18或20
【分析】（1）仿照阅读材料中的例子，配方再用平方差公式分解即可；
（2）①对所给对方式子配方，根据偶次方的非负性，可求得a和b的值，从而可得m的值；
②根据①中a、b的值和题意．可求得c的值，进而求得△ABC的周长．
【详解】解：（1）a2﹣8a+15＝a2﹣8a+16﹣1
＝（a﹣4）2﹣12
＝（a﹣3）（a﹣5）
（2）∵；
∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）+|m﹣c|＝0
∴（a﹣7）2+（b﹣4）2+|m﹣c|＝0
∴a﹣7＝0，b﹣4＝0
∴a＝7，b＝4
∵2a×4b＝8m
∴27×44＝8m
∴27×28＝23m时
∴215＝23m
∴15＝3m
∴m＝5；
故答案为：5．
②由①知，a＝7，b＝4，∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3＜c＜11，
又∵c边的长为奇数，
∴c＝5，7，9，
当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长是：7+4+5＝16，
当a＝7，b＝4，c＝7时，△ABC的周长是：7+4+7＝18，
当a＝7，b＝4，c＝9时，△ABC的周长是：7+4+9＝20．
【点评】本题考查了配方法在因式分解中的应用和在整式化简求值中的应用，掌握配方法并明确偶次方和绝对值的非负性，是解题的关键．
24．（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）①（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【分析】(1) 根据材料1,可对进行x2﹣6x+8进行分解因式;
(2) ①根据材料2的整体思想，可对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3进行分解因式;
②根据材料1、2，可对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3进行分解因式.
【详解】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】本题主要考查因式分解的方法-十字相乘法.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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