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专题5.10 分式的加减法（知识讲解）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分；
2．会进行同分母分式的加减法运算；
3．会进行异分母分式的加减法运算．
【要点整理】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：．
特别说明：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误．
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式．
要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可用式子表为：．
特别说明：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键．通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法．
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式．
【典型例题】
类型一、分式的加减 同分母分式相加减 化简 求值
1．计算
（1）；
（2）．
举一反三
【变式】
2．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
类型二、分式的加减 异分母分式相加减 化简 求值
3．计算：
（1）；（2）．
举一反三
【变式】
4．计算：
（1）；（2）；（3）．
类型三、分式的加减 整式与分式相加减 化简 求值
5．计算：
举一反三
【变式1】
6．下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．
……①
……②
……③
上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．
【变式2】
7．计算：
类型四、分式的加减 已知分式的恒等式，确定分子的分子与分母
8．已如是恒等式，请分别求的a、b的值．
举一反三
【变式1】
9．已知，求、的值．
【变式2】
10．已知，求的值.
类型五、分式的加减 分式相加减混合运算 化简 求值
11．计算
(1)；
(2)；
(3)．
举一反三
【变式1】
12．计算：
(1)；
(2)．
【变式2】
13．下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．
＝…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝…第六步
(1)填空:
a．以上化简步骤中，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据是　 　．
b．第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是①　 　，②　 　．
(2)请直接写出该分式化简后的正确结果　 　．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
类型六、分式的加减 分式的加减实际应用
14．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费 元，现在平均每名学生需分摊车费 元；
(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
举一反三
【变式1】
15．春田中学有一块实验菜地，原来用漫灌方式浇菜地n天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用2天，现在比原来每天节约用水多少吨
【变式2】
16．最近一段期间新冠肺炎肆虐，此情形下，很多单位都争着购买消毒液．某商贩先购进消毒液箱，价格为每箱50元，后又购进消毒液箱，价格为每箱60元，然后以每箱55元的价格全部售给某单位，请用、的式子表示每箱的平均进价．当时，该平均进价相对55元的售价是更高还是更低了？请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）1；（2）0
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解．
【详解】解：(1)原式；
(2)原式．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减运算，属于基础题，计算过程中细心即可．
2．(1)
(2)m-n
(3)1
(4)-1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【详解】（1）解：=；
（2）解：=；
（3）解：=；
（4）解：=．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
3．（1）；（2）
【分析】异分母分式相加减，先进行通分，将异分母分式化成同分母分式，再进行加减运算．
【详解】解：（1）原式，
，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简．
4．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；
（2）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；
（3）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
；
（3）
．
【点睛】本题考查了分式的加减法，异分母分式相加减时，先通分，变为同分母分式，再进行加减运算是解题关键．
5．
【分析】先通分，再加减运算即可.
【详解】解：原式=
=
=
=.
【点睛】本题考查分式的加减，熟练运用通分是解题关键.
6．错误，从第①步开始出错，正确的解题过程见解析．
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】由分式的减法法则可知，上面的解题过程错误，从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．
【分析】根据分式的混合运算，先因式分解，再把除法化为乘法，约分即可．
【详解】解法1：
原式
；
解法2：
原式
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算．
8．
【分析】先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可．
【详解】解：，
∴去分母可得：，
∴，
由恒等式可得：
，
解得：．
【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．
9．，
【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可.
【详解】解：原方程可化为，
，
可得，
解得，．
【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于、的二元一次方程组．
10．
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵
左边=，
右边=
所以
解得：.
把，代入，．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算；
（2）分式的公分母为，先通分，在进行计算；
（3）直接进行通分，在进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．
12．(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
【详解】（1）解：，
=
=
=1；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
13．(1)a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；
(2)
(3)在分式的混合运算，要注意运算顺序（答案不唯一）
【分析】（1）根据分式的混合计算法则进行逐步判断即可；
（2）根据分式的混合计算法则进行计算即可；
（3）在进行分式的混合运算时，要注意运算顺序．
【详解】（1）解：a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
故答案为:三，分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；
故答案为:四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；
（2）解：
；
（3）解：在进行分式的混合运算时，要注意运算顺序．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据题意列出分式，然后根据分式加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵增加了两名学生，总人数达到x名
∴原来的学生数为
∵租金为300元
∴原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元．
故答案为，．
（2）解：由题意可得：．
答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊元钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据题意列出代数式和分式是解答本题的关键．
15．
【分析】列出原来及现在每天用水的数量，两者相减即可．
【详解】解：原来每天用水吨，
现在每天用水吨，
则现在比原来每天节约用水吨．
【点睛】此题考查了分式加减法的应用，正确理解题意列得分式减法是解题的关键．
16．，该平均进价相对55元的售价更高，理由见解析
【分析】用每箱的进价乘以箱数，再除以总箱数即可表示出两次的平均进价；然后求与55的差即可求解　．
【详解】解：根据题意，该商贩购进消毒液每箱的平均价格为，
．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴该平均进价相对55元的售价更高．
【点睛】本题考查了分式加减法的应用及代数式的表示，读懂题意，找出已知数量之间的关系是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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