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小学- 奥数
直线形面积-1
本将主要学习利用边上的倍数关系求解图形面积，需要掌握以下几个知识点：
1.等底等高的两个三角形面积相等．
2.两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
3.在一组平行线之间的等积变形，如；反之，如果，则可知直线平行于.
【例1】★已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积
【小试牛刀】如图，三角形的面积为1，其中，，三角形的面积是多少？
【例2】★★E是长方形ABCD中AB边的中点，CE和BD交于F。如果三角形EBF的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
【小试牛刀】如图，平行四边形ABCD中，EF平行于AC，连结BE，AE，CF，BF，与△BEC等积的三角形还有哪几个？
【例3】★★如图11所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
　　
【小试牛刀】正方形ABCD的面积是16平方米（见图15），E、F分别是AB和BC的中点，求梯形AEFC，即阴影部分的面积是多少？
　　
【例4】★如图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，已知A的面积是，B的面积是，C的面积是，试问原矩形的面积是多少？
　　
【小试牛刀】如图，每个四边形都是平行四边形，其中三个平行四边形面积分别是10,15,24平方厘米，那么，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
【例5】★★图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米
【例6】★★★如图，已知AE＝AC/5，CD＝BC/4，BF＝AB/6，那么等于多少？
【小试牛刀】如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例7】★★如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【例8】★★如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？
【例9】★如图所示，甲的面积与乙的面积相比较， ．
A.甲的面积大 B.乙的面积大
C.一样大 D.无法判断
【例10】★★如图，已知D是BC中点，E是CD中点，F是AC中点。三角形ABC由①~⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC的面积是多少？
【小试牛刀】已知图18－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分的面积。
【例11】★★★如图，四边形的面积是66平方米，，，，，求四边形的面积．
【小试牛刀】如图，任意四边形ABCD的面积是1平方厘米，AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH，求四边形EFGH的面积.
1．如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？
2.如图。BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
3.如图。E在AD上，AD垂直BC， AD=12厘米，DE=3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
4.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：阴影部分三角形DEF的面积。
5.有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD=AB，BE=BC，CF=CA，求三角形DEF的面积.
6.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，DF=2BF，三角形DFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米
如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
8.一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。
9.两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
10.如图，三角形ABC的面积是16，D是AC的中点，E是BD的中点，那四边形CDEF的面积是多少
答案
知识梳理
【例1】BCE面积为2,ECD面积也为2，所以BED面积为4.
【小试牛刀】连接
∵，∴，
又∵，∴.
【例2】　　
　　连结AF，两个三角形△AEF、△BEF等底等高，面积都是1平方厘米。
　　连结AC，交BD于O点，O点是AC、BD的中点。△AOF、△COF是等底等高三角形，面积相等。
　　因为△AOB、△ACE面积都是△ABC的一半（△AOB面积=△ACE面积），各自减去四边形AOFE，剩下的部分是△COF与△BEF，面积相等，是1平方厘米。
　　△AOF、△AEF、△BEF面积相等，都是1平方厘米，△AOB的面积就是1+1+1=3（平方厘米），所求长方形面积是△AOB面积的4倍，因此所求长方形面积为3×4=12（平方厘米）。
【小试牛刀】由于图中平行线有三组：AD平行于BC，AB平行于CD，EF平行于AC，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形。
先看与△BEC同底的三角形，若以BC边为底，这样的三角形还有△ABC，△BFC，它们两个不可能与△BEC等积，因为AE，AF都不与BC平行，也就不存在等高了，而以EC边为底的三角形还有△AEC，它的第三个顶点A与B的连线AB是与EC平行的，所以△AEC与△BEC等积。
直接与△BEC等积的三角形没有了，但可以间接求，与△AEC等积的三角形必然与△BEC等积。
如图中，△AEC的另一边AC与EF平行，则EF线上任意一点与A，C两点连线构成的三角形必然与△AEC等积，在EF上，只有E，F点，因此，△AFC与△AEC等积。
同样的方法可找到与△AFC等积的三角形△ABF。
所以与△BEC等积的三角形共有三个，它们是：△AEC，△AFC，△ABF。
【例3】本题无法直接求出三角形DEF的面积，应找到与三角形ABC面积之间的关系，根据BD=AB，CE=2BC，AF=3AC发现，可以分别以BD、CE、AF为底，与三角形ABC作同高三角形，通过观察容易想到连结CD、AE，如图12所示，这样可通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系，求得大三角形DEF的面积。
　　解答如下：
　　连结CD、AE，如图12所示，因为△ABC与△BDC共顶点C，且AB=BD，所以
