资源简介

(共23张PPT)
数学建模
建立函数模型解决实际问题
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过参与数学建模全过程，了解数学建模的概念，掌握数学建模步骤. 数学建模素养.
2.在探究数学建模过程中，进一步体会函数模型在现实生活中的应用，感受数学的应用价值.
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温故知新
通过前期对函数应用相关知识的学习，我们知道用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型.然后根据分析结果，选择合适的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型.最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
新知探究
数学建模活动的一般流程
选题 开题 做题 结题
选题 ：
应选择那些有能力收集数据，能用有效的数学方法整理数据，建立模型的问题.
开题 ：
开题的目的是向导师和同学阐述自己的研究目的，研究方法，以及要达到的目标和对研究方案的设想等.大家一起研究，群策群力，这样才能少走弯路，取得更好的研究效果.同时在开题时要撰写开题报告，并召开开题报告会.
新知探究
数学建模活动的一般流程
选题 开题 做题 结题
做题 ：
从实际问题中抽象出数学问题，经历收集数据、整理数据、分析数据的过程，对数学问题进行研究，进而得出相应数学问题的结论，最后得出实际问题的解决办法.
结题：
向老师和同学展示自己的研究过程和研究方法，接受各方面的意见和建议，对研究中存在的问题进行修改进一步完善结论，并最终得出结论.同时要有结题报告或论文，并召开结题报告会.
新知探究
建立函数模型解决实际问题的步骤
1.观察实际问题，发现和提出问题;
2.收集数据；
3.分析数据；
4.建立模型；
5.检验模型；
6.求解问题.
新知探究
数学建模活动的要求
1.组建团队;
2.开展研究活动；
3.撰写研究报告；
4.展示交流.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
1.观察实际情景，发现提出问题
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
我国是茶的故乡，是世界上最早发现茶树、利用茶叶和栽培茶叶的国家，也是茶文化的发源地.
泡茶和饮茶都有很多讲究.其中， 很重要.
①影响茶水口感的因素有哪些？
②如何处理这些影响因素呢？
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型.
2.收集数据
我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据.
请同学们课后按照实验流程进行实验,获取并记录一组数据.
某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
3.分析数据
观察实验数据会发现，茶水的温度随着时间的变化也在发生变化，茶水温度是时间的函数，但并没有现成的函数模型.为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.
设茶水温度从85℃开始，经过x min后的温度为y℃.根据表1,画出散点图(如图1）.
图1
③观察散点图，两个变量有怎样的变化趋势？
④当时间不断延长，最终茶水能降到什么温度？
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
图1
请同学们在前期学习的函数中找到符合趋势的函数模型.
实际上，你可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型.
观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y=kax +25（k∈R，00）来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
4.建立模型
根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60.
为了求出衰减比例a,从第2min的温度数据开始，计算每一分钟的值与上一分钟值的比值.列表2.
得到函数模型：y=60ax+25(0 y－25=60ax (0新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
计算各比值的平均值，得
a=(0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285)
=0.9227.
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
y=60×0.9227x +25（x≥0）.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
5.检验模型
请同学们结合这五个函数图象与实际数据的吻合情况.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
5.检验模型
观察上图可以发现，选取函数模型y=60×0.9227x+25与实际数据基本吻合，这说明它能较好的反映茶水温度随时间的变化规律.
新知探究
一、数学建模活动的实例—茶水的口感何时最佳
6.求解问题
将y=60代入y=60×0.9227x+25，得
60×0.9227x+25=60
解得
由信息技术得
x≈6.6997
所以，用85水泡制一杯最佳口感的茶所需时间大约是7min.
上述过程可概括为
符合实际
观察实际情景
发现和提出问题
收集数据
选择函数模型
求解函数模型
检验
观察实际情景
不符合实际
新知讲解
二、数学建模活动的选题
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.
4. 估计阅读一本书所需要的时间.
也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究.
新知讲解
三、数学建模活动的要求
1.组建合作团队
数学建模活动需要团队协作.首先，在班级中组成3—5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组.在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工.拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告.
2.开展研究活动
根据开题报告规划的步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究.在研究过程中可借助信息技术解决问题.
新知讲解
三、数学建模活动的要求
3.撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告.
4.交流展示
⑴对同一个课题，先由3—4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴，取长补短.在小组研究报告的基础上形成大组研究报告.选定代表，制作向全班展示的演示文稿.
⑵与老师一起进行全班研究成果展示交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价，同学评价和老师评价，完成本次建模活动.
课堂小结
数学建模的一般步骤：
观察实际情景
发现和提出问题
收集分析数据
建立函数模型
求解函数模型
检 验
符合实际
实际问题的解
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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