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专题5.7 分式的乘除法（知识讲解）
【学习目标】
1．学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则．
2．会分式的乘法、除法运算．
3．掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．
【要点梳理】
要点一、分式的乘除
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，．
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，．
特别说明：
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式．
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘．
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变．当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分．
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式．
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）．
特别说明：
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号．不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分．
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．如．
【典型例题】
类型一、分式的乘除 分式的乘法 分式的除法 化简
1．计算．
（1）．
（2）．
举一反三
【变式】
2．计算：
（1）；
（2）．
3．计算：
（1）；
（2）．
举一反三
【变式】
4．计算：
(1)；
(2)．
类型二、分式的乘除 分式的乘法混合运算 化简
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
举一反三
【变式1】
6．计算
（1）；
（2）．
【变式2】
7．（1）
（2）
（3）
（4）
类型三、分式的乘除 分式的乘方 化简
8．．
举一反三
【变式1】
9．计算：．
【变式2】
10．计算：（1）；（2）
类型四、分式的乘除 含分式的乘方的混合运算 化简
11．计算
（1）；
（2）．
举一反三
【变式1】
12．计算：
（1）；
（2）．
【变式2】
13．计算：
（1）；
（2）．
类型五、分式的乘除 分式加减乘除混合运算 化简
14．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
举一反三
【变式1】
15．嘉淇准备完成题目：化简：，发现代数式“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成，请你化简：；
(2)他妈妈说“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是”，通过计算求原题中“□”．
【变式2】
16．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝2022．
类型六、分式的乘除 分式化简求值
17．先化简，再求值：，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．
举一反三
【变式1】
18．已知实数x、y满足，求代数式的值．
19．先化简，再求值：
(1)（1），其中x＝﹣3；
(2)化简求值：（），其中m＝﹣1．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1），（2）．
【分析】（1）直接运用分式乘法运算法则计算即可；
（2）先对能够因式分解的部分因式分解，然后再运用分式乘法运算法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了分式乘法，掌握分式乘法运算法则以及因式分解是解答本题的关键．
2．（1）；（2）
【分析】按照分式的乘法法则进行即可，若分式的分子或分母是多项式，则应先分解因式．
【详解】（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握乘法法则是关键．
3．（1）；（2）
【分析】（1）先把除法变成乘法，然后约分即可；
（2）先把除法变成乘法，再进行因式分解，然后约分即可．
【详解】解：（1）
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，进行计算即可；
（2）根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，相乘时要先分解因式，然后约分进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了分式除法，解本题的关键在熟练掌握分式除法的法则．
5．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）（2）（3）根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）
＝；
（2）
＝；
（3）
＝．
【点睛】本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则的，本题属于基础题型．
6．（1）；（2）
【分析】（1）乘除运算统一为乘法运算，约分即可；
（2）分子分母分别分解因式，乘除运算统一为乘法运算，约分即可；
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了分式乘除的混合运算，一般两种处理方法：一是按顺序进行，但要注意运算顺序，；二是乘除运算统一为乘法运算．当分子或分母是多项式时，要先分解因式再计算．
7．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）直接根据分式的除法计算法则进行求解即可；
（2）利用完全平方公式和分式的乘除计算法则求解即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式和分式的乘除计算法则求解即可；
（4）利用完全平方公式和分式的乘除计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．．
【分析】根据分式乘方的法则进行运算即可；
【详解】解：
【点睛】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键
9．
【分析】利用幂的乘方运算法则计算即可得到结果．
【详解】可得
【点睛】此题考查了幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键．
10．（1）；（2）.
【分析】(1)根据同底数幂乘法法则时行计算即可;
(2)先计算乘方，再将除法转换成乘法，再相乘即可.
【详解】解：（1）
=
=;
（2）
=
=.
【点睛】考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘除法法则，解题关键是熟记其计算法则.
11．（1）；（2）
【分析】（1）根据分式乘方的运算法则计算即可；
（2）先计算分式的乘方，再计算乘除即可；
【详解】解：（1）；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式混合的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
12．（1）；（2）．
【分析】（1）先计算乘方，再约分即可；
（2）先计算乘方，再约分即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（1）；（2）．
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除运算法则，熟练运用约分以及因式分解是解本题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用分式的运算法则进行运算并化简即可；
（2）先通分，再相加，最后化简即可；
（3）利用分式的乘除运算法则按从左到右的顺序进行计算即可；
（4）先对括号里进行计算，最后计算除法即可．
【详解】（1）原式＝
．
（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
【点睛】本题考查了分式的加、减、乘、除等运算，解题关键是正确运用法则、掌握正确的运算顺序以及进行分式的化简．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式混合运算法则，先算括号里，再算除法进行约分，即可得到结果．
（2）根据题意，得到“□”的等式方程，再根据分式的混合运算法则进行计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：
=
=
=
（2）由题意得，
=
=
=
=
【点睛】本题考查了分式的混合运算与化简，熟练掌握运算法则与化简方法是解题关键．
16．（1）；（2），
【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简；
（2）先根据分式的加减计算，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
17．；时，原式
【分析】首先将原式能分解因式的分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，最后根据分式的性质，选出有意义的的值，即可得到原式的值．
【详解】解：
=，
当或2时，分式无意义，
故只能等于1，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
18．
【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．
【详解】解：根据题意，则
∵，
∴，
∴，，
∴，；
∴
=
=
∴；
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，以及求代数式的值，非负数的性质，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
19．(1)，
(2)m-3，-4
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：原式＝
=
=
当x＝ 3时，原式＝；
（2）原式=
=
=m-3，
当m＝﹣1时，原式=-1-3=-4．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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