　　
　　==1
　　因为△ABC与△ACE共顶点A，且CE=2BC，所以
　　=2×
　　=2×l=2
　　因为△AEF与△ACE共顶点E，且AF=3AC，所以
　　=3=3×2=6
　　因为△ADC与△AFD共顶点D，且AF=3AC，所以
　　=3×
　　=3×（1+l）=6
　　因为△BDC与△CDE共顶点D，且CE=2BC，所以
　　=2×
　　=2×l=2
因此
【小试牛刀】法一：梯形的面积=
　　（平方米）
　　（平方米）
　　所以梯形的面积=8-2=6（平方米）
　 法二：因为E、F分别是AB和BC的中点，所以△EBF的面积是△ABC面积的，从而得出梯形面积是△ABC面积的，所以梯形的面积为（平方米）。
【例4】仔细观察图14的特征，它的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横的方向看，两个相邻矩形的倍比关系是一致的，也就是说，B是A的2倍，那么D也应是C的2倍，所以D的面积是，这样原矩形的面积应是。
【小试牛刀】15÷10×24=36（平方厘米）
【例5】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以=180=90(平方厘米)．同理有×90=30(平方厘米)，×30=22.5(平方厘米)． 即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．
【例6】
如图，连接AD，那么
S△CDE＝S△ACD×4/5＝S△ABC×1/4×4/5＝S△ABC×1/5
同理，连接BE，那么
S△AEF＝S△ABE×5/6＝S△ABC×1/5×5/6＝S△ABC×1/6
连接CF，那么
S△BDF＝S△BCF×3/4＝S△ABC×1/6×3/4＝S△ABC×1/8
所以
＝1－1/5－1/6－1/8＝
【小试牛刀】连结BG，在△ABG中，
　　　
　　　　
　　∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
　　　　
　　　
【例7】∵是的中点,
∴，
同理，
∴（平方厘米）.
【例8】∵，∴,;
又∵,∴,（平方厘米）.
【例9】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换思想.∵S甲=S△ABD- S△ABO，S乙=S△ABC- S△ABO，△ABD和△ABC同底等高，∴S甲= S乙.
【例10】仔细观察图形，我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的，并且EF是△ACD的中位线，也就是EF：AD＝1：2。那么②和⑤底和高的比都是2：1（形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是4：1了。
②与⑤的面积比为4：1，并且相差6平方厘米，所以
⑤的面积＝6÷（4－1）＝2（平方厘米）
②的面积＝2×4＝8（平方厘米）
③与④的面积均为⑤的二倍，②的一半，即4平方厘米；
⑥的面积为④＋⑤，即4＋2＝6（平方厘米）
①的面积为②＋③＋④＋⑤＋⑥，即8＋4＋4＋2＋6＝24（平方厘米）
大三角形的面积为①的二倍，即
24×2＝48（平方厘米）。
【小试牛刀】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，
可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
【例11】连接.设
∵，
∴,
又∵,
∴，
同理，
∴
连接AC，同理
∴，
（平方米）
【小试牛刀】本题运用等底等高的两个三角形面积相等（或者说是两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比）．
连接DE、BD、BG.
，
同理，
【1．】连结EC，如图，因为AC＝3AD，△AED 与△AEC中AD，AC边上的高相同，所以△AEC的面积是△AED面积的3倍，即△AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC的面积且△AEC面积的四倍，所以△ABC的面积是6×4＝24（平方厘米）。
【2.】因为三角形ABD和三角形ABC在分别以BD和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说两个三角形的高相等。于是：
三角形ABD的面积=12×高÷2
三角形ADC的面积=4×高÷2
因为高是相等的，所以三角形ABD的面积是三角形ADC的面积的3倍。
【3.】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形的底时，AD是三角形的高，ED是三角形EBC的高，于是：
三角形ABC的面积=BC×12÷2
三角形EBC的面积= BC×3÷2
因为两个三角形的底是相同的，所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。
【4.】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半，24÷2=12，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半，12÷2=6。三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积=6÷2=3
【5.】连接DC可以求出S△BDE与S△ADF面积分别为、，同样的道理S△FCE为，所以DEF的面积为1－－－＝
【6.】连结FC，因为三角形DFC面积是三角形DFE面积的2倍，而三角形BCD面积是三角形DFC面积的3/2倍，所以三角形BCD面积是三角形DFE面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形BCD面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形DFE面积的(3×2)=6倍．因此，平行四边形的面积为8 ×6=48(平方厘米)．
【7.】连接.
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴
【8.】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
【9.】1，因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。
2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
【10.】连接EC，如下图
，
因为E、D是对应边的中点，于是有三角形ADE＝EDC＝BEC＝ABE，由燕尾定理可知BF：FC＝1：2，可得CDEF的面积占三角形ABC的5/12，即可得结果。
【解析】两船的速度和=64÷2=32 (千米／小时)，两船的速度差=64÷16=4 (千米／小时)，根据和差问题，分别求甲、乙两船的速度：18和14千米／小时 .
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