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3.3二项式定理与杨辉三角 练习
一、单选题
1．若的展开式中各项系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．15 B．30 C．135 D．270
2．的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．已知的展开式中，常数项为135，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．3，
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．2 C． D．6
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则
A． B． C． D．
7．展开式的第项为（ ）
A． B． C． D．
8．在的二项展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．5
二、多选题
9．设，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有8项 B．展开式中系数最大的项为第4项
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为128
11．已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为160 B．展开式中含项的系数是60
C．若展开式中各项系数之和为64 D．展开式中的二项式系数最大项为第3项
12．对于式子，下列说法正确的有（ ）
A．它的展开式中第4项的系数等于135
B．它的展开式中第3项的二项式系数为20
C．它的展开式中所有项系数之和为64
D．它的展开式中第一项的系数为
三、填空题
13．若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则的值为 ．
14．的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
15．二项式展开中的系数为 .
16．若的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则的值为 ．
四、解答题
17．已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
18．已知二项式
(1)求展开式的第三项的系数
(2)求展开式的二项式系数之和；
19．已知（）的展开式中各项的二项式系数和为64.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项.
20．已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3，
（1）求n的值；
（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．
21．在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
22．今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？
参考答案：
1．C
【分析】先令由系数和求得，再由通项求得常数项即可.
【详解】令可得，解得，则，由展开式通项，
令，则，则，即常数项为135.
故选：C.
2．D
【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于的方程，解出即可.
【详解】的展开式中的常数项为，
展开式中的常数项,
所以,即,
故选：D.
3．D
【分析】求出展开式的通项为，合并同类项后令的指数为0可得，可求出展开式中的常数项从而得到.
【详解】展开式的通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
则，.
故选：D.
4．C
【分析】直接由二项展开式求含的项即可求解.
【详解】由题意知：含的项为，故的系数为.
故选：C.
5．B
【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
又因为，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
因此，展开式中的系数为.
故选：B.
6．C
【详解】因为，所以，，，，则，则应选答案C．
7．B
【分析】由展开式的通项公式求解即可
【详解】因为，
所以展开式的第项为，
故选：B
8．A
【分析】求出二项式展开式的通项，即可求出的系数.
【详解】的二项展开式的通项为，
令，解得，
故的系数为.
故选：A.
9．ACD
【分析】利用赋值即可求解指定项系数或系数和.
【详解】令，则，即，A正确；
令，则，
即①，
则，B错误；
令，则，
即②．
由①②，可得，，C、D正确．
故选:ACD．
10．ACD
【分析】由二项式定理对选项逐一判断
【详解】由二项式定理得
对于A，展开式共有8项，故A正确，
对于B，展开式中第4项的系数为，系数为负，
第3项的系数为，第5项的系数为，故B错误，
对于C，令，得展开式中各项系数之和为1，故C正确，
对于D，展开式中的二项式系数之和为，故D正确，
故选：ACD
11．AB
【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算判断A，B；求出各项系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】二项式展开式的通项公式，
由得，所以展开式中的常数项为，A正确；
由得，所以展开式中含项的系数是，B正确；
由展开式中各项系数之和为，C不正确；
展开式中的二项式系数最大项为第4项，D不正确.
故选：AB
12．CD
【分析】根据的展开式的通项公式求解判断.
【详解】的展开式的通项公式是，
A.，所以第4项的系数等于-540，故错误；
B. ，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误；
C. 令，得，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确；
D. ，所以它的展开式中第一项的系数为，故正确；
故选：CD
13．
【分析】在所给的已知式中，令，可得的值，再令，求出，即可得解．
【详解】因为等式
对一切都成立，其中，，，为实常数，
则令，可得，
令，可得，
所以.
故答案为：．
14．15
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，从而令求出，得到常数项.
【详解】的展开式的通项公式，
令，解得，
所求常数项为．
故答案为：15
15．
【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解.
【详解】二项式的展开式为，
令，解得，
所以展开中的系数为，
故答案为：
16．或2
【分析】由题意可得，，从而可求出的值,
【详解】由的展开式中二项式系数和为，可得，
再由的展开式中所有项的系数和为，
所以或，
解得或，
故答案为：或.
17．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用赋值法，令和，求系数和；（2）求函数的导数，再令，求；（3）用组合数公式表示，再代入组合数公式，变形化简，得，利用裂项相消法求和.
【详解】（1），，
所以；
（2），
所以；
（3）因为，所以
因为
所以原式
所以的值为.
【点睛】关键点点睛：本题的难点和关键是第三问，利用组合数公式化简，其中用到了组合数的阶乘公式，关键步骤是
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出展开式的通项即可得解.
（2）根据二项式系数的性质直接求解即可.
【详解】（1）的展开式的通项为，
则，
所以第三项的系数为.
（2）根据题意可得的二项式系数之和为.
19．（1）；（2）132.
【分析】（1）由展开式中各项的二项式系数和为，即可求的值，从而根据二项式系数的性质即可求解；
（2）求出展开式中的常数项和含的项，从而即可求展开式中的常数项．
【详解】解：（1）由展开式中二项式系数和为64，得，所以，
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，
因为的展开式的通项公式为 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
（2）由（1）知，且的展开式中的常数项为，含的项为，
所以中的常数项为.
20．（1）；（2）二项式系数和为128，各项系数和为1；（3）展开式中系数的绝对值最大的项为.
【分析】（1由已知得，解得可得；
（2）由（1）将原式化为，求得二项展开式中各项二项式系数和为，令时，可得二项展开式中各项系数和；
（3）设第项的系数的绝对值最大，设，建立不等式组，解之求得以，从而可得答案.
【详解】（1）的展开式的通项为：，
又展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3，所以，解得；
（2）由（1）得原式为，所以二项展开式中各项二项式系数和为，
令，得二项展开式中各项系数和为；
（3）展开式的通项为，设第项的系数的绝对值最大，
设，则，即，解得，又，所以，
所以展开式中系数的绝对值最大的项为．
【点睛】本题考查二项式展开的通项，二项式系数，系数，二项式系数和，各项系数和，属于中档题.
21．(1)112
(2)第6项和第7项
(3)，
【分析】（1）求出展开式的通项，即可得解；
（2）设第项系数的绝对值最大，则，解之即可；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正，由此即可得解.
【详解】（1）的展开式的通项为，
则，
所以第三项的系数为；
（2）设第项系数的绝对值最大，
则，即，解得
所以或，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正，
故系数最大的项为，
系数最小的项为.
22．星期四
【分析】转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可．
【详解】，
，
因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，
故天为星期四．

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