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二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
【学习目标】
1．通过探究，得出y=ax +bx+c的图象和性质。
2．能根据y＝a（x－h）2＋k来探讨出二次方程y=ax +bx+c的图象和性质。
3．通过探究得出通过三个点的坐标可以确定二次函数的解析式。
4．经历对二次函数解析式求法的学习，学习类比、归纳与灵活选择。
【学习重难点】
从图象的平移变换的角度认识y＝a（x－h）2＋k型二次函数的图象特征。
【学习过程】
一、预习导入。
1．已知一次函数图象经过点A（-1，2）和点B（2，5），求该一次函数的解析式。
2．求一次函数解析式一般需要几个条件？为什么？求二次函数解析式呢？
二、自主学习。
一般地，用待定系数法求二次函数的解析式通常有以下3种方法：
一般式：；
顶点式：；
交点式：其中，为抛物线与x轴的交点的横坐标。
例：类比一次函数解析式的求法，求二次函数的解析式。
1．已知二次函数的图象过（1，0），（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式。
2．已知抛物线顶点为（1，-4），且又过点（2，-3）求该抛物线的解析式。
已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别是，且与轴交点为（0，3），求这个二次函数解析式。
变式训练：根据下列条件求二次函数解析式。
1．已知二次函数的图象经过一次函数的图象与轴、轴的交点，且过。
2．已知二次函数的图象经过点，并且当时有最大值。
例：已知二次函数的图象过，两点，它的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式。
探究可得：一般地，二次函数可通过配方化成的形式，即
。
因此，抛物线的对称轴是，顶点是。
从如下图，从二次函数的图象可以看出：
如果，当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大；
如果，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减=小。
三、归纳提升。
用待定系数法求二次函数解析式通常需要三个条件，列出三元一次方程组求解：
①若已知一般的三点就用 ；
②若已知顶点坐标或最值则用 ；
③若已知图象与轴的交点则用 。
求二次函数的解析式，需求出a，b，c的值。由已知条件列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
四、题组训练。
A组：
1．已知二次函数的图象过点（1，2），则m的值为________________。
2．一个二次函数的图象过（0，1）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式。
4．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线，它与轴交于、两点，与轴交于点，点、的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这条抛物线的解析式。
B组：
5．已知双曲线与抛物线交于A（2，3）、B（m，2）、c（－3，n）三点。
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积。
6．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为。
（1）求点的坐标。
（2）求过，，三点的抛物线的解析式；
（3）设点关于抛物线的对称轴的对称点为，求的面积。
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